1、第八章 圆锥曲线方程考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求（3）计算量大要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力试题类编一、选择题1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0（ab0）的曲线大致是（ ）2.（2003京春理，7）椭圆（为参数）的焦点坐标为（ ）A.（0，0），（0，8） B.（0，0），（8，0）C.（0，0），（0，8） D.（0，0），（8，0）3.（
2、2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点如果延长F1P到Q，使得|PQ|PF2|，那么动点Q的轨迹是（ ）A.圆 B.椭圆C.双曲线的一支 D.抛物线4.（2002全国文，7）椭圆5x2ky25的一个焦点是（0，2），那么k等于（ ）A.1 B.1 C. D. 5.（2002全国文，11）设（0，），则二次曲线x2coty2tan1的离心率的取值范围为（ ）A.（0，） B.（）C.（） D.（，）6.（2002北京文，10）已知椭圆和双曲线1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A.xB.yC.xD.y7.（2002天津理，1）曲线（为参数）上的点到两坐标轴
3、的距离之和的最大值是（ ）A. B. C.1 D.8.（2002全国理，6）点P（1，0）到曲线（其中参数tR）上的点的最短距离为（ ）A.0 B.1 C. D.29.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（，0），则其离心率为（ ）A.B.C.D.10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|a|，则a的取值范围是（ ）A.（，0） B.（，2 C.0，2 D.（0，2）11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（ ）A. B. C. D.12.（2000全国，11）过抛物
4、线y=ax2（a0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）A.2a B. C.4a D.13.（2000京皖春，3）双曲线1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（ ）A.2 B. C. D.14.（2000上海春，13）抛物线y=x2的焦点坐标为（ ）A.（0，） B.（0，） C.（，0） D.（，0）15.（2000上海春，14）x=表示的曲线是（ ）A.双曲线 B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分16.（1999上海理，14）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（ ）A. B. C. D.1
5、7.（1998全国理，2）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（ ）A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍18.（1998全国文，12）椭圆=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（ ）A. B.C.D.19.（1997全国，11）椭圆C与椭圆，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）A.B.C.D.20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是（t是参数，t0），它的普通方程是（ ）A.（x1）2（y1）1 B.yC.yD.y121.（1997上海）设（，），则关于x、y的方程x2
6、cscy2sec=1所表示的曲线是（ ）A.实轴在y轴上的双曲线 B.实轴在x轴上的双曲线C.长轴在y轴上的椭圆 D.长轴在x轴上的椭圆22.（1997上海）设k1，则关于x、y的方程（1k）x2+y2=k21所表示的曲线是（ ）A.长轴在y轴上的椭圆 B.长轴在x轴上的椭圆C.实轴在y轴上的双曲线 D.实轴在x轴上的双曲线23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x=4，离心率为的椭圆方程是（ ）A.1 B.1C.y21D.x2124.（1996上海，5）将椭圆1绕其左焦点按逆时针方向旋转90，所得椭圆方程是（ ）A.B.C.D.25.（1996上海理，6）若函数f（x）、g（x）的
7、定义域和值域都为R，则f（x）g（x）（xR）成立的充要条件是（ ）A.有一个xR，使f（x）g（x）B.有无穷多个xR，使得f（x）g（x）C.对R中任意的x，都有f（x）g（x）+1D.R中不存在x，使得f（x）g（x）26.（1996全国理，7）椭圆的两个焦点坐标是（ ）A.（3，5），（3，3） B.（3，3），（3，5）C.（1，1），（7，1）D.（7，1），（1，1）27.（1996全国文，11）椭圆25x2150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是（ ）A.（3，5），（3，3） B.（3，3），（3，5）C.（1，1），（7，1） D.（7，1），（1，1）28.（19
8、96全国）设双曲线=1（0ab）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线l的距离为c，则双曲线的离心率为（ ）A.2 B. C. D.29.（1996上海理，7）若0，则椭圆x2+2y22xcos+4ysin=0的中心的轨迹是（ ）30.（1995全国文6，理8）双曲线3x2y23的渐近线方程是（ ）A.y=3xB.yxC.yx D.y31.（1994全国，2）如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（ ）A.（0，）B.（0，2） C.（1，）D.（0，1）32.（1994全国，8）设F1和F2为双曲线y21的两个焦点，点P在双曲线上，且满足
9、F1PF290，则F1PF2的面积是（ ）A.1 B. C.2 D.33.（1994上海，17）设a、b是平面外任意两条线段，则“a、b的长相等”是a、b在平面内的射影长相等的（ ）A.非充分也非必要条件 B.充要条件C.必要非充分条件D.充分非必要条件34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是y=cosx，现在平移坐标系，把原点移到O（，），则在坐标系xOy中，曲线C的方程是（ ）A.y=sinx+ B.y=sinx+C.y=sinx D.y=sinx二、填空题图81 35.（2003京春，16）如图81，F1、F2分别为椭圆=1的左、右焦点，点P在椭圆上，POF2是面
10、积为的正三角形，则b2的值是_.36.（2003上海春，4）直线y=x1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_.37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F1（1，0），F2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为 38.（2002京皖春，13）若双曲线1的渐近线方程为yx，则双曲线的焦点坐标是 39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）能使这抛物线方程为y210x的条件是 （要求填写合适条件的序号）40.（200
