1、8.机械能守恒定律目标导航 学习目标 1.能够分析动能和势能之间的相互转化问题。2.能够推导机械能守恒定律。3.会根据机械能守恒的条件判断机械能是否守恒。4.能运用机械能守恒定律解决有关问题,并领会运用机械能守恒定律解决问题的优越性。重点难点 重点:1.机械能守恒的条件;2.在具体的问题中判定机械能是否守恒,并能列出数学表达式。难点:1.判断机械能是否守恒;2.灵活运用机械能守恒定律解决问题。激趣诱思生活经验:骑自行车以某一速度上坡时,如果我们不再用力蹬车,随着高度的增加,车速会逐渐减小;骑自行车下坡时,即使不再用力蹬车,随着高度的降低,车速也会逐渐增大,如图所示。为什么?骑自行车下坡时,不蹬
2、踏板也能加速下滑简答:这是因为在上坡过程中重力势能在逐渐增大,同时动能在逐渐减小;下坡过程中重力势能在逐渐减小,同时动能在逐渐增大,在上述过程中,动能和重力势能同时发生变化。预习导引一、动能与势能的相互转化1.动能与重力势能间的转化只有重力做功时,若重力做正功,则重力势能转化为动能,若重力做负功,则动能转化为重力势能,转化过程中,动能与重力势能之和保持不变。2.动能与弹性势能间的转化被压缩的弹簧把物体弹出去,射箭时绷紧的弦把箭射出去,这些过程都是弹力做正功,弹性势能转化为动能。3.机械能动能、重力势能和弹性势能统称为机械能,在重力或弹力做功时不同形式的机械能可以发生相互转化。预习交流 1如图所
3、示,骑自行车下坡,不蹬踏板自行车也能向下加速运动,这是为什么?提示:骑自行车下坡的过程中,车和人的重力要做功,重力势能逐渐减小,同时车的动能逐渐增大。可见,通过重力做功,重力势能转化为动能。二、机械能守恒定律1.内容在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能和势能可以相互转化,而总的机械能保持不变。2.守恒定律表达式(1)Ek2-Ek1=Ep1-Ep2 即 Ek 增=Ep 减。(2)Ek2+Ep2=Ek1+Ep1。(3)E2=E1。3.守恒条件只有重力(或系统内的弹力)做功。预习交流 2用细绳把铁锁吊在高处,并把铁锁拉到鼻子尖前释放,保持头的位置不动,铁锁摆回来时,会打到鼻子吗?试试看,并解释原因
4、。提示:不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验,若没有阻力,铁锁刚好能回到初位置,遵循机械能守恒定律。若存在阻力,机械能损失,铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度,因此铁锁一定不能到达鼻子的位置。三、机械能守恒定律的应用应用机械能守恒定律解题的步骤1.选取研究对象(物体或系统)。2.明确研究对象的运动过程,分析研究对象在过程中的受力情况,弄清各力做功情况,判断机械能是否守恒。3.选取恰当的参考平面,确定研究对象在初末状态的机械能。4.选取恰当的表达式列方程求解。一、机械能守恒定律知识精要判断系统的机械能是否守恒,通常可采用下列三种不同的方法:1.做功条件分析法应用系统机械能守恒的条件进行分
5、析。若物体系统内只有重力和弹力做功,其他力均不做功,则系统的机械能守恒。2.能量转化分析法从能量转化的角度进行分析。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递,机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加),则系统的机械能守恒。3.增减情况分析法直接从机械能各种形式能量的增减情况进行分析。若系统的动能与势能均增加或均减少,则系统的机械能不守恒;若系统的动能(或势能)不变,而势能(或动能)却发生了变化,则系统的机械能不守恒;若系统内各个物体的机械能均增加或均减少,则系统的机械能也不守恒。当然,这种方法只能判断系统的机械能明显不守恒的情况,对于另一些情况
6、(如系统的动能增加而势能减少)则无法做出定性的判断。思考探究1.如图所示,一小球从某一高度开始做自由落体运动,途中经过A、B 两点,小球在 A、B 两点的机械能分别为 EA、EB。试确定 EA和 EB 的关系。答案:设小球的质量为 m,取地面为零势能面,则小球在 A、B 两点的机械能为EA=EkA+EpA=12 12+mgh1EB=EkB+EpB=12 22+mgh2由 A 到 B,重力做功为 W,由动能定理得W=EkB-EkA=12 22 12 12又重力做功对应重力势能的减小量,所以W=EpA-EpB=mgh1-mgh2由以上两式可得 EkB-EkA=EpA-EpB整理得 EkB+EpB=
