1、第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布授课提示：对应学生用书第349页A组基础保分练1若离散型随机变量X的分布列为X01P则X的数学期望E(X)()A2B2或C.D1解析：因为分布列中概率和为1，所以1，即a2a20，解得a2(舍去)或a1，所以E(X).答案：C2已知的分布列如下表，若22，则D()的值为()101PA.B C.D解析：E()101，D()222，D()D(22)4D().答案：D3.(多选题)(2021山东泰安模拟)“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，发明了“三系法”籼型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮
2、食安全、农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其密度函数为f(x)e，x(，)，则下列说法正确的是()A该地水稻的平均株高为100 cmB该地水稻株高的方差为10 cmC随机测量一株水稻，其株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大D随机测量一株水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)之间的概率一样大解析：正态分布密度函数为f(x)e，x(，)，由题意知100，2100，所以该地水稻的平均株高为100 cm，方差为100，故A正确，B错误；因为正态分布密度曲线关于直线x100对称，所以P(
3、X120)P(X80)P(X70)，故C正确；P(100X110)P(90X100)P(80X90)，故D错误答案：AC4(2021海口期末测试)已知随机变量X服从正态分布N(a,4)，且P(X1)0.5，P(X2)0.3，则P(Xa)0.5.由P(X1)0.5，可知a1，所以P(X2)0.3.答案：B5(多选题)(2021山东聊城模拟)随机变量的分布列为012Pa其中ab0，下列说法正确的是()Aab1BE()CD()随b的增大而减小DD()有最大值解析：根据分布列的性质得a1，即ab1，故A正确；根据数学期望公式得E()0a12，故B正确；根据方差公式得D()2a22b2b2，因为0b1，
4、所以当b时，D()取得最大值，故C不正确，D正确答案：ABD6甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A.B C.D解析：依题意，知X的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为22.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，从而有P(X2)，P(X4)，P(X6)2，故E(X)246.答案：B7(2021重庆九校联考)随机变量的分布
5、列为1012Pxy若E()，则xy_，D()_.解析：E()，由随机变量的分布列，知xy，x，y，D()2222.答案：8某校1 000名高三学生参加了一次数学考试，这次考试考生的分数服从正态分布N(90，2)若分数在(70,110内的概率为0.7，估计这次考试分数不超过70的人数为_解析：记考试成绩为，则考试成绩的正态曲线关于直线90对称因为P(70110)(10.7)0.15，所以这次考试分数不超过70的人数为1 0000.15 150.答案：1509某班为了活跃元旦晚会的气氛，主持人请12位同学做一个游戏，第一轮中，主持人将标有数字1到12的十二张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依
6、次从中取出一张卡片，取到标有数字7到12的卡片的同学留下，其余的淘汰；第二轮将标有数字1到6的六张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字4到6的卡片的同学留下，其余的淘汰；第三轮将标有数字1,2,3的三张相同的卡片放入一个不透明的盒子中，每人依次从中取出一张卡片，取到标有数字2,3的卡片的同学留下，其余的淘汰；第四轮用同样的办法淘汰一位同学，最后留下的这位同学获得一个奖品已知同学甲参加了该游戏(1)求甲获得奖品的概率；(2)设X为甲参加游戏的轮数，求X的分布列和数学期望解析：(1)设“甲获得奖品”为事件A，在每轮游戏中，甲留下的概率与他摸卡片的顺序无关，则P(
7、A).(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4，则P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).所以随机变量X的分布列为X1234P所以数学期望E(X)1234.B组能力提升练1(2021徐州抽测)在某次投篮测试中，有两种投篮方案，方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮方案乙：始终在B点投篮每次投篮相互独立，某选手在A点投中的概率为，投中一次得3分，没有投中得0分；在B点投中的概率为，投中一次得2分，没有投中得0分用随机变量表示该选手一轮投篮测试的累计得分，如果的值不低于3，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，且一轮测试最多投篮3次(1)若该选手选择方案甲，求测试结束后的分布