11、2上海文，8）抛物线（y1）24（x1）的焦点坐标是 41.（2002天津理，14）椭圆5x2ky25的一个焦点是（0，2），那么k 42.（2002上海理，8）曲线（t为参数）的焦点坐标是_.43.（2001京皖春，14）椭圆x24y24长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是 44.（2001上海，3）设P为双曲线y21上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是 45.（2001上海，5）抛物线x24y30的焦点坐标为 46.（2001全国，14）双曲线1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1PF2，则点P到x轴的距
12、离为 .47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_.48.（2001上海理，10）直线y=2x与曲线（为参数）的交点坐标是_.49.（2000全国，14）椭圆1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_.50.（2000上海文，3）圆锥曲线1的焦点坐标是_.51.（2000上海理，3）圆锥曲线的焦点坐标是_.52.（1999全国，15）设椭圆=1（ab0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方
13、程y2+4x4y4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O ( ) .54.（1998全国，16）设圆过双曲线=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .55.（1997全国文，17）已知直线xy=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_.56.（1997上海）二次曲线（为参数）的左焦点坐标是_.57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x28xy50化为标准方程x2ay（a0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是 58.（1996全国文，16）已知点（2，3）与抛物线y2=2px（p0）的焦点的距离是5，则p=_.59.（1996全国
14、理，16）已知圆x2+y26x7=0与抛物线y2=2px（p0）的准线相切，则p=_.60.（1995全国理，19）直线L过抛物线y2a（x+1）（a0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a= .61.（1995全国文，19）若直线L过抛物线y24（x+1）的焦点，并且与x轴垂直，则L被抛物线截得的线段长为 .62.（1995上海，15）把参数方程（是参数）化为普通方程，结果是 63.（1995上海，10）双曲线=8的渐近线方程是 .64.（1995上海，14）到点A（1，0）和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是 .65.（1994全国，17）抛物线y284x的准线方程是
15、 ，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 66.（1994上海，7）双曲线x2=1的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003上海春，21）设F1、F2分别为椭圆C： =1（ab0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；图82（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质
16、，并加以证明.68.（2002上海春，18）如图82，已知F1、F2为双曲线（a0，b0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且PF1F230求双曲线的渐近线方程69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|F2B|10椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列（）求该椭圆的方程；（）求弦AC中点的横坐标；（）设弦AC的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围70.（2002全国理，19）设点P到点M（1，0）、N（1，0
17、）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2求m的取值范围图8371.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是OBC的三个顶点如图83.（）写出OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，并证明G、F、H三点共线；（）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x21上的两点，点N（1，2）是线段AB的中点（）求直线AB的方程；（）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?73.（2002上海，18）已知点A（，0）和B（，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y
18、=x2交于D、E两点，求线段DE的长74.（2001京皖春，22）已知抛物线y22px（p0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|2p.（）求a的取值范围；（）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值.75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆1的两个焦点，P为椭圆上的一点已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|PF2|，求的值76.（2001全国文20，理19）设抛物线y22px（p0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BCx轴.证明直线AC经过原点O.77.（2001
19、上海春，21）已知椭圆C的方程为x2+=1，点P（a，b）的坐标满足a2+1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.78.（2001广东河南21）已知椭圆+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BCx轴.求证：直线AC经过线段EF的中点.图8479.（2000上海春，22）如图84所示，A、F分别是椭圆1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q求：（1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；（2）OTQ的面积S与t
20、的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之80.（2000京皖春，23）如图85，设点A和B为抛物线y24px（p0）上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线81.（2000全国理，22）如图86，已知梯形ABCD中，|AB|2|C|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点当时，求双曲线离心率e的取值范围图85 图86 图8782.（2000全国文，22）如图87，已知梯形ABCD中|AB|2|CD|，点E分有向线段所成的比为，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点求双曲线离
