1、8.6双曲线1双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a、c为常数且a0，c0.(1)当2a|F1F2|时，P点不存在2双曲线的标准方程和几何性质标准方程1 (a0，b0)1 (a0，b0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线yxyx离心率e，e(1，)，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2
2、|2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2a2b2 (ca0，cb0)知识拓展巧设双曲线方程(1)与双曲线1 (a0，b0)有共同渐近线的方程可表示为t (t0)(2)过已知两个点的双曲线方程可设为1 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线()(3)双曲线方程(m0，n0，0)的渐近线方程是0，即0.()(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.()(5)若双曲线1(a0，b0)与1(a0，b0)的离心率分别是e1，e2，则1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)()1若双曲线1 (a0，b0)的焦点到其渐近线
3、的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A. B5C. D2答案A解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2.e25，e.2设双曲线1 (a0)的渐近线方程为3x2y0，则a的值为()A4 B3 C2 D1答案C解析渐近线方程可化为yx.双曲线的焦点在x轴上，2，解得a2.由题意知a0，a2.3(2013福建)双曲线y21的顶点到其渐近线的距离等于()A. B. C. D.答案C解析双曲线的顶点(2,0)到渐近线yx的距离d.4(2014北京)设双曲线C的两个焦点为(，0)，(，0)，一个顶点是(1,0)，则C的方程为_答案x2y21解析由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，且c，a1，则b
4、2c2a21，所以双曲线C的方程为x2y21.题型一双曲线的定义及标准方程例1(1)与双曲线x22y22有公共渐近线，且过点M(2，2)的双曲线方程为_(2)已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_思维点拨解(3)时，考虑定义法答案(1)1(2)x21(x1)解析(1)设与双曲线y21有公共渐近线的双曲线方程为y2k，将点M(2，2)代入得k(2)22.所以双曲线的标准方程为1.(2)如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA
5、|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.故点M的轨迹方程为x21(x1)思维升华求双曲线标准方程的一般方法：(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a、b、c的方程并求出a、b、c的值与双曲线1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为 (0)(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值(1)(2014天津)已知双曲线1
6、(a0，b0)的一条渐近线平行于直线l：y2x10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案(1)A(2)A解析(1)双曲线的渐近线方程为yx，因为一条渐近线与直线y2x10平行，所以2.又因为双曲线的一个焦点在直线y2x10上，所以2c100.所以c5.由得故双曲线方程为1.(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则|PF1|PF2|8
7、.由双曲线的定义知：a4，b3.故曲线C2的标准方程为1.题型二双曲线的几何性质例2(1)(2013浙江)如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A. B. C. D.(2)(2014广东)若实数k满足0k9，则曲线1与曲线1的()A焦距相等 B实半轴长相等C虚半轴长相等 D离心率相等思维点拨(1)依题意可求出a、c的值(2)分别表示出两方程对应的a、b、c的值比较即可答案(1)D(2)A解析(1)|F1F2|2.设双曲线的方程为1.|AF2|AF1|4，|AF2|AF1|2a，|AF
8、2|2a，|AF1|2a.在RtF1AF2中，F1AF290，|AF1|2|AF2|2|F1F2|2，即(2a)2(2a)2(2)2，a，e.故选D.(2)因为0k0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx(2)过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为点A，与另一条渐近线交于点B，若2，则此双曲线的离心率为()A. B. C2 D.答案(1)C(2)C解析(1)由e知，a2k，ck(kR)，由b2c2a2k2知bk.所以.即渐近线方程为yx.故选C.(2)如图，2，A为线段BF的中点，23.又12，260，tan 60，e21()24，e2.