7、EkA+EpA或12 22+mgh2=12 12+mgh1即 EB=EA上式是机械能守恒定律的表达式。同样可以证明,在只有弹力做功的物体系统内,动能和弹性势能可以相互转化,总的机械能也保持不变。2.分析以下情况,判断机械能是否守恒。(1)一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动(图甲)。(2)运动员在蹦床上越跳越高(图乙)。(3)图丙中小车上放一木块,小车的左侧有弹簧与墙壁相连,小车在左右振动时,木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)。(4)图丙中小车振动时,木块相对小车有滑动。答案:(1)中弹丸只受重力与支持力,支持力不做功,只有重力做功,所以机械能守恒。(2)中运动员消耗内能做功,其机械能
8、越来越大。(3)中只有弹力做功,机械能守恒。(4)中有滑动摩擦力做功,所以机械能不守恒。典题例解【例 1】(多选)下列关于机械能是否守恒的叙述中正确的是()A.做匀速直线运动的物体机械能一定守恒B.做匀变速运动的物体机械能可能守恒C.外力对物体做功为零时,物体的机械能一定守恒D.系统内只有重力和弹力做功时,系统的机械能一定守恒解析:做匀速直线运动的物体机械能不一定守恒,比如降落伞匀速下落,机械能减少,故A错误;做匀变速运动的物体机械能可能守恒,比如自由落体运动,故 B 正确;机械能守恒的条件是系统内只有重力和弹力做功,故 C 错误,D 正确。答案:BD迁移应用1.关于机械能守恒,下列说法中正确
9、的是()A.物体做匀速运动,其机械能一定守恒B.物体所受合力不为 0,其机械能一定不守恒C.物体所受合力做功不为 0,其机械能一定不守恒D.物体沿竖直方向向下做加速度为 5 m/s2 的匀加速运动,其机械能减少解析:物体做匀速运动其动能不变,但机械能可能变,如物体匀速上升或下降,机械能会相应的增加或减少,选项A错误;物体仅受重力作用,只有重力做功时,物体的机械能守恒,选项 B、C 错误;物体沿竖直方向向下做加速度为 5 m/s2 的匀加速运动时,物体一定受到一个与运动方向相反的力作用,此力对物体做负功,物体的机械能减少,故选项 D 正确。答案:D2.(多选)质量相同的小球 A 和 B 分别悬挂
10、在长为 L 和 2L 的不同长绳上,先将小球拉至同一水平位置(如图所示)从静止释放,当两绳竖直时,则()A.两球的速率一样大B.两球的动能一样大C.两球的机械能一样大D.两球所受的拉力一样大解析:两球在下落过程中,机械能守恒,开始下落时,重力势能相等,动能都为零,所以机械能相等,下落到最低点时的机械能也一样大选项 C 正确。选取小球 A 为研究对象,设小球到达最低点时的速度大小为 vA,动能为 EkA,小球所受的拉力大小为 FA,则 mgL=12 2,FA-mg=2,可得 vA=2,EkA=mgL,FA=3mg;同理可得vB=2,EkB=2mgL,FB=3mg。故选项 A、B 错误,选项 D
11、正确。答案:CD二、机械能守恒定律的应用知识精要1.应用机械能守恒定律的解题步骤(1)选取研究对象(物体或系统)。(2)明确研究对象的运动过程,分析研究对象在运动过程中的受力情况,弄清各力的做功情况,判断机械能是否守恒。(3)选取恰当的参考平面,确定研究对象在初、末状态的机械能。(4)选取机械能守恒的某种表达式,列方程求解。2.机械能守恒定律和动能定理的比较 规律内容 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1=E2Ek=-EpEA=-EB W=Ek 应用范围 只有重力或弹力做功时 无条件限制 物理意义 重力或弹力做功的过程是动能与势能转化的过程 合外力对物体做的功是动能变化的量度 关注角度 守恒
12、的条件和始末状态机械能的形式及大小 动能的变化及合外力做功情况 思考探究1.应用机械能守恒定律一定要选取零势能面吗?答案:不一定。在选用表达式 Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 时,一定要选取零势能面,在选用表达式 Ek=-Ep或EA=-EB时不必选取零势能面。2.应用机械能守恒定律解决的问题能用动能定理解决吗?它们有什么异同点?答案:(1)共同点:机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量变化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的变化,表达这两个规律的方程都是标量式。(2)不同点:机械能守恒定律有一定的适用条件,即只有重力、弹力做功;而动能定理的成立没有条件限制,它不但允许重力做功还允许其他力做
