1、2019至2020学年度下学期5月份月考高二年级数学（理）试题一、单选题1.已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用对数函数求出，再利用交集定义求出.【详解】解：，=，故选A.【点睛】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数性质的合理运用.2.复数A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ，故选D.3.已知，且，则向量与夹角的大小为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】可知，由向量夹角的公式求解即可【详解】可知，所以夹角为，故选C.【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式4.若，则cos2=（ ）A. B. C
2、. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出，然后再用倍角公式求解即可得到结果【详解】由条件得，故选C【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题5.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较与的大小关系，再利用指数函数的单调性得出，即可得出、三个数的大小关系.【详解】指数函数为增函数，则，对数函数是上的增函数，则，因此，.故选：A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.6.根据党中央关于“
3、精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至县区的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】列出所有情况共有6种，满足条件的有两种情况，得到概率.【详解】某市农业经济部门派三位专家对、三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为，六种情况，甲专家恰好派遣至县区的情况为，两种情况，则甲专家恰好派遣至县区的概率为：.故选：B.【点睛】本题考查了概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力.7.我国古代数学名著孙子算经有鸡兔同笼问题，根据问题的条件绘制如图的程序框图，则输出的，分别是（ ）A. 12
4、，23B. 23，12C. 13，22D. 22，13【答案】B【解析】分析】分析程序框图功能，求当鸡、兔共35只头，94条腿时，鸡和兔各有多少只.根据条件确定跳出循环的S值，即可得到输出值.【详解】由程序框图，得，；，；，；，；，.输出，.故选B.【点睛】本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键.8.如图是某校高三某班甲、乙两位同学前六次模拟考试的数学成绩，则下列判断正确的是（ ）A. ，甲比乙成绩稳定B. ，乙比甲成绩稳定C. ，甲比乙成绩稳定D. ，乙比甲成绩稳定【答案】D【解析】【分析】分别计算甲、乙两人成绩的平均数与方差，即可得出正确的结论.【详解】，因为，所
5、以乙比甲成绩稳定，故选：D【点睛】此题考查利用茎叶图中的数据计算平均数与方差，属于基础题.9.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题可知：该几何体为个圆柱和半个圆锥组成，所以该组合体体积为：10.在等比数列中，且，则等于（ ）A. 6B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据等比中项的性质可知求得的值，进而根据韦达定理判断出和为方程的两个根，求得和，则可求【详解】解：，而，和为方程的两个根，解得，或，故.故选：B.【点睛】本题考查等比数列的性质和等比数列的通项公式，解题过程灵活利用了韦达定理，把数列的两项作为方程的根来解，简便了解题
6、过程11.若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由对称轴为可知为最大值或最小值，即可求解.【详解】，且函数的图象的一条对称轴为，当时，取最大值或最小值，的最小值为.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.12.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线、分别交双曲线左、右支于另一点、，且，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用定义求出，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，从而得出，在内使用余弦定理可得出与的等量关系，从而得出双曲线的离心
7、率.【详解】由题意，.连接、，根据双曲线的对称性可得为平行四边形，由余弦定理可得，故选B.【点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.本题是利用点到直线的距离等于圆半径构造出关于的等式，最后解出的值.二、填空题13.设变量满足约束条件,则的最大值是_.【答案】18【解析】【分析】画出可行域
8、，通过向上平移基准直线到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最大值.【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点处取得最大值，且最大值为.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题.14.求曲线在点处的切线方程是_.【答案】【解析】【分析】先求出切点坐标，再计算，得出切线斜率，然后由点斜式写出切线方程.【详解】由题可得切点坐标为，因为，所以，则曲线在点处的切线的斜率为，即
9、所求切线方程为，即.故答案为：【点睛】本题主要考查利用导数几何意义求切线的方程，考查了学生的对基础知识的理解.15.的展开式中的系数为_【答案】9【解析】，的通项，当时，得到的系数为；当时，得到的系数为，所以展开式中的系数为16.已知函数是定义在R上的偶函数，满足，若时，则函数的零点个数为_【答案】2【解析】【分析】由题意得：的周期为2，且其图象关于轴对称，函数的零点个数即为函数与函数图象的交点个数，然后作出图象即可.【详解】由题意得：的周期为2，且其图象关于轴对称函数的零点个数即为函数与函数图象的交点个数，在同一坐标系中作出两函数的图象如下由图象观察可知，共有两个交点故答案为：2【点睛】一个
