1、8.8 直线与圆锥曲线1直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc0(或 ay2byc0)(1)当 a0，可考虑一元二次方程的判别式，有0直线与圆锥曲线相交；0直线与圆锥曲线相切；b0)的左顶点 A 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|MB|，则该椭圆的离心率为_答案 63解析 由题意得 A 点的坐标为(a,0)，l 的方程为 yxa，B 点的坐标为(0，a)，故 M 点的坐标为a2，a2，代入椭圆方程得 a23b2，c22b2，e 63.题型一 直线与圆锥曲线位置关系的判断
2、及应用例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0，2)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆x22y21 有两个不同的交点 P 和 Q.(1)求 k 的取值范围；(2)设椭圆与 x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为 A、B，是否存在常数 k，使得向量OP OQ与AB垂直？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由解(1)由已知条件，直线 l 的方程为 ykx 2，代入椭圆方程得x22(kx 2)21，整理得(12k2)x22 2kx10.直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于中8k24(12k2)4k220，解得 k 22.即 k 的取值范围为(，22)(22，)(2)不存在
3、理由：假设存在满足条件的常数 k，则设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则OP OQ(x1x2，y1y2)，由方程得，x1x2 4 2k12k2，y1y2k(x1x2)2 24 2k212k2 2 2.由题意知 A(2，0)，B(0,1)，AB(2，1)，(OP OQ)AB，(x1x2)(2)y1y20，即 4 2k12k2(2)4 2k212k22 20.解得：k 24，由(1)知 k212，与此相矛盾，所以不存在常数 k 使OP OQ 与AB垂直思维升华(1)判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的
4、前提是二次项系数不为 0.(2)依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为 0，若为 0，则方程为一次方程；若不为 0，则将方程解的个数转化为判别式与 0 的大小关系求解(1)若直线 ykx2 与双曲线 x2y26 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是()A.153，153B.0，153C.153，0D.153，1(2)(2013安徽)已知直线 ya 交抛物线 yx2 于 A，B 两点若该抛物线上存在点 C，使得ACB为直角，则 a 的取值范围为_答案(1)D(2)1，)解析(1)由ykx2，x2y26，得(1k2)x24kx1
5、00.设 直 线 与 双 曲 线 右 支 交 于 不 同 的 两 点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1k20，16k241k2100，x1x2 4k1k20，x1x2101k20，解得 153 k0，a10，解得 a1.题型二 圆锥曲线的弦长问题例 2 已知椭圆 C1：y2a2x2b21(ab0)的右顶点为 A(1,0)，过 C1 的焦点且垂直长轴的弦长为 1.(1)求椭圆 C1 的方程；(2)设点 P 在抛物线 C2：yx2h(hR)上，C2 在点 P 处的切线与 C1 交于点 M，N.当线段 AP的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值解(1)由题意，得b1，2b2a
6、1.从而a2，b1.因此，所求的椭圆方程为y24x21.(2)如图，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2h)，则抛物线 C2 在点 P 处的切线斜率为 y|xt2t.直线 MN 的方程为：y2txt2h.将上式代入椭圆 C1 的方程中，得4x2(2txt2h)240，即 4(1t2)x24t(t2h)x(t2h)240.因为直线 MN 与椭圆 C1 有两个不同的交点，所以式中的116t42(h2)t2h240.设线段 MN 的中点的横坐标是 x3，则 x3x1x22tt2h21t2.设线段 PA 的中点的横坐标是 x4，则 x4t12.由题意，得 x3x4，即 t2(1h)t1
7、0.由式中的2(1h)240，得 h1，或 h3.当 h3 时，h20,4h20，则不等式不成立，所以 h1.当 h1 时，代入方程得 t1，将 h1，t1 代入不等式，检验成立所以，h 的最小值为 1.思维升华 涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”，构造出 kABy1y2x1x2和 x1x2，y1y2，整体代换，求出中点或斜率，体现“设而不求”的思想 设抛物线过定点 A(1,0)，且以直线 x1 为准线(1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程；(2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被直线 x12平分，设弦 MN 的垂直平分线的方程为 ykxm，试求 m
8、的取值范围解(1)设抛物线顶点为 P(x，y)，则焦点 F(2x1，y)再根据抛物线的定义得|AF|2，即(2x)2y24，所以轨迹 C 的方程为 x2y241.(2)设弦 MN 的中点为 P12，y0，M(xM，yM)，N(xN，yN)，则由点 M，N 为椭圆上的点，可知4x2My2M4，4x2Ny2N4.两式相减，得4(xMxN)(xMxN)(yMyN)(yMyN)0，将 xMxN212 1，yMyN2y0，yMyNxMxN1k代入上式得 ky02.又点 P12，y0 在弦 MN 的垂直平分线上，所以 y012km.所以 my012k34y0.由点 P(12，y0)在线段 BB上(B，B
