1、第四节 三角函数的图象与性质第四节 三角函数的图象与性质 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 双基研习面对高考 双基研习面对高考 基础梳理 1周期 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做_非零常数T叫做这个函数的_如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的_ 正 弦 函 数、余 弦 函 数 都 是 周 期 函 数，_都是它们的周期，最小正周期是_.周期函数周期最小正周期2k，kZ2函数ysinxycosxytanx图象2三角函数的性质函数ysinx ycosxytanx
2、定义域xRxRx|xk2，kZ 值域|y|1|y|1R奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性最小正周期为2最小正周期为2最小正周期为 函数ysinxycosxytanx单调性在_上递增；在_上递减在_上递增；在_上递减在_上递增2k2，2k2，2k32(kZ)2k，2k(kZ)(k2，k2)(kZ)2k，(2k1)(kZ)2k2(kZ)函数ysinxycosxytanx最值x22k(kZ)时，ymax_；x22k(kZ)时，ymin_x2k(kZ)时，ymax_；x2k(kZ)时，ymin_无最大值，也无最小值1111函数ysinxycosxytanx对称性对称中心：_对称中心：_对称中心_对称轴 l
3、：_对称轴 l：_对称轴 l：_(k，0)(kZ)xk2(kZ)(k2，0)(kZ)xk(kZ)(k2，0)(kZ)无思考感悟正弦函数、余弦函数的对称中心是正弦函数、余弦函数与x轴的交点，所以函数yAsin(x)B的对称中心就是该函数与x轴的交点，这种说法对吗？提示：不对，应是函数yAsin(x)B与直线yB的交点3用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图 用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如表所示.x02322x_ _yAsin(x)0A0A023224.图象变换(1)相位变换：ysinxysin(x)，把 ysinx图象上所有的点向_(0)，或向_(0)平行移
4、动_个单位长度(2)周期变换：ysin(x)ysin(x)(0)，把 ysin(x)图象上各点横坐标变为原来的_倍(3)振幅变换：ysin(x)yAsin(x)(A0)，把 ysin(x)图象上各点的纵坐标变为原来的_倍左右|1A5函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)(0)的图象的步骤 课前热身 1 将函数 ysinx 的图象的向左平移3个单位长度后所得图象的解析式为_答案：ysin(x3)2(2011 年盐城质检)函数 y12sinx1的定义域是_答案：x|x(1)k6k，kZ3将 ysin2x 的图象向左平移3个单位长度，得到曲线对应的解析式为_答案：ysin(2x23)4已知
5、f(x)sin(x)(0)的图象如图所示，则 _.答案：32考点探究挑战高考 yAsin(x)(A0，0)的简图 考点突破(1)函数 yAsin(x)(A0，0)的图象在一个周期内的“五点”横向间距必相等，为T4，于是“五点”横坐标依次为 x1，x2x1T4，x3x2T4，这样可以快速地求出“五点”坐标(2)当画函数yAsin(x)在某个指定区间上的图象时，一般先求出x的范围，然后在这个范围内，选取特殊点，连同区间的两个端点一起列表 例1 已知函数 y2sin(2x3)(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y2sin(2x3)的图象可由 ysin
6、x 的图象经过怎样的变换而得到【思路分析】(1)由振幅、周期、初相的定义即可解决；(2)五点法作图，关键是找出与x相对应的五个点；(3)只要看清由谁变换得到谁即可【解】(1)y2sin(2x3)的振幅 A2，周期 T22，初相 3.(2)令 x2x3，则 y2sin(2x3)2sinx.列出下表，并描点画出图象(如下图)x02322x612371256ysinx01010y2sin(2x3)02020(3)把 ysinx 的图象上所有的点向左平移3个单位长度，得到 ysin(x3)的图象，再把 ysin(x3)的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到 ysin(2x3)的图象，
7、最后把 ysin(2x3)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，即可得到 y2sin(2x3)的图象【名师点评】用“五点法”作图应抓住四条：(1)将原函数化为 yAsin(x)(A0，0)或 yAcos(x)(A0，0)的形式；(2)求出周期 T2；(3)求出振幅 A；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点求三角函数的解析式 求 三 角 函 数 的 解 析 式，即 求 三 角 函 数 式 y Asin(x)b中的参数A、b，可借助于图象的直观性，结合各个参数的几何意义求解，若能用好它与函数ysinx图象上五个特殊点的对应关系可简
8、化运算 例2(2011 年无锡质检)已知函数 f(x)Asin(x)b(A0，0，|2)的图象的一部分如图所示(1)求 f(x)的表达式；(2)试写出 f(x)的对称轴方程【思路分析】(1)函数的最大值为 3，最小值为1，周期 T，从而 A，b，可求，再代入(6，3)，可求 值(2)根据 ysinx 的对称轴方程得到所求的对称轴方程【解】(1)由图象可知，函数的最大值M3，最小值 m1，则 A3122，b312 1，又 T2(236)，2T 2 2，f(x)2sin(2x)1，将 x6，y3 代入上式，得 sin(3)1.322k，kZ，即 62k，kZ.|0，0)的解析式时，常用的方法是待定