21、心率图8883.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（，0）和F2（2，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标84.（1999全国，24）如图88，给出定点A（a，0）（a0）和直线l：x=1.B是直线l上的动点，BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.注：文科题设还有条件a185.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为=1（ab0），曲线C2的方程为y=，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.（）试用a表示点P的坐标.（）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求ABP的面积函数S（a）的
22、值域；（）设miny1，y2，yn为y1，y2，yn中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=ming（a），S（a）的表达式.86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.（）写出曲线C1的方程；（）证明曲线C与C1关于点A（）对称；图89（）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=t且t0.87.（1998全国文22，理21）如图89，直线l1和l2相交于点M，l1l2，点Nl1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形，|AM|
23、=，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=（x2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角的值.89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQOR，求p关于m的函数f（m）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦
24、点F到直线x+y=m的距离为，求此直线的方程；（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于，求p的值的范围.90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x21各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.（）求l1的斜率k1的取值范围；（）（理）若|A1B1|A2B2|，求l1、l2的方程.图810（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A与点A关于直线y=x对称.设直线l过
25、点A，斜率为k.（1）求双曲线S的方程；（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为；（3）当0k1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图810.图81192.（1995全国理，26）已知椭圆如图811，1，直线L：1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|OP|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为1（m，n0），过原点且倾角为和（0的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，（）用、m、n表示四边形ABCD的面积S；（）
26、若m、n为定值，当在（0，上变化时，求S的最小值u；（）如果mn，求的取值范围.94.（1995全国文，26）已知椭圆=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t（1）求椭圆的方程；（2）设经过
27、原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.答案解析1.答案：D解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：.因为ab0，因此，0，所以有：椭圆的焦点在y轴，抛物线的开口向左，得D选项.解析二：将方程ax+by2=0中的y换成y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2.答案：D解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得
28、=1，c2=16，x4=4，而焦点在x轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出=1的图形，则可以直接“找”出正确选项.评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.3.答案：A解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值|PQ|=|PF2|，|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值.4.答案：B解析：椭圆方程可化为：x2+=1焦点（0，2）在y轴上，a2=，b2=1，又c2=a2b2=4，k=15.答案：D解析：（0，），sin（0，），a2=tan，b2=cotc2=a2+b2=tan+cot
29、，e2=，e=，e（，+）6.答案：D解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上椭圆焦点（，0），双曲线焦点（，0）3m25n2=2m2+3n2m2=8n2又双曲线渐近线为y=x代入m2=8n2，|m|=2|n|，得y=x7.答案：D解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为dd=|x|+|y|=|cos|+|sin|设0，d=sin+cos=sin（+）dmax=.图8128.答案：B解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x点P（1，0）为该抛物线的焦点由定义，得：曲线上到P点，距离最小的点为抛物线的顶点.解法二：设点P到曲线上的点的距离为d由两点间距离公式，得d2=（x1）2+y2=（t21）
30、2+4t2=（t2+1）2tR dmin2=1 dmin=19.答案：C解析：由F1、F2的坐标得2c31，c1，又椭圆过原点ac1，a1c2，又e，选C.10.答案：B解析：设点Q的坐标为（，y0），由 |PQ|a|，得y02+（a）2a2.整理，得：y02（y02+168a）0，y020，y02+168a0.即a2+恒成立.而2+的最小值为2.a2.选B.11.答案：D解析：由题意知a=2，b=1，c=，准线方程为x=，椭圆中心到准线距离为12.答案：C图813解析：抛物线y=ax2的标准式为x2y，焦点F（0，）.取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.如图813，PFPM，p，故13
31、.答案：C解析：渐近线方程为y=x，由（）1，得a2b2，ca，e14.答案：B解析：y=x2的标准式为x2y，p，焦点坐标F（0，）15.答案：D解析：x=化为x23y21（x0）16.答案：D解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.17.答案：A 解析：不妨设F1（3，0），F2（3，0）由条件得P（3，），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|，故选A.评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向.18.答案：A 解析：由条件可得F1（3，0），PF1的中点在y轴
