1、4.2一元二次不等式及其解法学 习 目 标核 心 素 养1.掌握图象法解一元二次不等式(重点)2能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点)1. 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养2. 通过一元二次不等式的应用，培养逻辑推理素养1一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫作一元二次不等式2一元二次不等式的解集使一元二次不等式成立的所有未知数的值组成的集合叫作一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系如下表：判别式b24ac000二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bxc0 (a0)的根有两相异实根x1
2、，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0 (a0)的解集x|xx2或xx1Rax2bxc0 (a0)的解集x|x1xx2思考：1.关于x的不等式ax2bxc0的解集为R，a，b，c满足的条件是什么？提示： 或 .2关于x的不等式ax2bxc0的解集为，a，b，c满足的条件是什么？提示： 或 .1不等式x23x20的解集为()A(，2)(1，)B(2，1)C(，1)(2，) D(1，2)D(x1)(x2)0，1x2.故原不等式的解集为(1，2).2设集合Sx|x|5，Tx|x24x210，则ST()Ax|7x5 Bx|3x5Cx|5x3 Dx|7x5CSx|5x5，Tx|7
3、x3，STx|5x0对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围解当a10，即a1时，原不等式化为x10，得x0.故实数a的取值范围为(0，).一元二次不等式的解法角度一二次项系数大于0【例1】解不等式3x25x20. 思路点拨先解方程，得不等式解集的端点；再画图象，确定不等式解集的结构，是取“两边”还是取“中间”解方程3x25x20的两解是x12，x2.函数y3x25x2的图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(2，0)和(，0).观察图象(右图)可得，不等式的解集为x|x角度二二次项系数小于0【例2】解不等式2x23x20.思路点拨把二次项系数化为正是求解的关键解原不等式化为2x23x20，2
4、x23x20的两解为x1，x22，且a20，不等式2x23x20的解集是x|x或x2即原不等式的解集是x|x或x2一元二次不等式一般解题步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；(2)计算对应方程的判别式，若判别式不小于零，求出相应的一元二次方程的根；(3)画出对应函数的简图，由图象得出不等式的解集1解不等式：x22x1. 解 原不等式化为x22x10. 0，方程x22x10有两相等实根x1x21.函数yx22x1的图象是开口向上的抛物线，如下图观察图象可得，原不等式的解集为x|x1含参数的一元二次不等式的解法【例3】解关于x的不等式ax22x10，a0，a0这种情况还需分0，0讨论解
5、(1)当a0时，不等式的解集为，(2)当a0时，44a，0即0a1时，不等式的解集为；0即a1时，不等式的解集为.(3)当a0，不等式的解集为x|x解含参数的一元二次不等式时，应对系数中的参数进行讨论：(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数(3)当0时，讨论相应一元二次方程两根的大小简记为“一a，二，三两根大小”. 最后对系数中的参数进行完全分类，即将(，)分成若干个区间，根据相应二次函数在各个区间的值，写出一元二次不等式的解集2解关于x的不等式x2ax2a20解 原不等式变形为(x2a)(xa)0，则ax2a，此时不
6、等式的解集为x|ax2a; 若a0，则2axa，此时不等式的解集为x|2axa; 若a0，则原不等式即为x20的解集是1二次项系数a大于0，还是小于0?提示：a0.2b24ac与0有怎样的关系？提示：b24ac03x1x2与x1x2如何用系数a，b，c表示出来？提示：x1x2，x1x2.【例4】不等式ax25xc0的解集为，则a，c的值为()Aa6，c1Ba6，c1Ca1，c1 Da1，c6 思路点拨利用一元二次不等式的解集的端点与相应的一元二次方程的根之间的关系求解B由已知得 解得 1若不等式ax2bx20的解集为，则ab()A28B26C28D26C2，是方程ax2bx20的两根，a4，b
7、7.ab28.2已知不等式ax2bx10的解集是 ，则不等式x2bxa0的解集是()A(2，3)B(，2)(3，)C(，)D(，)(，)A依题意， 与是方程ax2bx10的两根，则 即 又a0，不等式x2bxa0可化为x2x10，即x2x10，解得2x3.这种题型是已知一元二次不等式的解集，根据三个“二次”之间的关系，由解集得到方程的根，运用根与系数的关系，将含有参数的不等式转化为不含参数的不等式，从而使问题得到求解求解时，需要根据不等式解集的结构(“取两边”还是“取中间”)判断二次项系数的正负1一元二次不等式的解法(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二
8、次不等式的一般步骤：化不等式为标准形式：ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)；求方程ax2bxc0(a0)的根，并画出对应函数yax2bxc图象的简图；由图象得出不等式的解集(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解当m0)，一根(0)，无根(0是一元二次不等式()(2)若a0，则关于x的不等式ax210的解集是空集()(3)若关于x的不等式ax2bxc0的解集是R，则.()答案(1)(2)(3)2设集合Mx|x2x0，则()AMNBMNMCMNM DMNRB依题意M，Nx|2x0的解集是_x|x3或x0的解集是x|x3或x0，所以可解得解集为x|x3或x2p1p2.由得p3.