1、高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-1-6.1 不等关系与不等式1两个实数比较大小的方法(1)作差法ab0a bab0a bab0a 1a bab1a bab1a 0)2不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性abbb，bcac可加性abacbc 可乘性abc0 acbc注意 c 的符号abc0 acbcd acbd同向同正可乘性ab0cd0 acbd 可乘方性ab0anbn(nN，n1)a，b 同为正数可开方性ab0n an b(nN，n2)3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质ab，ab01a1b.a0b1ab0,0cbd.0axb 或 axb01b1xb0，m0，则b
2、abmam(bm0)；abambm；ab0)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)ab0，cd0adbc.()(3)若 ab0，则 ab1a1，则 ab.()(5)若 ab1，cloga(bc)()(6)若1a1b|b|.()1(2014四川)若 ab0，cdbdB.acbcD.adbc答案 D解析 令 a3，b2，c3，d2，则ac1，bd1，所以 A，B 错误；ad32，bc23，所以adbc，所以 C 错误故选 D.2设 ab1bB.1ab1aC|a|bD.a b答案 B解析 由题设得 aab0，所以有 1ab1a不成立3限速 40
3、km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，写成不等式就是_答案 v40 km/h4已知 a1a2，b1b2，则 a1b1a2b2 与 a1b2a2b1 的大小关系是_答案 a1b1a2b2a1b2a2b1解析 a1b1a2b2(a1b2a2b1)a1(b1b2)a2(b2b1)(b1b2)(a1a2)，a1a2，b1b2，(b1b2)(a1a2)0，a1b1a2b2a1b2a2b1.高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-4-题型一 用不等式(组)表示不等关系例 1 某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元销售，每天可销售
4、100 件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润已知这种商品的单价每提高 1 元，销售量就相应减少 10 件若把提价后商品的单价设为 x 元，怎样用不等式表示每天的利润不低于 300 元？解 若提价后商品的单价为 x 元，则销售量减少x10110 件，因此，每天的利润为(x8)10010(x10)元，则“每天的利润不低于 300 元”可以表示为不等式(x8)10010(x10)300.思维升华 对于不等式的表示问题，关键是理解题意，分清变化前后的各种量，得出相应的代数式，然后，用不等式表示而对于涉及条件较多的实际问题，则往往需列不等式组解决 已知甲、乙两种食物的维生素 A，B 含量如下
5、表：甲乙维生素 A(单位/kg)600700维生素 B(单位/kg)800400设用甲、乙两种食物各 x kg，y kg 配成至多 100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有 56 000单位维生素 A 和 62 000 单位维生素 B，则 x，y 应满足的所有不等关系为_答案 xy100，6x7y560，2xy155，x0，y0题型二 比较大小例 2(1)已知 a1，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是()AMNCMND不确定(2)若 aln 33，bln 44，cln 55，则()AabcBcbaCcabDbac答案(1)B(2)B解析(1)MN
6、a1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-5-又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即 MN0.MN.(2)易知 a，b，c 都是正数，ba3ln 44ln 3log8164b；bc5ln 44ln 5log6251 0241，所以 bc.即 cba.思维升华 比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤：作差；变形；定号；结论其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差(2)作商法：一般步骤：作商；变形；判断
7、商与 1 的大小；结论(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系(1)如果 ab0，那么下列不等式成立的是()A.1a1bBabb2Caba2D1acbBbcaCcbaDcab答案(1)D(2)D解析(1)对于 A 项，由 ab0，ab0，故1a1bbaab 0，1a1b，故 A 项错误；对于 B 项，由 ab0，abb2，故 B 项错误；对于 C 项，由 ab0，a2ab，高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-6-即aba2，故 C 项错误；对于 D 项，由 ab0，得 ab0，故1a(1b)abab 0，1a1b成立故 D 项正
8、确(2)因为 log32 1log231，log52 1log251，所以 c 最大又 1log23 1log25，即 ab，所以 cab，选 D.题型三 不等式性质的应用例 3 已知 ab0，给出下列四个不等式：a2b2；2a2b1；ab a b；a3b32a2b.其中一定成立的不等式为()ABCD答案 A解析 方法一 由 ab0 可得 a2b2，成立；由 ab0 可得 ab1，而函数 f(x)2x 在 R 上是增函数，f(a)f(b1)，即 2a2b1，成立；ab0，a b，(ab)2(a b)22 ab2b2 b(a b)0，ab a b，成立；若 a3，b2，则 a3b335,2a2b
9、36，a3b3b2，2a2b1，ab a b均成立，而a3b32a2b 不成立，故选 A.思维升华(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明常用的推理判断需要利用不等式的性质(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等(1)设 a，b 是非零实数，若 ab，则下列不等式成立的是()高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-7-Aa2b2Bab2a2bC.1ab2 1a2bD.bab，则 ac2bc2；若 ac2bc2，则 ab