9、题型三直线与双曲线的位置关系例3已知双曲线C：x2y21及直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值解(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组有两个不同的实数根，整理得(1k2)x22kx20.解得k|x2|时，SOABSOADSOBD(|x1|x2|)|x1x2|；当A，B在双曲线的两支上且x1x2时，SOABSODASOBD(|x1|x2|)|x1x2|.SOAB|x1x2|，(x1x2)2(2)2，即()28，解得k0或k.又k0，b0)由已知得：a，c2，再由a2b2c2，得b
10、21，双曲线C的方程为y21.(2)设A(xA，yA)、B(xB，yB)，将ykx代入y21，得，(13k2)x26kx90.由题意知解得k1.当k1时，l与双曲线左支有两个交点(3)由(2)得：xAxB，yAyB(kxA)(kxB)k(xAxB)2.AB的中点P的坐标为(，)设直线l0的方程为：yxm，将P点坐标代入直线l0的方程，得m.k1，213k20.m2.m的取值范围为(，2)忽视“判别式”致误典例：(14分)已知双曲线x21，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A、B两点，且点P是线段AB的中点？易错分析由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线
11、与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判别式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误规范解答解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意3分设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.由得(2k2)x22k(1k)x(1k)220 (2k20)6分x0.由题意，得1，解得k2.9分当k2时，方程成为2x24x30.162480)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax2By21 (AB0，b0)的渐近线方程是yx，1 (a0，b0)的渐近线方程是yx.4若利用弦长公式计算，
12、在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况5直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.A组专项基础训练(时间：40分钟)1(2013北京)若双曲线1的离心率为，则其渐近线方程为()Ay2x ByxCyx Dyx答案B解析由e，知ca，得ba.渐近线方程为yx，yx.2(2013湖北)已知00，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为：xc或xc，代入1得y2b2(1)，y，故|AB|，依题意4a，2，e212，e.4(2014江西)过双曲线C：1的右顶
13、点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案A解析由得A(a，b)由题意知右焦点到原点的距离为c4，4，即(a4)2b216.而a2b216，a2，b2.双曲线C的方程为1.5已知点F是双曲线1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A(1，) B(1,2)C(1,1) D(2,1)答案B解析由题意易知点F的坐标为(c,0)，A(c，)，B(c，)，E(a,0)，A
14、BE是锐角三角形，0，即(ca，)(ca，)0，整理得3e22ee4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选B.6(2014北京)设双曲线C经过点(2,2)，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为_；渐近线方程为_答案1y2x解析设双曲线C的方程为x2 (0)，将点(2,2)代入上式，得3，C的方程为1，其渐近线方程为y2x.7(2014浙江)设直线x3ym0(m0)与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m,0)满足|PA|PB|，则该双曲线的离心率是_答案解析双曲线1的渐近线方程为yx.由得A(，)，由得B(，)，所以AB的中点C的坐标为(，
15、)设直线l：x3ym0(m0)，因为|PA|PB|，所以PCl，所以kPC3，化简得a24b2.在双曲线中，c2a2b25b2，所以e.8(2013湖南)设F1，F2是双曲线C：1(a0，b0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|PF2|6a且PF1F2的最小内角为30，则双曲线C的离心率为_答案解析不妨设|PF1|PF2|，则|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，|PF1|4a，|PF2|2a.又在PF1F2中，PF1F230，由正弦定理得，PF2F190，|F1F2|2a，双曲线C的离心率e.9已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，)(1)求
16、双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；(3)在(2)的条件下求F1MF2的面积(1)解离心率e，双曲线为等轴双曲线，可设其方程为x2y2(0)，则由点(4，)在双曲线上，可得42()26，双曲线方程为x2y26.(2)证明点M(3，m)在双曲线上，32m26，m23，又双曲线x2y26的焦点为F1(2，0)，F2(2，0)，(23，m)(23，m)(3)2(2)2m291230，MF1MF2，点M在以F1F2为直径的圆上(3)解4|m|6.10已知椭圆C1的方程为y21，双曲线C2的左、右焦点分别是C1的左、右顶点，而C2的左、右顶点分别是C1的左、
17、右焦点(1)求双曲线C2的方程；(2)若直线l：ykx与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且2(其中O为原点)，求k的取值范围解(1)设双曲线C2的方程为1 (a0，b0)，则a23，c24，再由a2b2c2，得b21.故C2的方程为y21.(2)将ykx代入y21，得(13k2)x26kx90.由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得k2且k22，得x1x2y1y22，2，即0，解得k23.由得k20，b0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率是()A42 B.1C. D.1答案D解析因为MF1的中点P在双曲线上，|PF2|PF1|
18、2a，MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以cc2a，所以e1，故选D.12(2013重庆)设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O、所成的角为60的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|A2B2|，其中A1、B1和A2、B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30且小于等于60，即tan 30tan 60，3.又e2()21，e24，0，b0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双
19、曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_答案解析由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，|PF1|a，|PF2|a.在PF1F2中，由余弦定理，得cosF1PF2e2.要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，当cosF1PF21时，得e，即e的最大值为.15已知离心率为的椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为2.(1)求椭圆及双曲线的方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A、B，在第二象限内取双曲线上一点P，连接BP交椭圆于点M，连接PA并延长交椭圆于点N，若，求四边形ANBM的面积解(1)设椭圆方程为1(ab0)，则根据题意知双曲线的方程为1，且满足解方程组得椭圆的方程为1，双曲线的方程为1.(2)由(1)得A(5,0)，B(5,0)，|AB|10，设M(x0，y0)，则由得M为BP的中点，所以P点坐标为(2x05,2y0)将M、P坐标代入椭圆和双曲线方程，得消去y0，得2x5x0250.解之，得x0或x05(舍去)y0.由此可得M(，)，P(10,3)当P为(10,3)时，直线PA的方程是y(x5)，即y(x5)，代入1，得2x215x250.x或5(舍去)，xN，xNxM，MNx轴S四边形ANBM2SAMB21015.