9、为直线 x12与椭圆的交点，如图所示)，所以 yBy0yB，也即 3y0 3.所以3 34 mb0)上一点，F1，F2 分别为 C 的左，右焦点，且|F1F2|4，F1MF260，F1MF2 的面积为4 33.(1)求椭圆 C 的方程；(2)设 N(0,2)，过点 P(1，2)作直线 l，交椭圆 C 异于 N 的 A，B 两点，直线 NA，NB 的斜率分别为 k1，k2，证明：k1k2 为定值思维点拨 直线l的斜率存在 联立l与C的方程 根与系数的关系 求k1k2；直线l的斜率不存在 求A，B的坐标 求k1k2.(1)解 在F1MF2 中，由12|MF1|MF2|sin 604 33，得|MF
10、1|MF2|163.由余弦定理，得|F1F2|2|MF1|2|MF2|22|MF1|MF2|cos 60(|MF1|MF2|)22|MF1|MF2|(1cos 60)，解得|MF1|MF2|4 2.从而 2a|MF1|MF2|4 2，即 a2 2.由|F1F2|4，得 c2，从而 b2，故椭圆 C 的方程为x28y241.(2)证明 当直线 l 的斜率存在时，设斜率为 k，则其方程为 y2k(x1)，由x28y241，y2kx1.得(12k2)x24k(k2)x2k28k0.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24kk212k2，x1x22k28k12k2.从而 k1k2y12x
11、1 y22x22kx1x2k4x1x2x1x22k(k4)4kk22k28k 4.当直线 l 的斜率不存在时，可得 A1，142，B1，142，得 k1k24.综上，k1k2 为定值思维升华 解决定点、定值问题常用策略：(1)根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组(或不等式)，消去参数，求出定值或定点坐标(2)先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行证明验证 已知椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)，斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，且OM ON(3，1)(1)求ab的值；(2)试证明直线 OM 的斜率 k1 与直线 ON 的斜率 k2
12、 的乘积 k1k2 为定值，并求该定值；(3)设 A 为椭圆上任意一点，且满足OA OM ON(，R)，求 的最大值解(1)设 F(C,0)，则直线 l 的方程为 yxc，代入椭圆方程x2a2y2b21 得(a2b2)x22ca2xa2c2a2b20，易知 0 恒成立设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1x2 2a2ca2b2，x1x2a2c2a2b2a2b2，y1y2x1x22c，OM ON(x1x2，y1y2)(3，1)，(x1x2)3(y1y2)0，即 4(x1x2)6c0.4 2a2ca2b26c，解得 a23b2，ab 3.(2)由(1)可知，a23b2，c22b2，x1x2a
13、2c2a2b2a2b2 3b24，y1y2(x1c)(x2c)b24，k1k2y1y2x1x213，直线 OM 的斜率 k1 与直线 ON 的斜率 k2 的乘积 k1k2 为定值，且定值为13.(3)由(1)知 a23b2，椭圆方程可化为 x23y23b2，且 F(c,0)设 A(x，y)，由已知得(x，y)(x1，y1)(x2，y2)，xx1x2，yy1y2.点 A 在椭圆上，(x1x2)23(y1y2)23b2，即 2(x213y21)2(x1x23y1y2)2(x223y22)3b2.由(2)知 k1k2y1y2x1x213，x1x23y1y20，又 x213y213b2，x223y22
14、3b2，代入得 221.又 1222，12，故 的最大值为12.设而不求，整体代换典例：(14 分)(2013山东)椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别是 F1、F2，离心率为 32，过 F1 且垂直于 x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1.(1)求椭圆 C 的方程；(2)点 P 是椭圆 C 上除长轴端点外的任一点，连接 PF1，PF2，设F1PF2 的角平分线 PM 交 C的长轴于点 M(m,0)，求 m 的取值范围；(3)在(2)的条件下，过点 P 作斜率为 k 的直线 l，使得 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点，设直线PF1、PF2 的斜率分别为 k1、k2，若
15、 k20，证明 1kk1 1kk2为定值，并求出这个定值思维点拨 第(3)问，可设 P 点坐标为(x0，y0)，写出直线 l 的方程；联立方程组消去 y 得关于 x的一元二次方程，则 0；变为1k1k11k2，把 k 与1k11k2均用 x0，y0 表示后可消去规范解答解(1)由已知得 eca 32，b2a 12，又 c2a2b2，所以 a24，b21.故椭圆 C 的方程为：x24y21.4 分(2)由题意知：PF1 PM|PF1|PM|PF2 PM|PF2|PM|，即PF1 PM|PF1|PF2 PM|PF2|.6 分设 P(x0，y0)，其中 x204，将向量坐标化得：m(4x2016)3
16、x3012x0.所以 m34x0，而 x0(2,2)，所以 m32，32.8 分(3)设 P(x0，y0)(y00)，则直线 l 的方程为 yy0k(xx0)联立x24y21，yy0kxx0，整理得(14k2)x28(ky0k2x0)x4(y202kx0y0k2x201)0.所以 64(ky0k2x0)216(14k2)(y202kx0y0k2x201)0.即(4x20)k22x0y0k1y200.10 分又x204y201，所以 16y20k28x0y0kx200.故 k x04y0，又1k11k2x0 3y0 x0 3y02x0y0.所以 1kk1 1kk21k1k11k2 4y0 x0