10、；若 ab，则 a2cb2c.其中正确的是_(填上所有正确命题的序号)答案(1)C(2)解析(1)当 a0 时，a20，ab 符号不确定，所以 ab2 与 a2b 的大小不能确定，故 B 错因为 1ab2 1a2baba2b2 0，所以 1ab20 知成立不等式变形中扩大变量范围致误典例：设 f(x)ax2bx，若 1f(1)2,2f(1)4，则 f(2)的取值范围是_易错分析 解题中多次使用同向不等式的可加性，先求出 a，b 的范围，再求 f(2)4a2b的范围，导致变量范围扩大解析 方法一 设 f(2)mf(1)nf(1)(m、n 为待定系数)，则 4a2bm(ab)n(ab)，即 4a2
11、b(mn)a(nm)b，于是得mn4，nm2，解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即 5f(2)10.方法二 由f1ab，f1ab高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-8-得a12f1f1，b12f1f1.f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)10.方法三 由1ab2，2ab4确定的平面区域如图阴影部分，当 f(2)4a2b 过点 A(32，12)时，取得最小值 4322125，当 f(2)4a2b 过点 B(3,1)时，取得最大值 432110，5f(
12、2)10.答案 5,10温馨提醒(1)此类问题的一般解法：先建立待求整体与已知范围的整体的关系，最后通过”一次性“使用不等式的运算求得整体范围；(2)求范围问题如果多次利用不等式有可能扩大变量取值范围.方法与技巧1用同向不等式求差的范围axb，cydaxb，dyc adxy0，ab1a0，a1b.3比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一比差法的主要步骤：作差变形判断正负在所给不等式完全是积、商、幂的形式时，可考虑比商4求某些代数式的范围可考虑采用整体代入的方法失误与防范高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-9-1abacbc 或 abacb1a1b或 a1b
13、，当 ab0 时不成立3abanbn 对于正数 a、b 才成立4.ab1ab，对于正数 a、b 才成立5注意不等式性质中“”与“”的区别，如：ab，bcac，其中 ac 不能推出abbc.6比商法比较大小时，要注意两式的符号.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1“acbd”是“ab 且 cd”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 由同向不等式的可加性知“ab 且 cd”“acbd”，反之不对2若1a1b0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Babb2Cab|ab|答案 D解析 1a1b0，ba0.a2b2，abb2，abyz，xyz0，则下列
14、不等式中成立的是()AxyyzBxzyzCxyxzDx|y|z|y|答案 C解析 因为 xyz，xyz0，所以 3xxyz0,3z0，z0，yz，可得 xyxz.4设(0，2)，0，2，那么 23的取值范围是()A(0，56)B(6，56)C(0，)D(6，)答案 D解析 由题设得 02，036，630，6231，且 mloga(a21)，nloga(a1)，ploga(2a)，则 m，n，p 的大小关系为()AnmpBmpnCmnpDpmn答案 B解析 因为 a1，所以 a212a(a1)20，即 a212a，又 2aa1，所以由对数函数的单调性可知 loga(a21)loga(2a)log
15、a(a1)，即 mpn.6已知 a0，1b”连接)答案 abab2a解析 由1b0，可得 bb21.又 aab2a.7设 abc0，x a2bc2，y b2ca2，z c2ab2，则 x，y，z 的大小关系是_(用“”连接)答案 zyx解析 方法一 y2x22c(ab)0，yx.同理，zy，zyx.方法二 令 a3，b2，c1，则 x 18，y 20，z 26，故 zyx.8已知 a，b，c，d 均为实数，有下列命题若 ab0，bcad0，则cadb0；若 ab0，cadb0，则 bcad0；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-11-若 bcad0，cadb0，则 ab0.其中
16、正确的命题是_答案 解析 ab0，bcad0，cadbbcadab0，正确；ab0，又cadb0，即bcadab0，bcad0，正确；bcad0，又cadb0，即bcadab0，ab0，正确故都正确9若实数 a1，比较 a2 与 31a的大小解 a2 31aa2a11aa2a1a1，当 a1 时，a2 31a；当 a1 时，a2v2，t 甲t 乙乙先到教室B 组 专项能力提升(时间：25 分钟)11若 ab0，则下列不等式中一定成立的是()Aa1bb1aB.bab1a1高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-12-Ca1bb1aD.2aba2bab答案 A解析 取 a2，b1，排除
17、 B 与 D；另外，函数 f(x)x1x是(0，)上的增函数，但函数g(x)x1x在(0,1上递减，在1，)上递增，所以，当 ab0 时，f(a)f(b)必定成立，即 a1ab1ba1bb1a，但 g(a)g(b)未必成立，故选 A.12已知 alog32，bln 2，c125，则 a，b，c 的大小关系为_(用“”连接)答案 cab解析 alog32ln 2ln 3，0ln 21，aln 2b，即 ab，a 1log23，c 15，0log232，0log23c，cab.13设 x，y 为实数，满足 3xy28,4x2y 9，则x3y4的最大值是_答案 27解析 由 4x2y 9，得 16x
18、4y281.又 3xy28，18 1xy213，2x3y427.又 x3，y1 满足条件，这时x3y427.x3y4的最大值是 27.14已知12a”连接)答案 CABD解析 12aABD.CA 11a(1a2)aa2a11aaa122341a.1a0，a0，(a12)2340，CA.AB(1a2)(1a2)2a20，AB.BD1a2 11aaa2a11aaa122541a.12a0.又(a12)254(1212)254D.综上所述，CABD.15某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解 设该单位职工有 n 人(nN*)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1 元，坐乙车需花 y2 元，则 y1x34x(n1)14x34nx，y245nx.所以 y1y214x34nx45nx14x 120nx14x(1n5)当 n5 时，y1y2；当 n5 时，y1y2；高考资源网（）您身边的高考专家 版权所有高考资源网-14-当 ny2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费同等优惠；当单位去的人数多于 5 人时，甲车队收费更优惠；当单位去的人数少于 5 人时，乙车队收费更优惠