13、功。动能定理的研究对象是一个物体(质点),机械能守恒定律的研究对象可以是单个物体,也可以是多个物体。物体所受合力做的功等于动能的改变;除重力和弹力以外的其他力做的总功等于机械能的改变。说明:除重力和弹力做功外还有其他力做功且做功不为零时,其他力做功的数值等于机械能的变化量。由于应用动能定理不需要满足什么条件,所以涉及功能关系问题时还是优先考虑动能定理。典题例解【例 2】如图所示,一固定在竖直平面内的光滑的半圆形轨道 ABC,其半径 R=0.5 m,轨道在 C 处与水平地面相切,在 C 处放一小物块,给它一水平向左的初速度 v0=5 m/s,结果它沿 CBA 运动,通过 A 点,最后落在水平地面
14、上的 D 点,求 C、D 间的距离 x。(重力加速度 g 取 10 m/s2)解析:解法一:应用机械能守恒定律求解物块由 C 到 A 过程,只有重力做功,机械能守恒,则Ep=-Ek,即 2mgR=12 02 12mv2,物块从 A 到 D 过程做平抛运动,则竖直方向:2R=12gt2,水平方向:x=vt,由式并代入数据得 x=1 m。解法二:应用动能定理求解物体由 C 到 A 过程,只有重力做功,由动能定理得-mg2R=12mv2-12 02,物块从 A 到 D 过程做平抛运动,则竖直方向:2R=12gt2,水平方向:x=vt,由式并代入数据得 x=1 m。答案:1 m迁移应用1.如图所示,在
15、水平台面上的 A 点,一个质量为 m 的物体以初速度v0 被抛出,不计空气阻力,求它到达 B 点时速度的大小。解析:物体抛出后的运动过程中只受重力作用,机械能守恒,若选地面为参考面,则mgH+12 02=mg(H-h)+12 2,解得 vB=02+2,若选桌面为参考面,则12 02=-mgh+12 2,解得它到达 B 点时速度的大小为 vB=02+2。答案:02+22.如图所示,位于竖直平面内的光滑轨道,由一段倾斜的直轨道和与之相切的圆形轨道连接而成,圆形轨道的半径为 R。一质量为 m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑,然后沿圆形轨道运动。要求小物块能通过圆形轨道的最高点,且在该最高点与轨道
16、间的压力不能超过 5mg(g 为重力加速度)。求小物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度 h 的取值范围。解析:设小物块在圆形轨道最高点的速度为 v,由机械能守恒定律得 mgh=2mgR+12mv2小物块在最高点受到的重力与压力的合力提供向心力,有mg+FN=m2小物块能通过最高点的条件是 FN0由式得 v 由式得 h52R按题目要求,FN5mg,由式得 v 6由式得 h5R所以高度 h 的取值范围是52Rh5R。答案:52Rh5R多个运动物体的机械能守恒问题知识链接对于相互作用的物体系而言,由于有内力做功,单个物体的机械能往往不守恒,因此要合理选取系统,判断是哪个系统的机械能守恒,然后再利用机
17、械能守恒定律列式求解。案例探究如图所示是一个横截面为半圆、半径为 R 的光滑柱面,一根不可伸长的细线两端分别系着物体 A、B,则 mA=2mB,由图示位置从静止开始释放 A 物体,当物体 B 到达圆柱顶点时,求绳的张力对物体 B所做的功。思路点拨:本题要求出绳的张力对物体 B 做的功,关键求出物体B 到达圆柱顶点时的动能。解析:由于柱面是光滑的,故系统的机械能守恒,系统重力势能的减少量等于系统动能的增加量。系统重力势能的减少量为Ep=mAg2-mBgR,系统动能的增加量为 Ek=12(mA+mB)v2。由 Ep=Ek 得 v2=23(-1)gR,绳的张力对 B 做的功 W=12mBv2+mBgR=+23 mBgR。答案:+23 mBgR思悟升华本题要注意的是,物体 A 下落的高度与物体 B 上升的高度并不相等。利用哪种表达方式列机械能守恒定律的方程要视具体的情况而定,总之以列方程求解简单方便为主,千万不要把几种表达式混在一起列式,另外确定零势能参考平面也是解题的重要一环,只有确定了零势能参考平面,才能确定系统中物体的重力势能。但采用-Ep=Ek 时则不需要确定零势能参考平面。