1、3 双曲线3.1 双曲线及其标准方程 1.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn0,则方程表示的曲线是()A.焦点在 x 轴上的椭圆B.焦点在 x 轴上的双曲线C.焦点在 y 轴上的椭圆D.焦点在 y 轴上的双曲线解析:将方程化为 -=1,由 mn0,所以方程表示的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线.答案:D2.椭圆 =1 和双曲线 =1 有相同的焦点,则实数 n 的值是()A.5B.3C.5D.9解析:由题意知,34-n2=n2+16,2n2=18,n2=9,n=3.答案:B3.平面内动点 P(x,y)与 A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为 ,动点 P 的轨迹方程为()A.+y2
2、=1B.-y2=1C.+y2=1(x2)D.-y2=1(x2)解析:依题意有 kPAkPB=,即 -(x2),整理得 -y2=1(x2).答案:D4.设点 P 在双曲线 =1 上,若 F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|PF2|=13,则F1PF2的周长等于()A.22B.16C.14D.12解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,又|PF1|PF2|=13,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为 22.答案:A5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A.x2-=1B.-y2=1C.y2-=1D.=1解析:由双曲线定义知,2
3、a=-=5-3=2,a=1.又 c=2,b2=c2-a2=4-1=3,因此所求双曲线的标准方程为 x2-=1.答案:A6.(2015 北京高考)已知(2,0)是双曲线 x2-=1(b0)的一个焦点,则 b=.解析:由题意知 c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又 b0,所以 b=.答案:7.经过点 P(-3,2)和 Q(-6,-7),且焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 .解析:设双曲线的方程为 mx2+ny2=1(mn0,b0).由 =0,得 PF1PF2.根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即|PF1|2+|PF2|2=20.根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=2
4、a.两边平方并代入|PF1|PF2|=2,得 20-22=4a2,解得 a2=4,从而 b2=5-4=1,所以双曲线方程为 -y2=1.答案:-y2=19.导学号 01844023 双曲线 C 与椭圆 =1 有相同焦点,且经过点(,4).(1)求双曲线 C 的方程;(2)若 F1,F2是双曲线 C 的两个焦点,点 P 在双曲线 C 上,且F1PF2=120,求F1PF2的面积.解(1)椭圆的焦点为 F1(0,-3),F2(0,3),设双曲线的方程为 =1,则 a2+b2=32=9.又双曲线经过点(,4),所以 =1,解得 a2=4,b2=5 或 a2=36,b2=-27(舍去),所以所求双曲线
5、 C 的方程为 =1.(2)由双曲线 C 的方程,知 a=2,b=,c=3.设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,平方得 m2-2mn+n2=16.在F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos 120=m2+n2+mn=36.由得 mn=,所以F1PF2的面积为 S=mnsin 120=.10.导学号 01844024 设双曲线与椭圆 =1 有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A 的纵坐标为 4,求此双曲线的标准方程.解法一设双曲线的标准方程为 =1(a0,b0),由题意知 c2=36-27=9,c=3.又点 A 的纵坐标为 4,则横坐标为 ,于是有 -解得 所以双曲线的标准方程为 =1.解法二将点 A 的纵坐标代入椭圆方程得 A(,4),又两焦点分别为 F1(0,3),F2(0,-3),所以 2a=|-|=4,即 a=2,b2=c2-a2=9-4=5,所以双曲线的标准方程为 =1.