1、4.5 两角和与差的正弦、余弦、正切公式1两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos()cos cos sin sin (C()cos()cos_cos_sin_sin_(C()sin()sin_cos_cos_sin_(S()sin()sin_cos_cos_sin_(S()tan()tan tan 1tan tan (T()tan()tan tan 1tan tan (T()2二倍角公式sin 22sin_cos_；cos 2cos2sin22cos2112sin2；tan 2 2tan 1tan2.3在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等如 T()
2、可变形为tan tan tan()(1tan_tan_)，tan tan 1tan tan tan tan tan tan 1.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)存在实数，使等式 sin()sin sin 成立()(2)在锐角ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定()(3)公式 tan()tan tan 1tan tan 可以变形为 tan tan tan()(1tan tan)，且对任意角，都成立()(4)存在实数，使 tan 22tan.()(5)设 sin 2sin，(2，)，则 tan 2 3.()1(2013浙江)已知 R
3、，sin 2cos 102，则 tan 2 等于()A.43B.34C34D43答案 C解析 sin 2cos 102，sin24sin cos 4cos252.化简得：4sin 23cos 2，tan 2sin 2cos 234.故选 C.2若sin cos sin cos 12，则 tan 2 等于()A34B.34C43D.43答案 B解析 由sin cos sin cos 12，等式左边分子、分母同除 cos 得，tan 1tan 112，解得 tan 3，则 tan 2 2tan 1tan234.3(2013课标全国)设 为第二象限角，若 tan4 12，则 sin cos _.答案
4、 105解析 tan4 12，tan 13，即3sin cos，sin2cos21，且 为第二象限角，解得 sin 1010，cos 3 1010.sin cos 105.4(2014课标全国)函数 f(x)sin(x2)2sin cos(x)的最大值为_答案 1解析 f(x)sin(x2)2sin cos(x)sin(x)2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin 2sin cos(x)sin(x)cos cos(x)sin sin(x)sin x，f(x)的最大值为 1.题型一 三角函数公式的基本应用例 1(1)设 tan，tan 是方程 x23x20 的两根，则 tan
5、()的值为()A3B1C1D3(2)若 02，20，cos(4)13，cos(42)33，则 cos(2)等于()A.33B 33C.5 39D 69答案(1)A(2)C解析(1)由根与系数的关系可知tan tan 3，tan tan 2.tan()tan tan 1tan tan 3123.故选 A.(2)cos(2)cos(4)(42)cos(4)cos(42)sin(4)sin(42)02，则4434，sin(4)2 23.又20，则4420，所以原式2cos222sin2cos2cos2sin22cos2(cos2sin2)(cos2sin2)cos22sin22cos.(2)因为三个
6、内角 A，B，C 成等差数列，且 ABC，所以 AC23，AC23，tan AC2 3，所以 tan A2tan C2 3tan A2tan C2tanA2C2 1tan A2tan C2 3tan A2tan C2 31tan A2tan C2 3tan A2tan C2 3.题型三 三角函数公式运用中角的变换例 3(1)已知，均为锐角，且 sin 35，tan()13.则 sin()_，cos _.(2)(2013课标全国)已知 sin 223，则 cos24 等于()A.16B.13C.12D.23答案(1)1010 950 10(2)A解析(1)，(0，2)，从而22.又tan()13
7、0，20.sin()1010，cos()3 1010.为锐角，sin 35，cos 45.cos cos()cos cos()sin sin()453 1010 35(1010)9 1050.(2)因为 cos24 1cos2421cos2221sin 22，所以 cos24 1sin 221232 16，选 A.思维升华 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”2常见的配角技
8、巧：2()()，()，2 2，2 2，2(2)(2)等(1)设、都是锐角，且 cos 55，sin()35，则 cos 等于()A.2 525B.2 55C.2 525 或2 55D.55 或 525(2)已知 cos(6)sin 45 3，则 sin(76)的值是_答案(1)A(2)45解析(1)依题意得 sin 1cos22 55，cos()1sin245.又，均为锐角，所以 0cos()因为45 55 45，所以 cos()45.于是 cos cos()cos()cos sin()sin 45 55 352 55 2 525.(2)cos(6)sin 45 3，32 cos 32sin
