1、第六章 不等式、推理与证明第六节 直接证明与间接证明1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点2了解间接证明的一种基本方法反证法，了解反证法的思考过程、特点主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一 直接证明1综合法(1)定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法(2)框图表示：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证的结论)2分析法(1)定义：从_出发，逐步寻求使它成立的_，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条
2、件(已知条件、定理、定义、公理等)为止这种证明方法叫做分析法(2)框图表示：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件.答案1(1)推理论证 成立2(1)要证明的结论 充分条件1判断正误(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式 2 7 3 6最合适的方法是分析法()答案：(1)(2)(3)(4)2要证明 3 7cn1.答案：cncn1 知识点二 间接证明反证法：假设原命题_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明假设错
3、误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法答案不成立 矛盾4用反证法证明命题：“已知 a，bN，若 ab 可被 5 整除，则 a，b 中至少有一个能被 5 整除”时，反设正确的是()Aa，b 都不能被 5 整除Ba，b 都能被 5 整除Ca，b 中有一个不能被 5 整除Da，b 中有一个能被 5 整除解析：对原命题的结论的否定叙述是：a，b 都不能被 5 整除答案：A热点命题突破 02 课堂升华强技提能 热点一 分析法的应用【例 1】已知 a0，证明：a21a2 2a1a2.【证明】要证a21a2 2a1a2.只需证a21a2a1a(2 2)因为 a0，所以a1a(2 2)0，所以只需
4、证a2 1a22a1a 2 2 2，即 2(2 2)a1a 84 2，只需证 a1a2.因为 a0，a1a2 显然成立(当且仅当 a1a1 时等号成立)，所以要证的不等式成立.【总结反思】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证.已知 m0，a，bR，求证：amb1m2a2mb21m.证明：m0，1m0.所以要证原不等式成立，只需证(amb)2(1m)(a2mb2)，即证
5、 m(a22abb2)0，即证(ab)20，而(ab)20 显然成立，故原不等式得证 热点二 综合法的应用【例 2】已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx12x213x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求 a，b；(2)证明：f(x)g(x)【解】(1)f(x)11x，g(x)bxx2，由题意得g0f0，f0g0，解得 a0，b1.(2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1)13x312x2x(x1)h(x)1x1x2x1x3x1.h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即 f
6、(x)g(x).【总结反思】综合法是一种由因导果的证明方法，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不等式成立因此，综合法又叫做顺推证法或由因导果法其逻辑依据是三段论式的演绎推理方法，这就要保证前提正确，推理合乎规律，才能保证结论的正确性.设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d0)，Sn 是其前 n 项的和记 bn nSnn2c，nN*，其中 c 为实数若 c0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)证明：由题意得，Snnann12d.由 c0，得 bnSnn an12 d.又因为 b1，b2，b4 成等比数列，所以 b22b1b4，即ad22aa32d，
7、化简得 d22ad0.因为 d0，所以 d2a.因此，对于所有的 mN*，有 Smm2a.从而对于所有的 k，nN*，有 Snk(nk)2an2k2an2Sk.热点三 反证法的应用考向 1 证明否定性命题【例 3】设an是公比为 q 的等比数列，Sn 是它的前 n 项和(1)求证：数列Sn不是等比数列；(2)数列Sn是等差数列吗？为什么？【解】(1)证明：若Sn是等比数列，则 S22S1S3，即 a21(1q)2a1a1(1qq2)，a10，(1q)21qq2，解得 q0，这与 q0 相矛盾，故数列Sn不是等比数列(2)当 q1 时，Sn是等差数列当 q1 时，Sn不是等差数列假设 q1 时，
8、S1，S2，S3成等差数列，即 2S2S1S3,2a1(1q)a1a1(1qq2)由于 a10，2(1q)2qq2，即 qq2，q1，q0，这与 q0 相矛盾综上可知，当 q1 时，Sn是等差数列；当 q1 时，Sn不是等差数列.【总结反思】反证法的原理是“正难则反”，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法.已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解：(1)解：当 n1 时，a1S12a12，则 a11.又 anSn2，所以 an1Sn12，两式相减
9、得 an112an，所以an是首项为 1，公比为12的等比数列，所以 an 12n1.(2)证明：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为 ap1，aq1，ar1(pqr，且 p，q，rN*)则 2 12q 12p12r.所以 22rq2rp1.又因为 pqr，所以 rq，rpN*.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证考向 2 证明“至多”，“至少”，“唯一”性命题【例 4】已知 M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意 f(x)M，()方程 f(x)x0 有实数根；()函数 f(x)的导数 f(x)满足 0f(x)1.(1)判断函数 f(x)x2sinx4 是
10、不是集合 M 中的元素，并说明理由；(2)集合 M 中的元素 f(x)具有下面的性质：若 f(x)的定义域为 D，则对于任意m，nD，都存在 x0(m，n)，使得等式 f(n)f(m)(nm)f(x0)成立试用这一性质证明：方程 f(x)x0 有且只有一个实数根【解】(1)解：当 x0 时，f(0)0，所以方程 f(x)x0有实数根为 0；f(x)1214cosx，所以 f(x)14，34，满足条件 0f(x)1.由可得，函数 f(x)x2sinx4 是集合 M 中的元素(2)证明：假设方程 f(x)x0 存在两个实数根，()，则 f()0，f()0.不妨设，根据题意存在 c(，)满足 f()
11、f()()f(c)因为 f()，f()，且，所以 f(c)1.与已知 0f(x)1 矛盾又 f(x)x0 有实数根，所以方程 f(x)x0 有且只有一个实数根【总结反思】当一个命题的结论是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出现时，可用反证法来证，反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是与已知条件矛盾，与假设矛盾，与定义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等.已知 f(x)x2axb.(1)求 f(1)f(3)2f(2)(2)求证：|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于12.解：(1)因为 f(1)ab1，f(2)2ab4，f(3)3ab9，所以 f(1)f(3)2f(
12、2)2.(2)证明：假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于12，则12f(1)12，12f(2)12，12f(3)12.所以12f(2)1，1f(1)f(3)1，所以2f(1)f(3)2f(2)2，这与 f(1)f(3)2f(2)2 矛盾，所以假设错误，即所证结论成立1分析法和综合法各有优缺点分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来2用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论3利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的温示提馨请 做：课时作业 41（点击进入）温示提馨请 做：第五、六章阶段检测试题（点击进入）