17、2x0y0 8.所以 1kk1 1kk2为定值，这个定值为8.14 分温馨提醒 对题目涉及的变量巧妙的引进参数(如设动点坐标、动直线方程等)，利用题目的条件和圆锥曲线方程组成二元二次方程组，再化为一元二次方程，从而利用根与系数的关系进行整体代换，达到“设而不求，减少计算”的效果，直接得定值方法与技巧1直线与圆锥曲线位置关系的判定综合问题(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且仅有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线均与椭圆相交(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共
18、点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线(3)过双曲线外不在渐近线上一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线2求定值问题常见的方法有两种(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值3定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为 yk
19、xb，然后利用条件建立 b、k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关失误与防范1在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况2中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证 0 或说明中点在曲线内部3解决定值、定点问题，不要忘记特值法.A 组 专项基础训练(时间：40 分钟)1若直线 mxny4 与O：x2y24 没有交点，则过点 P(m，n)的直线与椭圆x29y241 的交点个数是()A至多为 1B2C1D0答案 B解析 由题意知：4m2n22，即 m2n22，点 P(m，n)在椭圆x29y241 的内
20、部，故所求交点个数是 2.2过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有()A1 条B2 条C3 条D4 条答案 C解析 结合图形分析可知，满足题意的直线共有 3 条：直线 x0，过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线 x0)3已知抛物线 C 的方程为 x212y，过 A(0，1)，B(t,3)两点的直线与抛物线 C 没有公共点，则实数 t 的取值范围是()A(，1)(1，)B.，2222，C(，2 2)(2 2，)D(，2)(2，)答案 D解析 直线 AB 的方程为 y4tx1，与抛物线方程 x212y 联立得 x22
21、tx120，由于直线 AB与抛物线 C 没有公共点，所以 4t22 2或 t5.满足题意的直线不存在6过双曲线 x2y221 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点，若使得|AB|的直线 l 恰有3 条，则 _.答案 4解析 使得|AB|的直线 l 恰有 3 条根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直此时 A，B 的横坐标为 3，代入双曲线方程，可得 y2，故|AB|4.双曲线的两个顶点之间的距离是 2，小于 4，过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于 4，综上可知，|AB|4 时，有三条直线满足题意4.7已知焦点为 F 的抛物线 y24x 的弦 AB 的中点的横坐标为 2，则|
22、AB|的最大值为_答案 6解析 利用抛物线定义可知，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x24，那么|AF|BF|x1x22，又|AF|BF|AB|AB|6，当 AB 过焦点 F 时取得最大值 6.8过椭圆x216y241 内一点 P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_答案 3x4y130解析 设直线与椭圆交于 A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于 A、B 两点均在椭圆上，故x2116y2141，x2216y2241，两式相减得x1x2x1x216y1y2y1y240.又P 是 A、B 的中点，x1x26，y1y22，kABy1y2x1x234.直线 AB 的方程
23、为 y134(x3)即 3x4y130.9设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的左，右焦点，过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列(1)求 E 的离心率；(2)设点 P(0，1)满足|PA|PB|，求 E 的方程解(1)由椭圆定义知|AF2|BF2|AB|4a，又 2|AB|AF2|BF2|，得|AB|43a，l 的方程为 yxc，其中 c a2b2.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组yxc，x2a2y2b21，消去 y，化简得(a2b2)x22a2cxa2(c2
24、b2)0，则 x1x22a2ca2b2，x1x2a2c2b2a2b2.因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|2|x2x1|2x1x224x1x2，即43a 4ab2a2b2，故 a22b2，所以 E 的离心率 eca a2b2a 22.(2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知x0 x1x22 a2ca2b22c3，y0 x0cc3.由|PA|PB|，得 kPN1，即y01x0 1，得 c3，从而 a3 2，b3.故椭圆 E 的方程为x218y291.10.如图所示，等边三角形 OAB 的边长为 8 3，且其三个顶点均在抛物线 E：x22py(p0)上(1)求抛物线 E 的方程