8、列和数学期望；(2)试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由解析：(1)在A点的一次投篮中，投中记作A，未投中记作；在B点的一次投篮中，投中记作B，未投中记作，则P(A)，P()1，P(B)，P()1，的所有可能取值为0,2,3,4，则P(0)P()P()P()P()，P(2)P(B)P(B)2，P(3)P(A)，P(4)P(BB)P()P(B)P(B).所以的分布列为0234P所以E()02343.05.(2)选手选择方案甲，通过测试的概率P1P(3)0.91，选手选择方案乙，通过测试的概率P2P(3)20.896，因为P2P1，所以该选手选择方案甲通过测试的可能性较大2在某市
9、高中某学科竞赛中，某一个区4 000名考生的竞赛成绩的频率分布直方图如图所示(1)求这4 000名考生的平均成绩(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)若竞赛成绩z服从正态分布N(，2)，其中，2分别取考生的平均成绩和考生成绩的方差s2，那么该区4 000名考生的成绩超过84.81分的人数估计有多少？(3)如果用该区参赛考生成绩的情况来估计全市参赛考生成绩的情况，现从全市参赛考生中随机抽取4名，记成绩不超过84.81分的考生人数为，求P(3)(精确到0.001)附：s2 204.75，14.31；0.841 340.501；zN(，2)，则P(z)0.682 7，P(2z2)0.95
10、4 5.解析：(1)由题意知，中点值455565758595频率0.10.150.20.30.150.1450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5，这4 000名考生的平均成绩为70.5分(2)依题意知70.5，2s2204.75，14.31，z服从正态分布N(70. 5,14.312)，而P(z)P(56.1984.81)0.158 7.又0.158 74 000634.8635，竞赛成绩超过84.81分的人数约为635人(3)全市参赛考生的成绩不超过84.81分的概率P10.158 7 0.841 3.而B(4,0.841 3)，P(3)1P(4)1C0.84
11、1 3410.5010.499.C组创新应用练1(多选题)(2020新高考全国卷)信息熵是信息论中的一个重要概念设随机变量X所有可能的取值为1,2，n，且P(Xi)pi0(i1,2，n)，i1，定义X的信息熵H(X)ilog2pi.()A若n1，则H(X)0B若n2，则H(X)随着pi的增大而增大C若pi(i1,2，n)，则H(X)随着n的增大而增大D若n2m，随机变量Y所有可能的取值1,2，m，且P(Yj)pjp2m1j(j1,2，m)，则H(X)H(Y)解析：对于A，当n1时，p11，H(X)1log210，故A正确对于B，当n2时，有p1p21，此时，若p1或都有H(X)，故B错误对于C
12、，当pi(i1,2，n)时，H(X)log2nlog2log2n，显然H(X)随n的增大而增大，故C正确对于D，法一：当n2m时，H(X)(p1log2p1p2log2p2p2m1log2p2m1p2mlog2p2m)(p1log2p1p2mlog2p2m)(p2log2p2p2m1log2p2m1)(pmlog2pmpm1log2pm1)，H(Y)(p1p2m)log2(p1p2m)(p2p2m1)log2(p2p2m1)(pmpm1)log2(pmpm1)，由于p1log2p1p2mlog2p2mlog2(p1p1pp2m2m)log2(p1p2m)p1(p1p2m)p2mlog2(p1p
13、2m)p1p2m(p1p2m)log2(p1p2m)，同理可证p2log2p2p2m1log2p2m1(p2p2m1)log2(p2p2m1)，pmlog2pmpm1log2pm1(pmpm1)log2(pmpm1)，所以H(X)H(Y)，故D错误法二(特值法)：令m1，则n2，p1，p2.P(Y1)1，H(Y)log210，H(X)0，H(X)H(Y)，故D错误答案：AC2某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元，在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，
14、为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解析：(1)由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16,17,18,19,20,21,22，P
15、(X16)0.20.20.04；P(X17)20.20.40.16；P(X18)20.20.2 0.40.40.24；P(X19)20.20.220.40.20.24；P(X20)20.20.40.20.20.2；P(X21)20.20.20.08；P(X22)0.20.20.04.所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)当n19时，E(Y)192000.68(19200500)0.2(192002500)0.08(192003500)0.044 040.当n20时，E(Y)202000.88(20200500)0.08(202002500)0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.