32、上，P坐标（3，y0），又P在=1的椭圆上得y0=，M的坐标（0，），故选A.评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.19.答案：A 解析：将已知椭圆中的x换成y，y换成x便得椭圆C的方程为1，所以选A.评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.20.答案：B 解法一：由已知得t，代入y1t2中消去t，得y1，故选B.解法二：令t1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B适合，故选B.评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力21.答案：C解析：由已知得方程为=1由于（，），因此sin0，cos0，且|sin|cos|原方程表示长轴在y
33、轴上的椭圆.22.答案：C解析：原方程化为=1由于k1，因此它表示实轴在y轴上的双曲线.23.答案：A 解析：由已知有a2，c1，b23,于是椭圆方程为1,故选A.图814评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.24.答案：C解析：如图814，原点O逆时针方向旋转90到O，则O（4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为1所以选C.25.答案：D 解析：R中不存在x，使得f（x）g（x），即是R中的任意x都有f（x）g（x），故选D.26.答案：B 解析：可得a3，b5，c4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，5
34、），故选B.评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力27.答案：B解析：把已知方程化为=1，a=5，b=3，c=4椭圆的中心是（3，1），焦点坐标是（3，3）和（3，5）.28.答案：A解析：由已知，直线l的方程为ay+bxab=0，原点到直线l的距离为c，则有，又c2=a2+b2，4ab=c2，两边平方，得16a2（c2a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e416e2+16=0e2=4或e2=.而0ab，得e2=2，e2=4.故e=2.评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据ba进行检验.29
35、.答案：D解析：把已知方程化为标准方程，得+（y+sin）2=1.椭圆中心的坐标是（cos，sin）.其轨迹方程是0，.即+y2=1（0x，1y0）.30.答案：C 解法一：将双曲线方程化为标准形式为x21，其焦点在x轴上，且a=1，b=，故其渐近线方程为yxx，所以应选C.解法二：由3x2y20分解因式得yx，此方程即为3x2y23的渐近线方程，故应选C.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质.31.答案：D 解析：原方程可变为1，因为是焦点在y轴的椭圆，所以，解此不等式组得0k0，故a=4.评述：本题考查了抛物线方程及几何性质，由对称性设焦点坐标以及数形结合法、待定系数法、代入法等基本方
36、法.图81761.答案：4解析：如图817，抛物线y24（x1）中，p=2， =1，故可求抛物线的焦点坐标为（0，0），于是直线L与y轴重合，将x=0代入y24（x1）中得y=2，故直线L被抛物线截得的弦长为4.62.答案：x2+（y1）2=163.答案：y=x解析：把原方程化为标准方程，得=1由此可得a=4，b=3，焦点在x轴上，所以渐近线方程为y=x，即y=x.64.答案：y2=8x+8解析：由抛物线定义可知点的轨迹为抛物线，焦点为A（1，0），准线为x=3.所以顶点在（1，0），焦点到准线的距离p=4，开口向左.y2=8（x1），即y2=8x+8.65.答案：x=3 （x2）2+y2=1
37、解析：原方程可化为y2=4（x2），p=2，顶点（2，0），准线x=+3， 即x=3，顶点到准线的距离为1，即为半径，则所求圆的方程是（x2）2+y2=1.66.答案：（0，），（0，）67.解：（1）椭圆C的焦点在x轴上，由椭圆上的点A到F1、F2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2.又点A（1，）在椭圆上，因此=1得b2=3，于是c2=1.所以椭圆C的方程为=1，焦点F1（1，0），F2（1，0）.（2）设椭圆C上的动点为K（x1，y1），线段F1K的中点Q（x，y）满足：， 即x1=2x+1，y1=2y.因此=1.即为所求的轨迹方程.（3）类似的性质为：若M、N是双曲线：=1上关于原
38、点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值.设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（m，n），其中=1.又设点P的坐标为（x，y），由，得kPMkPN=，将m2b2代入得kPMkPN=.评述：本题考查椭圆的基本知识，求动点轨迹的常用方法.第（3）问对考生的逻辑思维能力、分析和解决问题的能力及运算能力都有较高的要求，根据提供的信息，让考生通过类比自己找到所证问题，这是高考数学命题的方向，应引起注意.68.解：（1）设F2（c，0）（c0），P（c，y0），则=1.解得y0=|PF2|=在直角三角形P
39、F2F1中，PF1F2=30解法一：|F1F2|=|PF2|，即2c=将c2=a2+b2代入，解得b2=2a2解法二：|PF1|=2|PF2|由双曲线定义可知|PF1|PF2|=2a，得|PF2|=2a.|PF2|=，2a=，即b2=2a2，图818故所求双曲线的渐近线方程为y=x.69.（）解：由椭圆定义及条件知2a=|F1B|+|F2B|=10，得a=5，又c=4所以b=3.故椭圆方程为=1.（）由点B（4，yB）在椭圆上，得|F2B|=|yB|=.（如图818）因为椭圆右准线方程为x=，离心率为根据椭圆定义，有|F2A|=（x1），|F2C|=（x2）由|F2A|，|F2B|，|F2C|
40、成等差数列，得（x1）+（x2）=2由此得出x1+x2=8.设弦AC的中点为P（x0，y0）则x0=4.（）由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得由得9（x12x22）+25（y12y22）=0.即=0（x1x2）将（k0）代入上式，得94+25y0（）=0（k0）.由上式得k=y0（当k=0时也成立）.由点P（4，y0）在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m.所以m=y04k=y0y0=y0.由P（4，y0）在线段BB（B与B关于x轴对称，如图818）的内部，得y0.所以m.注：在推导过程中，未写明“x1x2”“k0”“k=0时也成立”及把结论写为“m”的均不扣分.70.解：设点
41、P的坐标为（x，y），依题设得=2，即y=2x，x0因此，点P（x，y）、M（1，0）、N（1，0）三点不共线，得|PM|PN|MN|=2|PM|PN|=2|m|00|m|1因此，点P在以M、N为焦点，实轴长为2|m|的双曲线上，故将式代入，并解得x2=1m2015m20解得0|m|.即m的取值范围为（，0）（0，）.71.（）解：由OBC三顶点坐标O（0，0），B（1，0），C（b，c）（c0），可求得重心G（），外心F（），垂心H（b，）.当b=时，G、F、H三点的横坐标均为，故三点共线；当b时，设G、H所在直线的斜率为kGH，F、G所在直线的斜率为kFG.因为，所以，kGH=kFG，G、
