1、第七节 正弦定理和余弦定理的应用举例第七节 正弦定理和余弦定理的应用举例 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_的角叫仰角，在水平线_的角叫俯角(如图)上方下方2方位角：从正_方向顺时针转到目标方向线的角(如图，B点的方位角为)思考感悟1仰角、俯角、方位角有何区别？提示：三者的参照位置不同仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的北3方向角：相对于某一正方向的角(如图)(1)北偏东：指从正北方向顺时针旋转到达目标方向(2)东北方向：指北偏东45或东偏北45.(3)其他方向角类似
2、思考感悟2如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可惟一确定一点的位置4坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)坡比：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡比)课前热身 1若点A在点B的北偏西30，则B点在A点的_答案：南偏东302(2011年无锡质检)在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60，C点的俯角为70，则BAC等于_答案：1303在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60，塔基的俯角为45，那么这座塔吊的高是_m.答案：20(1)34.我舰在敌岛A南偏西50相距12海里的B处，发现敌舰正由岛A沿北偏西
3、10的方向以10海里/小时的速度航行，我舰要用2小时追上敌舰，则需要的最小速度为_答案：14海里/小时考点探究挑战高考 考点突破 测量距离 对于不可抵达的两地之间距离的测量问题(如海上、空中两地测量，隔着某一障碍物两地测量等)，解决的思路是建立三角形模型，转化为解三角形问题一般根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得到所求的量，从而得到实际问题的解，解题时应认真审题，结合图形去选择定理例1(2009年高考辽宁卷)如图，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75、30，于水面C处测得B点
4、和D点的仰角均为60，AC0.1 km.试探究图中B、D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449)26【思路分析】【解】在ACD 中，DAC30，ADC60DAC30，所以 CDAC0.1.又BCD180606060，故 CB 是CAD 底边 AD 的中垂线，所以 BDBA.在ABC 中，ABsinBCAACsinABC，所以 AB ACsin60sin15 3 2620.同理，BD 3 26200.33(km)故 B、D 的距离约为 0.33 km.【名师点评】求距离问题一般要注意：(1)基线的选取要准确恰当(在测量上，我们根据测
5、量需要适当确定的线段叫做基线，如例题中的CD)(2)选定或创建的三角形要确定(3)利用正弦定理还是余弦定理要确定测量高度 测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等数据计算物体的高度这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决例2 测量河对岸的塔高AB时，可选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，现测得BCD75，BDC60，CDs，并在点C处测得塔顶A的仰角为30，求塔高AB.【思路分析】在BCD中，求得CB，在ACB中，求出AB.【解】在BCD 中，CBD180756045，由正弦定理得BCsinBDCCDsinCBD，所以
6、BCCDsinBDCsinCBDssin60sin45 62 s.在 RtABC 中，ABBCtanACB62 stan3022 s.【名师点评】例2有两处易错点：(1)图形中为空间关系，极易当做平面问题处理，从而致错；(2)对仰角、俯角等概念理解不够深入，从而把握不准已知条件而致错测量角度 解决有关海上或空中测量角度的问题(如确定目标的方位、观察某一建筑物的视角等)的关键是根据题意和图形及有关概念，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量等例3(2010年高考福建卷节选)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30且与该港
7、口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值【思路分析】(1)满足AOC为直角三角形时最小；(2)利用余弦定理构造v关于t的函数【解】(1)法一：设相遇时小艇的航行距离为 s 海里，则s900t2400230t20cos9030900t2600t400900t132300.故当 t13时，smin10 3，v10 31330 3，即小艇以 30 3海里
8、/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向如图，设小艇与轮船在 C 处相遇在 RtOAC 中，OC20cos3010 3，AC20sin3010.又 AC30t，OCvt，此时，轮船航行时间 t103013，v10 31330 3，即小艇以 30 3海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小(2)如图，设小艇与轮船在 B 处相遇由 题 意，可 得(vt)2 202 (30t)2 22030tcos(9030)，化简，得 v2400t2 600t 900400(1t34)2675.由于 00)，于是 400u26
9、00u900v20.(*)小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于方程(*)应有两个不等正根，即60021600900v20，900v20，解得 15 3v30.所以 v 的取值范围为(15 3，30)方法感悟 方法技巧解三角形的一般步骤(1)分析题意，准确理解题意 分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡角、仰角、俯角、方位角等(2)根据题意画出示意图(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解演算过程中，要求算法简练，计算正确，并作答(4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍失误防范在解实际问题时，需注意的两个
10、问题(1)要注意仰角、俯角、方位角等名词，并能准确地找出这些角；(2)要注意将平面几何中的性质、定理与正、余弦定理结合起来，发现题目中的隐含条件，才能顺利解决考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年的江苏高考试题来看，利用正弦定理、余弦定理解决与测量、几何计算有关的实际问题是高考的热点，一般以解答题的形式考查，主要考查计算能力和分析问题、解决实际问题的能力，常与解三角形的知识及三角恒等变换综合考查如2010年高考江苏、陕西、福建卷都考查了本节内容 预测2012年江苏高考仍将以利用正弦、余弦定理，解决与测量、几何计算有关的实际问题为主要考点，重点考查应用所学知识解决实际问题的能力规范解答 例(本题满
11、分14分)(2010年高考陕西卷)如图，A，B 是海面上位于东西方向相距5(33)海里的两个观测点，现位于 A点北偏东 45，B 点北偏西 60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西 60且与 B 点相距 20 3 海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 30 海里/时，该救援船到达 D 点需要多长时间？【解】由题意知 AB5(3 3)(海里)，DBA906030，DAB904545，ADB180(4530)105.3 分在DAB 中，由正弦定理得DBsinDABABsinADB，4 分DBABsinDABsinADB 53 3sin45sin10553 3sin45s
12、in45cos60cos45sin605 3 3131210 3(海里).5 分又DBCDBAABC30(9060)60，BC203(海里)，8 分在DBC 中，由余弦定理得CD2BD2BC22BDBCcosDBC3001200210 320 312900，10 分CD30(海里)，则需要的时间 t30301(小时)即该救援船到达 D 点需要 1 小时.14 分【名师点评】本题考查了利用正、余弦定理解实际应用题，难度较小，但考生做得极不理想，其原因是平时做的这一类题太少考生失分点是：一是对方位角的概念不清，二是BD的长度计算出错，三是不能利用ABD求BD.名师预测 1.某校运动会开幕式上举行升
13、旗仪式，旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒，升旗手应以_米/秒的速度匀速升旗6解析：在BCD 中，BDC45，CBD30，CD10 6(米)，由正 弦定理，得 BCCDsin45sin30 203(米)；在 RtABC 中，ABBCsin60203 32 30(米)所以升旗速度 vABt 30500.6(米/秒)答案：0.62.如图位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西30、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处求援，求cos的值解：如题中图所示，在ABC 中，AB40，AC20，BAC 120，由 余 弦 定 理 知，BC2 AB2 AC2 2ABACcos1202800BC207.由正弦定理得，ABsinACBBCsinBACsinACBABBCsinBAC 217.由BAC120，知ACB 为锐角，则 cosACB2 77.由 ACB30，得 coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin302114.本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