25、；(2)设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P，与直线 y1 相交于点 Q，求证：以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上某定点(1)解 依题意，得|OB|8 3，BOy30.设 B(x，y)，则 x|OB|sin 304 3，y|OB|cos 3012.因为点 B(4 3，12)在 x22py 上，所以(4 3)22p12，解得 p2.故抛物线 E 的方程为 x24y.(2)证明 方法一 由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x00，且 l 的方程为yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14x20，y1，得xx2042x0，y1.所以 Qx
26、2042x0，1.设 M(0，y1)，令MP MQ 0 对满足 y014x20(x00)的点(x0，y0)恒成立由于MP(x0，y0y1)，MQ x2042x0，1y1，由MP MQ 0，得x2042y0y0y1y1y210，即(y21y12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足 y014x20(x00)的 y0 恒成立，所以1y10，y21y120，解得 y11.故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)方法二 由(1)知 y14x2，y12x.设 P(x0，y0)，则 x00，且 l 的方程为 yy012x0(xx0)，即 y12x0 x14x20.由y12x0 x14
27、x20，y1，得xx2042x0，y1.所以 Qx2042x0，1.取 x02，此时 P(2,1)，Q(0，1)，以 PQ 为直径的圆为(x1)2y22，交 y 轴于点 M1(0,1)，M2(0，1)；取 x01，此时 P1，14，Q32，1，以 PQ 为直径的圆为x142(y38)212564，交 y 轴于 M3(0,1)，M40，74.故若满足条件的点 M 存在，只能是 M(0,1)以下证明点 M(0,1)就是所要求的点因为MP(x0，y01)，MQ x2042x0，2，MP MQ x20422y022y022y020，故以 PQ 为直径的圆恒过 y 轴上的定点 M(0,1)B 组 专项能
28、力提升(时间：25 分钟)11(2014四川)已知 F 为抛物线 y2x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA OB2(其中 O 为坐标原点)，则ABO 与AFO 面积之和的最小值是()A2B3C.17 28D.10答案 B解析 设直线 AB 的方程为 xnym(如图)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，OA OB 2，x1x2y1y22.又 y21x1，y22x2，y1y22.联立y2x，xnym，得 y2nym0，y1y2m2，m2，即点 M(2,0)又 SABOSAMOSBMO12|OM|y1|12|OM|y2|y1y2，SAFO12|OF|y1|18y1，SAB
29、OSAFOy1y218y198y12y1298y1 2y13，当且仅当 y143时，等号成立12设抛物线 y28x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PAl，A 为垂足如果直线AF 的斜率为 3，那么|PF|_.答案 8解析 直线 AF 的方程为 y 3(x2)，联立y 3x2 3，x2，得 y4 3，所以 P(6,4 3)由抛物线的性质可知|PF|628.13已知 F 是抛物线 C：y24x 的焦点，直线 l：yk(x1)与抛物线 C 交于 A，B 两点，记直线 FA，FB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k2_.答案 0解析 由 y24x，得抛物线焦点 F(1,0)，联立yk
30、x1，y24x，得 k2x2(2k4)xk20，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x242kk2，x1x21.k1k2 y1x11 y2x21kx11x21kx21x11x11x21 2kx1x21x11x212k11x11x210.14已知双曲线 C：y2a2x2b21(a0，b0)，P 为 x 轴上一动点，经过点 P 的直线 y2xm(m0)与双曲线 C 有且只有一个交点，则双曲线 C 的离心率为_答案 52解析 由双曲线的方程可知：渐近线方程为 yabx.经过 P 的直线 y2xm(m0)与双曲线 C 有且只有一个交点，此直线与渐近线 yabx 平行，ab2.eca1 ba
31、2 52.15椭圆 C：x2a2y2b21(ab0)的离心率为12，其左焦点到点 P(2,1)的距离为 10.(1)求椭圆 C 的标准方程；(2)若直线 l：ykxm 与椭圆 C 相交于 A，B 两点(A，B 不是左，右顶点)，且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标解(1)左焦点(c,0)到点 P(2,1)的距离为 10，2c21 10，解得 c1.又 eca12，解得 a2，b2a2c23，所求椭圆 C 的方程为x24y231.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由ykxm，x24y231，得(34k2)x28mkx4(m23)0，64
32、m2k216(34k2)(m23)0，整理得 34k2m2.x1x28mk34k2，x1x24m2334k2，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2mk(x1x2)m23m24k234k2.以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2,0)，kADkBD1，y1x12y2x221，y1y2x1x22(x1x2)40，3m24k234k24m2334k2 16mk34k240.整理得 7m216mk4k20，解得 m12k，m22k7.且满足 34k2m20.当 m2k 时，l：yk(x2)，直线过定点(2,0)与已知矛盾；当 m2k7 时，l：ykx27，直线过定点27，0.综上可知，直线 l 过定点，定点坐标为27，0.