9、45 3，3(12cos 32 sin)45 3，3sin(6)45 3，sin(6)45，sin(76)sin(6)45.高考中的三角函数求值、化简问题典例：(1)若 tan 22 2，22，则2cos22sin 12sin4_.(2)(2014课标全国)设(0，2)，(0，2)，且 tan 1sin cos ，则()A32B22C32D22(3)(2012大纲全国)已知 为第二象限角，sin cos 33，则 cos 2 等于()A 53B 59C.59D.53(4)(2012重庆)sin 47sin 17cos 30cos 17等于()A 32B12C.12D.32思维点拨(1)注意和差
10、公式的逆用及变形(2)“切化弦”，利用和差公式、诱导公式找，的关系(3)可以利用 sin2cos21 寻求 sin cos 与 sin cos 的联系(4)利用和角公式将已知式子中的角向特殊角转化解析(1)原式cos sin sin cos 1tan 1tan，又 tan 2 2tan 1tan22 2，即 2tan2tan 20，解得 tan 12或 tan 2.22，20，2k22k34(kZ)，4k20，cos 0，cos sin 0，tan 1.8.3tan 1234cos2122sin 12_.答案 4 3解析 原式3sin 12cos 12 322cos2121sin 122 31
11、2sin 12 32 cos 12cos 122cos 24sin 122 3sin482cos 24sin 12cos 122 3sin 48sin 24cos 242 3sin 4812sin 484 3.9已知1sin 1sin 1sin 1sin 2tan，试确定使等式成立的 的取值集合解 因为1sin 1sin 1sin 1sin 1sin 2cos21sin 2cos2|1sin|cos|1sin|cos|1sin 1sin|cos|2sin|cos|，所以2sin|cos|2tan 2sin cos .所以 sin 0 或|cos|cos 0.故 的取值集合为|k 或 2k22k
12、 或 2k2k32，kZ10已知 2，且 sin 2cos 2 62.(1)求 cos 的值；(2)若 sin()35，2，求 cos 的值解(1)因为 sin 2cos 2 62，两边同时平方，得 sin 12.又2，所以 cos 32.(2)因为2，2，所以2，故22.又 sin()35，得 cos()45.cos cos()cos cos()sin sin()32 451235 4 3310.B 组 专项能力提升(时间：25 分钟)11已知 tan(4)12，且20，则2sin2sin 2cos4等于()A2 55B3 510C3 1010D.2 55答案 A解析 由 tan(4)tan
13、 11tan 12，得 tan 13.又20，所以 sin 1010.故2sin2sin 2cos42sin sin cos 22 sin cos 2 2sin 2 55.12若 0，2，且 sin2cos 214，则 tan 的值等于()A.22B.33C.2D.3答案 D解析 0，2，且 sin2cos 214，sin2cos2sin214，cos214，cos 12或12(舍去)，3，tan 3.13若 tan 12，(0，4)，则 sin(24)_.答案 7 210解析 因为 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan2145，又由(0，4)，得 2(0，2)，所
14、以 cos 2 1sin2235，所以 sin(24)sin 2cos4cos 2sin445 22 35 22 7 210.14已知函数 f(x)sinx74 cosx34，xR.(1)求 f(x)的最小正周期和最小值；(2)已知 cos()45，cos()45，02，求证：f()220.(1)解 f(x)sinx74 2 cosx42sinx4 sinx4 2sinx4，T2，f(x)的最小值为2.(2)证明 由已知得 cos cos sin sin 45，cos cos sin sin 45，两式相加得 2cos cos 0，02，2，f()224sin2420.15已知 f(x)(1
15、1tan x)sin2x2sin(x4)sin(x4)(1)若 tan 2，求 f()的值；(2)若 x 12，2，求 f(x)的取值范围解(1)f(x)(sin2xsin xcos x)2sinx4 cosx41cos 2x212sin 2xsin2x21212(sin 2xcos 2x)cos 2x12(sin 2xcos 2x)12.由 tan 2，得 sin 2 2sin cos sin2cos2 2tan tan2145.cos 2cos2sin2sin2cos21tan21tan235.所以，f()12(sin 2cos 2)1235.(2)由(1)得 f(x)12(sin 2xcos 2x)12 22 sin2x4 12.由 x12，2，得5122x454.所以 22 sin2x4 1,0f(x)212，所以 f(x)的取值范围是0，212.