42、F、H三点共线.综上可得，G、F、H三点共线.（）解：若FHOB，由kFH=0，得3（b2b）+c2=0（c0，b），配方得3（b）2+c2=，即.即=1（x，y0）.因此，顶点C的轨迹是中心在（，0），长半轴长为，短半轴长为，且短轴在x轴上的椭圆，除去（0，0），（1，0），（，），（，）四点.评述：第（）问是要求用解析的方法证明平面几何中的著名问题：三角形的重心、外心、垂心三心共线（欧拉线）且背景深刻，是有研究意义的题目.72.解：（）依题意，可设直线AB的方程为y=k（x1）+2，代入x2=1，整理得（2k2）x22k（2k）x（2k）22=0记A（x1，y1），B（x2，y2），则x1
43、、x2是方程的两个不同的根，所以2k20， 且x1+x2=由N（1，2）是AB的中点得（x1+x2）=1k（2k）=2k2解得k=1，所以直线AB的方程为y=x+1.（）将k=1代入方程得x22x3=0解出x1=1，x2=3由y=x+1得y1=0，y2=4即A、B的坐标分别为（1，0）和（3，4）由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y=（x1）+2即y=3x代入双曲线方程，整理得x2+16x11=0记C（x3，y3），D（x4，y4），CD的中点为M（x0，y0），则x3、x4是方程的两个根，所以x3+x4=6，x3x4=11.从而x0=（x3+x4）=3，y0=3x0=6.|CD|=.|M
44、C|=|MD|=.又|MA|=|MB|=.即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.73.解：设点C（x，y），则|CA|CB|=2，根据双曲线的定义，可知点C的轨迹是双曲线=1.由2a=2，2c=|AB|=2，得a2=1，b2=2故点C的轨迹方程是x2=1由，得x2+4x6=0.0，直线与双曲线有两个交点.设D（x1，y1）、E（x2，y2），则x1+x2=4，x1x2=6故|DE|=.74.解：（）设yxa，（xa）22px图819x22axa22px0 x2（2a2p）xa20|AB|2p4ap2p2p2，4app2又p0，a（如图819）（）AB中点xapy1y
45、2x1x22ay1y22pyp过N的直线l：yp（xap）pxapxa2pN到AB的距离为：S当a有最大值时，S有最大值75.解法一：由已知|PF1|PF2|6，|F1F2|2，根据直角的不同位置，分两种情况：若PF2F1为直角，则|PF1|2|PF2|2|F1F2|2即|PF1|2（6|PF1|）220，得|PF1|，|PF2|，故；若F1PF2为直角，则|F1F2|2|PF1|2|PF2|2，即20|PF1|2（6|PF1|）2，得|PF1|4，|PF2|2，故2.解法二：由椭圆的对称性不妨设P（x，y）（x0，y0），则由已知可得F1（，0），F2（，0）.根据直角的不同位置，分两种情况
46、：若PF2F1为直角，则P（，）于是|PF1|，|PF2|，故若F1PF2为直角，则解得，即P（），于是|PF1|4，|PF2|2，故2.图82076.解法一：设直线方程为yk（x）（如图820）A（x1，y1），B（x2，y2），C（，y2） 又y122px1 kOCkOA即k也是直线OA的斜率，所以AC经过原点O.当k不存在时，ABx轴，同理可得kOAkOC图821解法二：如图821，过A作ADl，D为垂足，则：ADEFBC连结AC与EF相交于点N，则由抛物线的定义可知：|AF|AD|，|BF|BC|EN|NF|.评述：该题的解答既可采用常规的坐标法，借助代数推理进行，又可采用圆锥曲线的几
47、何性质，借助平面几何的方法进行推理.解题思路宽，而且几何方法较之解析法比较快捷便当.从审题与思维深度上看，几何法的采用，源于思维的深刻.77.解：（1）设点A、B的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），点Q的坐标为Q（x，y）.当x1x2时，设直线斜率为k，则l的方程为y=k（xa）+b.由已知x12+=1 ，x22+=1 y1=k（x1a）+b ，y2=k（x2a）+b 得（x1+x2）（x1x2）+（y1+y2）（y1y2）=0. +得y1+y2=k（x1+x2）2ka+2b 由、及，得点Q的坐标满足方程2x2+y22axby=0 当x1=x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的
48、中点Q一定落在x轴，即Q的坐标为（a，0），显然点Q的坐标满足方程综上所述，点Q的坐标满足方程2x2+y22axby=0.设方程所表示的曲线为l.则由得（2a2+b2）x24ax+2b2=0.因为=8b2（a2+1），由已知a2+1所以当a2+=1时，=0，曲线l与椭圆C有且只有一个交点P（a，b）；当a2+1时，0，曲线l与椭圆C没有交点.因为（0，0）在椭圆C内，又在曲线l上，所以曲线l在椭圆C内.故点Q的轨迹方程为2x2+y22axby=0；（2）由，得曲线l与y轴交于点（0，0）、（0，b）；由，得曲线l与x轴交于点（0，0）、（a，0）；当a=0，b=0，即点P（a，b）为原点时，（
49、a，0）、（0，b）与（0，0）重合，曲线l与x轴只有一个交点（0，0）；当a=0且0|b|时，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点（a，0）与（0，0）重合，曲线l与坐标轴有两个交点（0，b）与（0，0）；同理，当b=0且0|a|1时，即点P（a，b）不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点（a，0）与（0，0）；当0|a|1且0|b|时，即点P（a，b）在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线l与坐标轴有三个交点（a，0）、（0，b）与（0，0）.评述：本题考查求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识，考查分类讨论的思想方法，以及综合运用知识解
50、题的能力，此题运算量大，涉及知识点较多，需要较高的运算能力和逻辑推理能力.78.证法一：依题设得椭圆的半焦距c=1，右焦点为F（1，0），右准线方程为x=2，点E的坐标为（2，0），EF的中点为N（，0）.若AB垂直于x轴，则A（1，y1），B（1，y1），C（2，y1），AC中点为N（，0），即AC过EF中点N.若AB不垂直于x轴，由直线AB过点F，且由BCx轴知点B不在x轴上，故直线AB的方程为y=k（x1），k0.记A（x1，y1）和B（x2，y2），则（2，y2）且x1，x2满足二次方程+k2（x1）2=1，即（1+2k2）x24k2x+2（k21）=0.又x12=22y122，得x1
51、0，故直线AN、CN的斜率分别为.k1k2=2k（x11）（x21）（2x13）=3（x1+x2）2x1x24图822=12k24（k21）4（1+2k2）=0，k1k2=0，即k1=k2.故A、C、N三点共线.所以，直线AC经过线段EF的中点N.证法二：如图822，记直线AC与x轴的交点为点N，过点A作ADl，点D是垂足，因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BCx轴，即BCl，根据椭圆几何性质，得=e（e是椭圆的离心率）.ADFEBC，即.N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N.评述：本题主要考查椭圆和直线的基础知识以及综合运用知识解决问题的能力.两种证法均为通法，但证法二充分挖
52、掘椭圆几何性质，数形结合，更为直观简捷，所以两法相比较，证法二较好.79.解：（1）A点的坐标为（1，3），F点的坐标为（1，1）当t0且t1时，TQ的方程为y=；当t=1时，TQ的方程为x=1.（2）联立直线OA和直线TQ的方程；或得Q点的纵坐标为yQ，yQ3，t0，且yQ1，t，f（t）f（t）=，t，3t20，f（t）（24），当且仅当t时等号成立，即t=时，S=f（t）的最小值为（3）f（t）=在区间（，）上为增函数证明：任取t1、t2（，），不妨设t2t1f（t1）f（t2）（3t12+4）（3t224）（t1t2）1（t1t2）t2t1，t1t20，（3t12）（3t22）4，f（
