1、62.3向量的数乘运算新课程标准解读核心素养1.通过实例分析、掌握平面向量数乘运算及运算法则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义数学运算2.了解平面向量线性运算的性质及其几何意义逻辑推理一根细绳东西方向摆放，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，如果蚂蚁向东运动1秒钟的位移对应的向量为a，那么它在同一方向上运动3秒钟的位移对应的向量怎样表示？是3a吗？蚂蚁向西运动3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？是3a吗？你能用图形表示吗？问题类比实数的运算“aaa3a”你能猜想实例中aaa的结果吗？知识点一向量的数乘运算及运算律1向量的数乘(1)定义：一般地，我们规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫
2、做向量的数乘，记作a；(2)规定：|a|a|；当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a；(1)aa2向量数乘的运算律设，为实数，则(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.特别地，我们有()a(a)(a)，(ab)ab.1实数与向量可以相乘，那么能否相加或相减呢？提示：不能2若向量a是非零向量，则向量与向量a的方向如何？提示：方向相同1.aba4b等于()A2a3bBa3bC2a3b D2a2b解析：选C原式a(14)b2a3b.故选C.2(多选)已知实数m，n和向量a，b，下列说法中正确的是()Am(ab)mambB(mn)amanaC若ma
3、mb，则abD若mana(a0)，则mn解析：选ABD易知A和B正确；C中，当m0时，mamb0，但a与b不一定相等，故C不正确；D中，由mana，得(mn)a0，因为a0，所以mn，故D正确知识点二共线向量定理向量a(a0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使baa为什么是非零向量？b可以是零向量吗？提示：若a0，则a0，不唯一或不存在，b可以是0.1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)3a的方向与 6a的方向相反，且3a的模是6a的模的(a0)()(2)若向量b与a共线，则存在唯一的实数使ba.()(3)若ba，则a与b共线(其中为实数)()答案：(1)(2)(3)2若向量e
4、1，e2不共线，则下列各组中，向量a，b共线的有_(填序号)a2e1，b2e1；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.解析：中，ab，所以a，b共线；中，b2a，所以a，b共线；中，a4b，所以a，b共线；中，不存在R，使ab，所以a，b不共线答案：向量的线性运算例1(链接教科书第14页例5)化简下列各式：(1)3(6ab)9； (2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量线性运算的方法(1)向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主
5、要是“合并同类项”“提取公因式”，但这里的“同类项”“公因式”指向量，实数是向量的系数；(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算 跟踪训练1若向量a3i4j，b5i4j，则3(2ba)_解析：3(2ba)ab3a2b2baab(3i4j)(5i4j)11ij5i4j16ij.答案：16ij2若2(bc3x)b0，其中a，b，c为已知向量，则向量x_解析：由题知2xabcxb0，xabc，xabc.答案：abc3已知2abm，a3bn，那么a，b用m，n可以表示为a_，b_解析：由2abm，可得2amb
6、，代入a3bn可得a3(2am)n，解得amn，代入2amb可得bmn.答案：mnmn用已知向量表示未知向量例2(链接教科书第14页例6)在ABC中，已知D是BC上的点，且CD2BD，设a，b，试用a和b表示.解B，C，D三点共线，且CD2BD，.法一：()ab.法二：()，()ab.母题探究(变条件)若将本例中的“CD2BD”改为“CDBD”，你能用两种方法解答吗？解：法一：如图，又CDBD，()(ab)法二：如图，以AB，AC为邻边作ABEC，则.CDBD，D是AE的中点()(ab)用已知向量表示未知向量的两种方法(1)直接法(2)方程法：当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行
7、四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程 跟踪训练1.如图所示，ABCD中，E是BC的中点，若a，b，则()A.abB.abCab Dab解析：选Dab.故选D.2.如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解：由三角形中位线定理，知DE綉BC，故，即a.abaab.abaab.向量共线定理及应用例3(链接教科书第15页例7、第16页例8)设a，b是不共线的两个非零向量(1)若2ab，3ab，a3b，求证：A，B，C三点共线；(2)若8akb与ka2b共线，求实数k的值解(1)证明：(3ab
8、)(2ab)a2b，(a3b)(3ab)(2a4b)2，与共线，且有公共点B，A，B，C三点共线(2)8akb与ka2b共线，存在实数，使得8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b0.a与b不共线，解得2，k24.1证明或判断三点共线的方法(1)一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数，使得(或等)即可；(2)利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点存在实数x，y，使xy且xy1.2利用向量共线求参数的方法判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数，使得ba(a0)而已知向量共线求，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解，利用待定系数法建立
9、方程，从而解方程求得的值若两向量不共线，必有向量的系数为零 跟踪训练1已知P，A，B，C是平面内四点，且，则下列向量一定共线的是()A.与 B.与C.与 D.与解析：选B因为，所以0，即2，所以与共线故选B.2已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若xy，求xy的值解：由于A，B，P三点共线，则，共线，由共线向量定理可知，必存在实数使得，即()，(1).又xy，xy(1)，即(x1)(y)，不共线，x10，y0，x1，y，则xy1.1下列各式计算正确的个数是()(7)6a42a；a2b2(ab)3a；ab(ab)0.A0B1C2 D3解析：选C根据向量数乘的运算律可验证正确；错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数故选C.2设e1，e2是两个不共线的向量，若向量me1ke2(kR)与向量ne22e1共线，则()Ak0 Bk1Ck2 Dk解析：选D由共线向量定理可知存在实数，使mn，即e1ke2(e22e1)e22e1，又e1与e2是不共线向量，解得3.如图，平行四边形OADB中，向量a，b，且，试用a，b表示，.解：ab，(ab)，b(ab)babab.由ab，得ab，ab.