1、第三章导数及其应用第一节变化率与导数、导数的计算A级基础过关|固根基|1.已知函数f(x)(x22)(ax2b)，且f(1)2，则f(1)()A1 B2C2 D0解析：选Bf(x)(x22)(ax2b)ax4(2ab)x22b，f(x)4ax32(2ab)x.又f(x)4ax32(2ab)xf(x)，f(x)为奇函数，所以f(1)f(1)2.2(2019届成都模拟)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(e)ln x(其中e为自然对数的底数)，则f(e)()A1 B1Ce De1解析：选D由已知得，f(x)2f(e)，令xe，可得f(e)2f(e)，则f(e).故选D.3(2
2、019届武汉模拟)设函数f(x)x(xk)(x2k)(x3k)，且f(0)6，则k()A0 B1C3 D6解析：选B因为f(0)6，所以原函数中x的一次项的系数为6，即k2k(3k)6k36，解得k1.故选B.4曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为()A(1e)xy10 B(1e)xy10C(e1)xy10 D(e1)xy10解析：选C由于ye，所以y|x1e1，故曲线yexln x在点(1，e)处的切线方程为ye(e1)(x1)，即(e1)xy10.5(2019届贵阳模拟)已知直线yax是曲线yln x的切线，则实数a()A. B.C. D.解析：选C设切点坐标为(x0，ln x0
3、)，由yln x的导函数为y知，切线方程为yln x0(xx0)，即yln x01.由题意可知解得a.故选C.6.已知函数yf(x)及其导函数yf(x)的图象如图所示，则曲线yf(x)在点P处的切线方程是_解析：根据导数的几何意义及图象可知，曲线yf(x)在点P处的切线的斜率kf(2)1，又过点P(2，0)，所以切线方程为xy20.答案：xy207直线ykx1与曲线yx3axb相切于点A(1，3)，则2ab_解析：由题意知，yx3axb的导数y3x2a，则解得k2，a1，b3，2ab1.答案：18若曲线f(x)ax3ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是_解析：由题意，可知f(x)
4、3ax2，又曲线存在垂直于y轴的切线，所以3ax20在(0，)有解，即a(x0)，所以a(，0)答案：(，0)9(2019届甘肃会宁一中模拟)已知曲线yx3x2在点P0处的切线l1平行于直线4xy10，且点P0在第三象限(1)求P0的坐标；(2)若直线ll1，且l也过切点P0，求直线l的方程解：(1)由yx3x2，得y3x21.由题意得，切线l1的斜率为4，令3x214，解得x1.当x1时，y0；当x1时，y4.又点P0在第三象限，所以切点P0的坐标为(1，4)(2)因为直线ll1，l1的斜率为4，所以直线l的斜率为.因为l过切点P0，由(1)得，点P0的坐标为(1，4)，所以直线l的方程为y
5、4(x1)，即x4y170.10已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a1(2a1)20，所以a，所以a的取值范围为.B级素养提升|练能力|11.(2020届“四省八校联盟”高三联考)直线xa(a0
6、)分别与直线y2x1，曲线yxln x相交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A1 B2C. D.解析：选B根据题意，设f(x)2x1xln xx1ln x，则f(x)1(x0)，所以函数f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)minf(1)2ln 12，所以|AB|min2.12(2019届扬州模拟)已知点A(1，2)在函数f(x)ax3的图象上，则过点A的曲线C：yf(x)的切线方程是()A6xy40Bx4y70C6xy40或x4y70D6xy40或3x2y10解析：选D由点A(1，2)在函数f(x)ax3的图象上，得a2，则f(x)2x3，其导数为f(x)6x
7、2.设切点为(m，2m3)，则切线的斜率k6m2，由点斜式得切线方程为y2m36m2(xm)，代入点A(1，2)的坐标得22m36m2(1m)，即有2m33m210，即(m1)2(2m1)0，解得m1或m，即斜率为6或，则过点A的曲线C：yf(x)的切线方程是y26(x1)或y2(x1)，即6xy40或3x2y10.故选D.13(2019届成都模拟)若直线ykxb是曲线yln x2的切线，也是曲线yex的切线，则b_解析：设直线ykxb与曲线yln x2的切点为(x1，y1)，与曲线yex的切点为(x2，y2)由yln x2的导数为y，yex的导数为yex，可得kex2.又由k，消去x2，可得
8、(1ln x1)(x11)0，则x1或x11，则直线ykxb与曲线yln x2的切点为或(1，2)，与曲线yex的切点为(1，e)或(0，1)，所以ke或k1，则切线方程为yex或yx1，可得b0或1.答案：0或114已知函数f(x)ax3bx2cx在x1处取得极值，且在x0处的切线的斜率为3.(1)求f(x)的解析式；(2)若过点A(2，m)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围解：(1)f(x)3ax22bxc，依题意所以f(x)x33x.(2)设切点为(x0，x3x0)，因为f(x)3x23，所以f(x0)3x3，所以切线方程为y(x3x0)(3x3)(xx0)又切线过点A(2，m)，所以m(x3x0)(3x3)(2x0)，所以m2x6x6.令g(x)2x36x26，则g(x)6x212x6x(x2)当0x2时，g(x)0，g(x)单调递增；当x0或x2时，g(x)0，g(x)单调递减，故g(x)极小值g(0)6，g(x)极大值g(2)2，画出函数g(x)的大致图象知，当6m2时，m2x36x26有三个解，所以m的取值范围是(6，2)