1、第二章 函数、导数及其应用第十节 变化率与导数、导数的计算1.了解导数概念的实际背景2通过函数图象直观理解导数的几何意义3能根据导数定义求函数 yC(C 为常数)，yx，yx2，yx3，y1x，y x的导数4能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并了解复合函数的求导法则，能求简单复合函数(仅限于形如 f(axb)的复合函数)的导数主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一导数的概念1函数 yf(x)在 xx0 处的导数称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率_为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|xx0，即 f(x0)limx0yx_
2、.2导数的几何意义函数 f(x)在点 x0 处的导数 f(x0)的几何意义是在曲线 yf(x)上点_处的_(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)相应地，切线方程为_3函数 f(x)的导函数称函数 f(x)_为 f(x)的导函数答案1.limx0fx0 xfx0 x limx0yxlimx0fx0 xfx0 x2P(x0，y0)切线的斜率 yy0f(x0)(xx0)3.limx0fxxfxx1函数 f(x)x2 在区间1,2上的平均变化率为_，在x2 处的导数为_解析：函数 f(x)x2 在区间1,2上的平均变化率为221221 3，在 x2 处的导数为 f(2)224.答案：3
3、42某质点的位移函数是 s(t)2t312gt2(g10 m/s2)，则当 t2 s 时，它的加速度是()A14 m/s2B4 m/s2C10 m/s2D4 m/s2解析：由 v(t)s(t)6t2gt，a(t)v(t)12tg，得 t2时，a(2)v(2)1221014(m/s2)答案：A3(2016新课标全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是_解析：当 x0 时，x0 时，f(x)ex11，则曲线yf(x)在点(1,2)处的切线的斜率为 f(1)2，所以切线方程为 y22(x1)，即 y2x.答案：y2x知识点二导数的
4、运算1几种常见函数的导数原函数导函数f(x)c(c 为常数)f(x)_f(x)xn(nQ*)f(x)_f(x)sinxf(x)_f(x)cosxf(x)_f(x)axf(x)_f(x)exf(x)_f(x)logax(a0，a1，x0)f(x)_f(x)lnx(x0)f(x)_2.导数的运算法则(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)fxgx _(g(x)0)3复合函数的导数复合函数 yf(g(x)的导数和函数 yf(u)，ug(x)的导数间的关系为 yx_，即 y 对 x 的导数等于_的_与_的导数的乘积答案10 nxn1 cosx sinx axlna ex 1xlna
5、1x2(1)f(x)g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)fxgxfxgxgx23yuux y 对 u 导数 u 对 x4(2016天津卷)已知函数 f(x)(2x1)ex，f(x)为 f(x)的导函数，则 f(0)的值为_解析：f(x)(2x3)ex，f(0)3.答案：35设函数 f(x)在(0，)内可导，且 f(ex)xex，则 f(1)_.解析：设 ext，则 xlnt(t0)，f(t)lntt，f(t)1t1，f(1)2.答案：2热点命题突破 02 课堂升华强技提能热点一 导数的定义【例 1】用导数的定义求函数 y3x2 在点 x0 处的导数【解】f(x0)limx0fx
6、0 xfx0 xlimx03x0 x3x0 xlimx033.【总结反思】使用导数定义求导数或者证明一些问题时，要充分利用 f(x)limx0fxxfxx.已知 f(2)1，则limx0f22xf2x_.解析：limx0f22xf2x2 lim2x0f22xf22x2f(2)2.答案：2热点二导数的运算考向 1 运用导数公式求导数【例 2】分别求下列函数的导数：(1)yexcosx；(2)yxx21x1x3；(3)yxsinx2cosx2；【解】(1)y(ex)cosxex(cosx)excosxexsinx.(2)yx311x2，y3x22x3.(3)yxsinx2cosx2x12sinx，
7、yx12sinx 112cosx.考向 2 运用方程思想求导数【例 3】(2017湖南十二校联考)若函数 f(x)lnxf(1)x23x4，则 f(1)_.【解析】因为 f(x)1x2f(1)x3，所以 f(1)12f(1)3，解得 f(1)2，所以 f(1)1438.【答案】8【总结反思】(1)求导之前，应利用代数、三角恒等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量.已知 f(x)12x22xf(2 016)2 016
8、lnx，则 f(2 016)_.解析：由题意得 f(x)x2f(2 016)2 016x，所以 f(2 016)2 0162f(2 016)2 0162 016，即 f(2 016)(2 0161)2 017.答案：2 017热点三导数的几何意义考向 1 已知切点求切线方程【例 4】(2016新课标全国卷)已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)lnx3x，则 f(x)1x3，f(1)2，则在点(1，3)处的切线方程为 y32(x1)，即 y2x1.【答案】y2x1考向 2 未知切点求切线方程【例 5】(1)与直线 2xy40 平行的抛物线 yx2 的切线方程是()A2xy30 B2xy
9、30C2xy10 D2xy10(2)已知函数 f(x)xlnx，若直线 l 过点(0，1)，并且与曲线 yf(x)相切，则直线 l 的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10【解析】(1)对 yx2 求导得 y2x.设切点坐标为(x0，x20)，则切线斜率为 k2x0.由 2x02 得 x01，故切线方程为 y12(x1)，即 2xy10.(2)点(0，1)不在曲线 f(x)xlnx 上，设切点为(x0，y0)，又f(x)1lnx，y0 x0lnx0，y011lnx0 x0，解得 x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln11.直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选
10、 B.【答案】(1)D(2)B考向 3 与切线有关的参数问题【例 6】已知 f(x)lnx，g(x)12x2mx72(m0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x)图象的切点为(1，f(1)，则 m等于()A1 B3C4 D2解析：f(x)1x，直线 l 的斜率为 kf(1)1.又 f(1)0，切线 l 的方程为 yx1.g(x)xm，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)则有 x0m1，y0 x01，y012x20mx072，m0.于是解得 m2，故选 D.答案：D【总结反思】1与切线有关问题的处理策略(1)已知切点 A(x0，y0)求斜率 k，即求该
11、点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率 k，求切点 A(x1，f(x1)，即解方程 f(x1)k.(3)求过某点 M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点 M(x1，y1)代入切线方程，求 x0.2根据导数的几何意义求参数的值的思路一般是利用切点 P(x0，y0)既在曲线上又在切线上构造方程组求解.(1)(2017大同模拟)曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为()Ay3x1 By3x1Cy3x1 Dy2x1(2)已知函数 f(x)ax3x1 的图象在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则 a_.(3
12、)若直线 y2xm 是曲线 yxlnx 的切线，则实数 m 的值为_解析：(1)由题意得 y(x1)ex2，则曲线 yxex2x1在点(0，1)处的切线的斜率为(01)e023，故曲线 yxex2x1 在点(0，1)处的切线方程为 y13x，即 y3x1.(2)因为 f(x)3ax21，所以图象在点(1，f(1)处的切线的斜率 k3a1，所以切线方程为 y7(3a1)(x2)，即 y(3a1)x6a5，又切点为(1，f(1)，所以 f(1)3a16a53a6，又 f(1)a2，所以3a6a2，解得 a1.(3)设切点为(x0，x0lnx0)，由 y(xlnx)lnxx1xlnx1，得切线的斜率
13、 klnx01，故切线方程为 yx0lnx0(lnx01)(x x0)，整 理 得 y (lnx0 1)x x0，与 y 2x m 比 较 得lnx012，x0m，解得 x0e，故 me.答案：(1)A(2)1(3)e1对函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2求曲线切线时，要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别温示提馨请 做：课时作业 13（点击进入）