53、t1）f（t2）Sf（t）在（，）上为增函数80.解：点A，B在抛物线y24px上，设A（，yA），B（，yB），OA、OB的斜率分别为kOA、kOB由OAOB，得kOAkOB1依点A在AB上，得直线AB方程（yAyB）（yyA）4p（x）由OMAB，得直线OM方程y= 设点M（x，y），则x，y满足、两式，将式两边同时乘以，并利用式整理得，yA2+yyA（x2y2）0由、两式得+yByA（x2y2）0，由式知，yAyB16p2，x2y24px0因为A、B是原点以外的两点，所以x0所以点M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点评述：本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考
54、查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能81.解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴,因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A（c，0），C（，h），E（x0，y0），其中c=|AB|为双曲线的半焦距，h是梯形的高由定比分点坐标公式得设双曲线的方程为，则离心率e=.由点C、E在双曲线上，将点C、E的坐标和e=代入双曲线方程得由式得将式代入式，整理得（44）12，故1由题设得，1解得e所以双曲线的离心率的取值范围为，评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和
55、综合应用数学知识解决问题的能力82.解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy，则CDy轴，因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称依题意，记A（c，0），C（，h），B（c，0），其中c为双曲线的半焦距，c=|AB|，h是梯形的高，由定比分点坐标公式，得点E的坐标为设双曲线的方程为，则离心率e=.由点C、E在双曲线上，得由得，代入得9所以，离心率e=3评述：本小题主要考查坐标法、定比分点坐标公式、双曲线的概念和性质，推理、运算能力和综合应用数学知识解决问题的能力83.解：设椭圆C的方程为，由题意a=3，c=2，于是b=1.椭圆C的
56、方程为y21由得10x236x270，因为该二次方程的判别式0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2，故线段AB的中点坐标为（）评述：本题主要考查椭圆的定义标准方程，直线与椭圆的位置关系及线段中点坐标公式84.解法一：依题意，记B（1，b）（bR），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=bx.设点C（x，y），则有0xa，由OC平分AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得|y|=依题设，点C在直线AB上，故有：y=（xa）由xa0，得b=将式代入式得：y21+=y2.整理得：y2（1a）x22ax+（1+a）y2=0若y0，则（
57、1a）x22ax+（1+a）y2=0（0xa）；若y=0，则b=0，AOB=，点C的坐标为（0，0）.满足上式.综上得点C的轨迹方程为：（1a）x22ax+（1+a）y2=0（0xa）. a1，（0ra由此知，当0a1时，方程表示椭圆弧段；图823当a1时，方程表示双曲线一支的弧段.解法二：如图823，设D是l与x轴的交点，过点C作CEx轴，E是垂足（）当|BD|0时，设点C（x，y），则0xa，y0.由CEBD，得|BD|=（1+a）COA=COB=CODBOD=COABOD2COA=BODtan（2COA）=，tan（BOD）=tanBOD，tanCOA=，tanBOD=（1+a）（1+a
58、）整理得：（1a）x22ax+（1+a）y2=0（0xa）（）当|BD|=0时，BOA=，则点C的坐标为（0，0），满足上式综合（）（），得点C的轨迹方程为（1a）x22ax+（1+a）y2=0（0xa）.以下同解法一.评述：本题主要考查了曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识以及求动点轨迹的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力.解法一利用设点法引入参数b，消参数得方程.解法二则利用角之间关系，使用二倍角公式得出等式，化简较简捷，但分析时不容易想.85.（）解：将y=代入椭圆方程，得，化简得 b2x4a2b2x2+a2=0，由条件，有=a4b44a2b2=0得ab=2解得 （舍去）故P的坐标
59、为（）.（）解：在ABP中，|AB|=2，高为，S（a）=ab0，b=，a，即a，得01，于是0S（a）故ABP的面积函数S（a）的值域为（0，）.（）解：g（a）=c2=a2b2=a2，解不等式：g（a）S（a），即a2，整理得：a810a4+240，即（a44）（a46）0，即（a44）（a46）0解得：a（舍去）或a，故f（a）=ming（a），S（a）=86.（）解：曲线C1的方程为y（xt）3（xt）s（）证明：在曲线C上任取一点B1（x1，y1），设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有所以x1tx2，y1sy2代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：sy2（tx2）3（t
60、x2），即y2（x2t）3（x2t）s可知点B2（x2，y2）在曲线C1上.反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上，因此，曲线C与C1关于点A对称.（）证明：因为曲线C与C1有且仅有一个公共点所以方程组有且仅有一组解消去y整理得3tx23t2x（t3ts）0这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根.所以t0并且其根的判别式9t412t（t3ts）0即，st且t0.评述：本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、变换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力.图82487.解法一：如图824建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直
61、平分线为y轴，点O为坐标原点.依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点.设曲线段C的方程为y2=2px（p0），（xAxxB，y0）其中xA、xB分别为A、B的横坐标，p|MN|所以M（，0），N（，0）由|AM|，|AN|3得（xA）22pxA17（xA）22pxA9由两式联立解得xA，再将其代入式并由p0解得或因为AMN是锐角三角形，所以xA，故舍去所以p4，xA1由点B在曲线段C上，得xB|BN|4综上得曲线段C的方程为y28x（1x4，y0）解法二：如图建立坐标系，分别以l1、l2为x、y轴，M为坐标原点.作AEl1，ADl2，BFl2，垂
62、足分别为E、D、F.设A（xA，yA）、B（xB，yB）、N（xN，0）依题意有xA|ME|DA|AN|3，yA|DM|由于AMN为锐角三角形，故有xN|ME|EN|ME|4xB|BF|BN|6设点P（x，y）是曲线段C上任一点，则由题意知P属于集合（x，y）|（xxN）2+y2=x2，xAxxB，y0故曲线段C的方程为y28（x2）（3x6，y0）评述：本题考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想，考查了抛物线的概念和性质、曲线和方程的关系以及综合运用知识的能力.88.（1）解：设M点的坐标为（x，y），由点A的坐标为（2a2+2，a），B点的坐标为（0，3a），得.