10、复杂函数的零点个数问题常常是转化为两个常见函数的交点个数问题.三、解答题17.已知数列的前项和为.（1）求这个数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】(1) (2) 【解析】【分析】（1）当且时，利用求得，经验证时也满足所求式子，从而可得通项公式；（2）由（1）求得，利用错位相减法求得结果.【详解】（1）当且时，当时，也满足式数列的通项公式为：（2）由（1）知：【点睛】本题考查利用求解数列通项公式、错位相减法求解数列的前项和的问题，关键是能够明确当数列通项为等差与等比乘积时，采用错位相减法求和，属于常考题型.18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共名学生同时参与了“我运
11、动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取名和名学生进行测试.下表是高二年级的名学生的测试数据（单位：个/分钟）：学生编号12345跳绳个数179181168177183踢毽个数8578797280（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳个/分钟，踢毽个/分钟.当，且时，称该学生“运动达人”.从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；从高二年级抽出的上述名学生中，随机抽取人，求抽取的名学生中为“运动达人”的人数的分布列和数学期望.【答案】（1）高一年级有人，高二年级有人；
12、（2），见解析，【解析】【分析】（1）根据分层抽样的特点直接求出答案；（2）由表可知，从高二抽取的学生中“运动达人”有3人，即可算出结果；由题可知的所有可能取值为，通过计算列出分布列，算出数学期望即可.【详解】（1）设高一年级有人，高二年级有人.采用分层抽样，有，所以高一年级有人，高二年级有人.（2）从上表可知，从高二抽取的名学生中，编号为的学生是“运动达人”.故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为；的所有可能取值为，所以的分布列为123故的期望.【点睛】本题主要考查了分层抽样，古典概率的计算，离散型随机变量的分布列与期望的计算等基础知识与基本方法，考查了学生的数据分析
13、和运算求解能力.19.已知四棱锥，底面为菱形， ,H为上的点，过的平面分别交于点，且平面（1）证明： ；（2）当为的中点， ，与平面所成的角为，求二面角的余弦值【答案】（1）见解析； （2）.【解析】【分析】（1）连结交于点，连结由题意可证得平面，则由线面平行的性质定理可得，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可.【详解】（1）证明：连结交于点，连结因为为菱形，所以，且为、的中点，因为，所以，因为且平面，所以平面，因为平面，所以因为平面， 平面，且平面平面，所以，所以（2）由（1）知且，因为，且为的中点，所以，所
14、以平面，所以与平面所成的角为，所以，所以，因为，所以 分别以， ， 为轴，建立如图所示空间直角坐标系，设，则，所以记平面的法向量为，则，令，则，所以，记平面的法向量为，则，令，则，所以， 记二面角的大小为，则所以二面角的余弦值为 【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知椭圆经过点，离心率为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作两条互相垂直的弦分别与椭圆交于点，求点到直线距离的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意结合解出，后，即可得解；（2）设，当直线斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程得，由
15、化简可得，进而可得直线方程为，由直线过定点即可得点到直线距离的最大值为；当直线斜率不存在时，设其方程为，求出n后即可得点到直线的距离；即可得解.【详解】（1）由题意，得，结合，得，所以椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，整理得，由得，设，则，因为，所以，所以，即，其中，代入整理得，即，当时，直线过点，不合题意；所以，此时满足，则直线的方程为，直线过定点，所以当时，点到直线的最大距离；当直线的斜率不存在时，设其方程为，由，代入可得，结合可得或（舍去），当时，点到直线的距离为，综上，点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查了椭圆方程的求解和直线与椭圆的位置关系，考查了运
16、算求解能力，属于中档题.21.已知函数在处取得极值.（1）求的值，并讨论函数的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）上单调递增，在单调递减；（2）【解析】【详解】分析：（1）由，可得，令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）依题意，当时，恒成立，等价于，令，只需即可，利用导数研究函数的单调性，可得，从而可得结果.详解：（1）由题知，又，即， ，令，得；令，得，所以函数在上单调递增，在单调递减.（2）依题意知，当时，恒成立，即，令，只需即可，又，令，所以上递增， ， ，所以在上递增， ，故.点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题
17、，属于难题不等式恒成立问题常见方法： 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）； 数形结合( 图象在 上方即可)； 讨论最值或恒成立； 讨论参数.本题是利用方法 求得 的最大值.22.已知函数.（1）解不等式；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）分、三种情况解不等式，即可得出该不等式的解集；（2）利用分析法可知，要证，即证，只需证明即可，因式分解后，判断差值符号即可，由此证明出所证不等式成立.【详解】（1）.当时，由，解得，此时；当时，不成立；当时，由，解得，此时.综上所述，不等式的解集为；（2）要证，即证，因为，所以，.所以，.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解，同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式，考查分类讨论思想以及推理能力，属于中等题.