1、【知识重温】一、必记 4 个知识点1随机事件和确定事件(1)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的必然事件，简称必然事件(2)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件(3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件 S 的确定事件，简称确定事件(4)在条件 S 下，_的事件，叫做相对于条件 S 的随机事件，简称随机事件一定会发生一定不会发生可能发生也可能不发生2频率与概率(1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验，观察某一事件 A 是否出现，称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数，称事件 A出现的比例_为事件 A 出现的频率(2)
2、对于给定的随机事件 A，如果随着试验次数的增加，事件 A发 生 的 _ fn(A)稳 定 在 某 个 _ 上，把 这 个_记作 P(A)，称为事件 A 的概率，简称为 A 的概率fn(A)nAn频率常数常数3事件的关系与运算定义符号表示 包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件 B_事件 A(或称事件 A 包含于事件 B)_(或 AB)并事件(和事件)若某事件发生当且仅当 A 发生或事件 B 发生，称此事件为事件 A 与事件B 的10_(或和事件)AB(或 AB)交事件(积事件)若 某 事 件 发 生 当 且 仅 当 _发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件AB(或 AB)包含B
3、A并事件事件 A 发生且事件 B互斥事件 若 AB 为不可能事件，则事件 A 与事件 B 互斥AB对立事件若 AB 为不可能事件，AB 为必然条件，那么称事件 A 与事件 B 互为对立事件4.概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_.(2)必然事件的概率 P(E)_.(3)不可能事件的概率 P(F)_.(4)互斥事件概率的加法公式如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(AB)_若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)_0P(A)110P(A)P(B)1P(B)二、必明 3 个易误点1正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”
4、的必要不充分条件2从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不相交，事件 A 的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件 A 所含的结果组成的集合的补集3需准确理解题意，特留心“至多”，“至少”，“不少于”等语句的含义【小题热身】1判断下列说法是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)事件发生的频率与概率是相同的()(2)随机事件和随机试验是一回事()(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值()(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生()(5)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()(6)两互斥事件的概率和为 1.()2下列试验能够构成随机事件
5、的是()A掷一次硬币B射击一次C标准大气压下，水烧至 100 D买彩票中头奖解析：A、B、C 都具有条件，而没说该条件下的结果，D 则既有条件又有结果答案：D3一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A至多有一次中靶 B两次都中靶C只有一次中靶 D两次都不中靶解析：A 选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；B 选项与已知事件的交事件为两次都中靶，不符合题意；C选项与已知事件的交事件为恰好有一次中靶，不符合题意；由对立事件的定义可知，D 选项与已知事件是对立事件答案：D4袋中装有 3 个白球，4 个黑球，从中任取 3 个球，则恰有 1 个白球和全是白球；至少
6、有 1 个白球和全是黑球；至少有 1 个白球和至少有 2 个白球；至少有 1 个白球和至少有1 个黑球在上述事件中，是互斥事件但不是对立事件的为()A BC D解析：由题意可知，事件均不是互斥事件；为互斥事件，但又是对立事件，满足题意的只有，故选 A.答案：A5某人进行打靶练习，共射击 10 次，其中有 2 次中 10 环，有 3 次中 9 环，有 4 次中 8 环，有 1 次未中靶假设此人射击 1 次，则其中靶的概率约为_；中 10 环的概率约为_解析：中靶的频数为 9，试验次数为 10，所以中靶的频率为 9100.9，所以此人射击 1 次，中靶的概率约为 0.9.同理得中 10 环的概率约
7、为 0.2.答案：0.9 0.2考点一 随机事件及其概率自主练透型1一个均匀的正方体玩具的各个面上分别标有数字 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3，事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4，则()AA 与 B 是互斥而非对立事件BA 与 B 是对立事件CB 与 C 是互斥而非对立事件DB 与 C 是对立事件解析：AB出现点数 1 或 3，事件 A，B 不互斥更不对立；BC，BC，故事件 B，C 是对立事件答案：D2把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事