63、轨迹C的方程为x=+1，即y2=4（x1）；（2）解法一：设直线l的方程为y=k（x2），因l与抛物线有两个交点，故k0，得x=+2，代入y2=4（x1），得y2y4=0，故=+160恒成立.记这个方程的两实根为y1、y2，则|PQ|=|y1y2|=.又点E到直线l的距离d=.EPQ的面积为SEPQ=|PQ|d=.由=4，解得k2=，k=.=或=.解法二：设直线l的方程为y=k（x2），代入y2=4（x1），得k2x2（4k2+4）x+4k2+4=0.因直线l与抛物线有两个交点，故k0，而=16（k2+1）0恒成立.记这个方程的两个实根为x1、x2，因抛物线y2=4（x1）的焦点是D（2，0）
64、，准线是x=0.所以|PQ|=x1+x2=.其余同解法一.解法三：设直线l的方程为y=k（x2），因为直线与抛物线交于两点，所以k0，则x=+2，代入y2=4（x1）得y2y4=0.SEPQ=SEPD+SEQD=|ED|（|y1|+|y2|）=|ED|y1y2|=1=.SEPQ=4，=4.得k=，=或.评述：本题考查直线与抛物线的位置关系，点的轨迹方程，直线的基础知识等.89.解：（1）抛物线y2=p（x+1）的准线方程是x=1，直线x+y=m与x轴的交点为（m，0），由题设交点在准线右边，得m1，即4m+p+40.由得x2（2m+p）x+（m2p）=0.而判别式=（2m+p）24（m2p）=
65、p（4m+p+4）.又p0及4m+p+40，可知0.因此，直线与抛物线总有两个交点；（2）设Q、R两点的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2（2m+p）x+m2p=0的两根，x1+x2=2m+p，x1x2=m2p.由OQOR，得kOQkOR=1，即有x1x2+y1y2=0.又Q、R为直线x+y=m上的点，因而y1=x1+m，y2=x2+m.于是x1x2+y1y2=2x1x2m（x1+x2）+m2=2（m2p）m（2m+p）+m2=0，p=f（m）=，由得m2，m0；（3）（文）由于抛物线y2=p（x+1）的焦点F坐标为（1+，0），于是有，即|p4m4|=
66、4.又p=|=4.解得m1=0，m2=，m3=4，m4=.但m0且m2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直线方程为3x+3y+4=0.（理）解法一：由于原点O到直线x+y=m的距离不大于，于是，|m|1.由（2），知m2且m0，故m1，0）（0，1.由（2），知f（m）=（m+2）+4，当m1，0）时，任取m1、m2，0m1m21，则f（m1）f（m2）=（m1m2）+（）=（m1m2）1.由0m1m21，知0（m1+2）（m2+2）4，10.又由m1m20知f（m1）f（m2）因而f（m）为减函数.可见，当m1，0）时，p（0，1.同样可证，当m（0，1时，f（m）为增函数，从而p（0，.解
67、法二：由解法一知，m1，0）（0，1.由（2）知p=f（m）=.设t=，g（t）=t+2t2，则t（，11，+），又g（t）=2t2+t=2（t+）2.当t（，1时，g（t）为减函数，g（t）1，+）.当t1，+）时，g（t）为增函数，g（t）3，+）.因此，当m1，0时，t（，1，p=（0，1；当m（0，1时，t1，+），p（0，.评述：本题考查抛物线的性质与方程，抛物线与直线的位置关系，点到直线的距离，函数与不等式的知识，以及解决综合问题的能力.90.（）依题设l1、l2的斜率都存在，因为l1过点P（，0）且与双曲线有两个交点，故方程 k10有两个不同的解整理得（k121）x22k12x2
68、k1210若k1210，则方程组只有一个解，即l1与双曲线只有一个交点与题设矛盾，故k1210即k121所以方程的判别式（2k12）24（k121）（2k121）4（3k121）又设l2的斜率为k2，l2过点P（，0）且与双曲线有两个交点，故方程组 有两个不同的解整理得（k221）x22k22x2k2210同理有k2210，4（3k221）因为l1l2，所以k1k21所以l1、l2与双曲线各有两个交点等价于整理得k1（，1）（1，）（，1）（1，）（）（理）设A1（x1，y1）、B1（x2，y2）由方程知所以|A1B1|2（x1x2）2（y1y2）2（1k12）（x1x2）2同理，由方程可得|
69、A2B2|2由|A1B1|A2B2|得|A1B1|2|A2B2|2，将、代入上式得解得k1取k1时，l1：y（x），l2：y（x）；取k1时，l1：y（x），l2：y（x）（）（文）双曲线y2x2=1的顶点为（0，1）、（0，1）.取A1（0，1）时，有：k1（0+）=1，k1=，从而k2=.将k2=代入，得x2+4x+3=0记直线l2与双曲线的两交点为A2（x1，y1）、B2（x2，y2）则|A2B2|2=（x1x2）2+（y1y2）2=3（x1x2）2=3（x1+x2）24x1x2由，知x1+x2=4，x1x2=3，|A2B2|2=60即|A2B2|=2.当取A1（0，1）时，由双曲线y2
70、x2=1关于x轴的对称性，知|A2B2|=2.所以l1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=2.评述：本题主要考查直线与双曲线的性质、解析几何的基本思想以及综合运用知识的能力.（）由直线与双曲线的位置关系利用判别式得出不等式组，而（）则使用设而不求方法求斜率，则简化运算.91.解：（1）由已知可得双曲线的两条渐近线方程为yx，A（0，）双曲线S的方程为1（2）设B（x，）是双曲线S到直线l：yx的距离为的点，由点到直线距离公式有解得x，y2，即B（，2）（3）当0k1时，双曲线S的上支在直线l的上方，所以B在直线l的上方，设直线l与直线l：yk（x）平行，两线间的距离为，且直线l在直线l的上方，
71、双曲线S的上支上有且仅有一个点B到直线l的距离为，等价于直线l与双曲线S的上支有且只有一个公共点.设l的方程为y=kx+m由l上的点A到l的距离为，可知解得m（k）因为直线l在直线l的上方，所以M（k）由方程组消去y，得（k21）x22mkxm220，因为k21，所以4m2k24（k21）（m22）4（22k2）8k（3k2）令0，由0k1，解得k0，k当k=0时，m=，解得x=0，y=此时点B的坐标为（0，）；当k时，M，解得x2，y此时点B的坐标为（2，）.92.解：由题设知点Q不在原点，设P、R、Q的坐标分别为（xP，yP），（xR，yR），（x，y），其中x、y不同时为零.设OP与x轴
72、正方向的夹角为，则有xP|OP|cos，yP|OP|sinxR|OR|cos，yR|OR|sinx|OQ|cos，y|OQ|sin由上式及题设|OQ|OP|OR|2，得由点P在直线L上，点R在椭圆上，得方程组将代入，整理得点Q的轨迹方程为1（其中x、y不同时为零）所以点Q的轨迹是以（1，1）为中心，长、短半轴分别为和，且长轴与x轴平行的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力.93.（）设经过原点且倾角为的直线方程为y=xtan，可得方程组又由对称性，得四边形ABCD为矩形，
73、同时0，所以四边形ABCD的面积S4|xy|（）S（1）当mn，即1时，因为m2tan2nm，当且仅当tan2时等号成立，所以由于0，0tan1，故tan得u2mn（2）当m1时，对于任意012，由于因为0tan1tan21，m2tan1tan2n2m2n20，所以（m2tan2）（m2tan1）0，于是在（0，上，S是的增函数，故取，即tan1得u所以u（）（1）当1时，u=2mnmn恒成立.（2）当1，即有（）24（）+10，所以，又由mn时，的取值范围为（2，1）（1，）评述：本题主要考查椭圆的对称性及不等式的应用，通过求最小值来考查逻辑思维能力和应用能力，同时体现分类讨论思想.图825