8、件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()A是对立事件 B是不可能事件C是互斥但不对立事件 D不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件答案：C3设条件甲：“事件 A 与事件 B 是对立事件”，结论乙：“概率满足 P(A)P(B)1”，则甲是乙的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若事件 A 与事件 B 是对立事件，则 AB 为必然事件，再由概率的加法公式得 P(A)P(B)1.投掷一枚硬币 3 次，事件 A：“至少出现一次正面”，事件 B：“3 次出现正面”，则 P(A)7
9、8，P(B)18，满足 P(A)P(B)1，但 A，B 不是对立事件答案：A悟技法解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每个事件的含义判断一个事件是必然事件、不可能事件、随机事件的依据是在一定的条件下，所要求的结果是否一定出现、不可能出现或可能出现、可能不出现随机事件发生的概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果数的比.考点二 随机事件的概率互动讲练型例 1 2019全国卷11 分制乒乓球比赛，每赢一球得 1 分，当某局打成平后，每球交换发球权，先多得 2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为 0.5，乙发球时甲得分的概率为 0.4，各
10、球的结果相互独立在某局双方平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束(1)求 P(X2)；(2)求事件“X4 且甲获胜”的概率解析：(1)X2 就是平后，两人又打了 2 个球该局比赛结束，则这 2 个球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P(X2)0.50.4(10.5)(10.4)0.5.(2)X4 且甲获胜，就是平后，两人又打了 4 个球该局比赛结束，且这 4 个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得 1 分，后两球均为甲得分因此所求概率为0.5(10.4)(10.5)0.40.50.40.1.悟技法1.概率与频率的关系概率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值
11、，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用频率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率注意 概率的定义是求一个事件的概率的基本方法.变式练(着眼于举一反三)12018北京卷改编电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类 电影部数14050300200800510 好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值(1)从电影公司收集的电影中随机选取 1 部，求这
12、部电影是获得好评的第四类电影的概率(2)随机选取 1 部电影，估计这部电影获得好评的概率解析：(1)由题意知，样本中电影的总部数是 140503002008005102 000，获得好评的第四类电影的部数是 2000.2550.故所求概率为 502 0000.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是1400.4 500.2 3000.15 2000.25 8000.2 5100.15610455016051372.故所求概率估计为 3722 0000.186.考点三 互斥事件、对立事件的概率互动讲练型例 2 某战士射击一次，问：(1)若中靶的概率为 0.95，则不中靶的概率为多少？(
13、2)若命中 10 环的概率是 0.27，命中 9 环的概率为 0.21，命中8 环的概率为 0.24，则至少命中 8 环的概率为多少？不够 9 环的概率为多少？解析：(1)设中靶为事件 A，则不中靶为A.由对立事件的概率公式可得：P(A)1P(A)10.950.05.即不中靶的概率为 0.05.(2)设命中 10 环为事件 B，命中 9 环为事件 C，命中 8 环为事件 D，由题意知 P(B)0.27，P(C)0.21，P(D)0.24.记至少命中 8 环为事件 E，则 P(E)P(BCD)P(B)P(C)P(D)0.270.210.240.72.故至少命中 8 环的概率为 0.72.记至少命
14、中 9 环为事件 F，则 P(F)P(BC)P(B)P(C)0.270.210.48.故不够 9 环为 F，则 P(F)1P(F)10.480.52.悟技法复杂的互斥事件的概率的两种求法(1)直接法：第一步，根据题意将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和；第二步，运用互斥事件的概率求和公式计算概率(2)间接法：第一步，求事件的对立事件的概率；第二步，运用公式 P(A)1P(A)求解特别是含有“至多”“至少”的题目，用间接法就显得比较简便.变式练(着眼于举一反三)2如果事件 A 与 B 是互斥事件，且事件 AB 发生的概率是0.64，事件 B 发生的概率是事件 A 发生的概率的 3 倍，则事件 A 发生的概率为_解析：设 P(A)x，P(B)3x，所以 P(AB)P(A)P(B)x3x0.64.所以 P(A)x0.16.答案：0.16