74、94.如图825，设点P、Q、R的坐标分别为（12，yP），（x，y），（xR，yR），由题设知xR0，x0.由点R在椭圆上及点O、Q、R共线，得方程组解得：由点O、Q、R共线，得,即由题设|OQ|OP|=|OR|2，得.将、代入上式，整理得点Q的轨迹方程（x1）2+=1（x0）.所以，点Q的轨迹以（1，0）为中心，长、短半轴长分别为1和且长轴在x轴上的椭圆，去掉坐标原点.评述：本题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想及综合运用知识的能力.图82695.解：如图826所示，由题意设抛物线C的方程为y22px（p0），且x轴和y轴不是所求直线，又
75、L过原点，因而可设L的方程为y=kx（k0），设AB分别是A、B关于L的对称点A（x，y）关于y=kx对称于A（1，0）则同理B又A、B在抛物线C上，所以（）22p由此知k1，即p22p，由此得p从而，整理得k2k10所以所以直线l方程为yx，抛物线方程为y2x评述：本题考查直线与抛物线的基本概念和性质、解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题的能力.96.解：（1）设所求方程为1（ab0）由题意得解得所以椭圆的方程为（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q（x1，y1），P（x,y）有得因为所以或而t1，于是点P的轨迹方程为：x2y（x）和x2y（x点P的轨迹为抛
76、物线x2y在直线x=右侧的部分和抛物线x2y在直线x左侧的部分.命题趋向与应试策略1.本章内容是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有23道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥的位置关系等，从近十年高考试题看大致有以下三类：（1）考查圆锥曲线的概念与性质；（2）求曲线方程和求轨迹；（3）关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题.2.选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力
77、、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现解析几何的解答题一般为难题，近两年都考查了解析几何的基本方法坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引起我们的重视3.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质.4.从近两年的试题看，解析几何题有前移的趋势，这就要求考生在基本概念、基本方法、基本技能上多下功夫.5.参数方程是研究曲线的辅助工具.高考试题中，涉及较多的是参数方程与普通方程互化及等价变换的数学思想方法.
78、在复习过程中抓住以下几点：（1）坚持源于课本、高于课本，以考纲为纲的原则.高考命题的依据是高考说明.并明确考点及对知识点与能力的要求作出了明确规定，其实质是精通课本，而本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本，因此掌握双基、精通课本是关键.（2）复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容.曲线与方程有两个方面：一是求曲线方程，二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问题在历年高考中年年出现，且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法，即在建立了平面直角坐标系后，根据曲线上点适合的共同条件找出动点P（x，y）的纵坐标y和横坐标x之间的关系式，即f（x，y）=0为曲线方程，同时还要注意曲线上点具
79、有条件，确定x，y的范围，这就是通常说的函数法，它是解析几何的核心，应培养善于运用坐标法解题的能力，求曲线的常用方法有两类：一类是曲线形状明确且便于用标准形式，这时用待定系数法求其方程；另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示，一般可用直接法、间接代点法、参数法等求方程.二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进而转化为坐标关系，由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练.（3）加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题
80、，因此分析问题时利用数形结合思想来设。而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样就加强了对数学各种能力的考查.（4）重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.方程思想，解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.用好函数思想方法对于圆锥曲线上一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a，b，c，e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.掌握坐标法坐标法是解析几何的基本方法，因此要加强坐标法的训练.对称思想由于圆锥曲线和圆都具有对称性质，可
81、使分散的条件相对集中，减少一些变量和未知量，简化计算，提高解题速度，促成问题的解决.参数思想参数思想是辩证思维在数学中的反映，一旦引入参数，用参数来划分运动变化状态，利用圆、椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或（x0、y0）即可将参量视为常量，以相对静止来控制变化，变与不变的转化，可在解题过程中将其消去，起到“设而不求”的效果.转化思想解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系，直角坐标方程与参数方程，极坐标之间联系及转化，利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化，可达到优化解题的目的.除上述常用数学思想外，数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方法，复习也应给予足够的重视.（5）在注重解题方法、数学思想的应用的同时注意一些解题技巧，椭圆、双曲线、抛物线的定义揭示了各自存在的条件、性质及几何特征与圆锥曲线的焦点、焦半径、准线、离心率有关量的关系问题，若能用定义法，可避免繁琐的推理与运算.涉及到原点和焦点距离问题用极坐标的极径表示.关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法.利用引入一个参数表示动点的坐标x、y，间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法.有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果.