9、系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定，由适合解析式的点的坐标来确定，但由图象求得的yAsin(x)(A0，0)的解析式一般不惟一，只有限定的取值范围，才能得出惟一解，否则的值不确定，解析式也就不惟一 确定时，若能求出距离原点最近的右侧图象上升(或下降)的零点的横坐标x0，令x00(或x0)，即可求出，也可以用最高点或最低点的坐标来求，如果对有范围要求，则可用诱导公式转化 变式训练 1 已知函数 f(x)Asin(x)，xR(其中 A0，0,00，0)的函数的单调区间，基本思路是把 x 看作一个整体，由22kx22k(kZ)求得函数的增区间；由22kx32 2k(kZ)求得函数的减区
10、间例3(2011 年苏州市高三调研测试)已知函数 f(x)2cosxsin(x3)3sin2xsinxcosx.(1)求 f(x)的单调增区间；(2)当 x0，4时，求 f(x)的值域【思路分析】先化简f(x)的解析式，化为一个角的三角函数，再求单调区间及值域【解】(1)f(x)2cosxsin(x3)3sin2xsinxcosx 2cosx(12sinx32 cosx)3 sin2xsinxcosx2sinxcosx 3(cos2xsin2x)sin2x 3cos2x2sin(2x3)由 2k22x32k2(kZ)，解得 k512xk 12(kZ)，f(x)的单调 递增区间 为k512，k1
11、2(kZ)(2)x0，4，2x33，56 则 sin(2x3)12，1，f(x)的值域为1,2【名师点评】(1)熟记ysinx，ycosx，ytanx的单调区间是求复杂的三角函数单调区间的基础(2)求形如yAsin(x)k的单调区间时，只需把x看作一个整体代入ysinx的相应单调区间内即可，注意先把化为正数求yAcos(x)和yAtan(x)的单调区间类似 变式训练 2 已知函数 f(x)3(sin2xcos2x)2sinxcosx.设 x3，3，求 f(x)的值域和单调递增区间解：f(x)3(cos2xsin2x)2sinxcosx 3cos2xsin2x2sin(2x3)，x3，3，32x
12、3.32 sin(2x3)1.f(x)的值 域为2，3当 ysin(2x3)递减时，f(x)递增，令 2k22x32k32，kZ，则 k 12xk712，kZ，又 x3，3，12x3.故 f(x)的递增区间为12，3方法感悟 方法技巧1三角函数的定义域要求同其他函数中对自变量的限制一样，另外ytanx中xk，kZ.2求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解 3求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法：(1)利用sinx、cosx的值域；(2)形式复杂的函数应化为yAsin(x)b的形式逐步分析x的范围，根据正弦函数单调性写出yAsin(x)b
13、的值域；(3)换元法：把sinx、cosx看作一个整体，可化为二次函数 4三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数的标准式，然后通过同解变形或利用数形结合的方法求解判断函数的奇偶性，应首先判定函数定义域关于原点的对称性 5求三角函数周期的方法：(1)利用周期函数的定义(2)利用公式：yAsin(x)和 yAcos(x)的最小正周期为2|，ytan(x)的最小正周期为|.(3)利用图象6三角函数的对称性：正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形正切函数的图象只是中心对称图形应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用失误防范1求三角函数的单调区间如 ysin(2
14、x3)，应注意“2x”中的负号对单调性的影响，可以先化为 ysin(2x3)再由复合函数的单调性法则去求2求函数yAsin(x)与yAsin(x)b的对称中心不一样，yAsin(x)的对称中心是该函数图象与x轴的交点，yAsin(x)b的对称中心是该函数图象与直线yb的交点函数yAtan(x)只有对称中心，无对称轴，该函数的对称中心与前面两函数不一样，yAtan(x)与x轴的交点是对称中心，而这些对称中心相临的两点的中点也是该函数的对称中心 考向瞭望把脉高考 考情分析 从近几年江苏高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有填空题，又有解答题，难度属低、中档，如2008
15、年江苏卷第1题常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的技巧，注重考查函数与方程、等价转化等思想方法 预测在2012年的江苏高考中，考查三角函数的周期性、单调性、对称性依然是热点填空题的可能性较大 规范解答 例 本题满分 14 分)已知 f(x)sin2x 32 sin2x12(xR，0)若 f(x)的最小正周期为 2.(1)求 f(x)的表达式和 f(x)的单调递增区间；(2)求 f(x)在区间6，56 的最大值和最小值【思路分析】先化简f(x)的解析式，由周期先求.【解】(1)由已知 f(x)sin2x 32 sin2x12(xR，0)12(1cos2x)32
16、 sin2x12 32 sin2x12cos2xsin(2x6)又由 f(x)的周期为 2，22221124 分f(x)sin(x6).5 分2k2x62k2(kZ)2k3x2k23(kZ)即 f(x)单调递增区间为2k3，2k23(kZ)7 分(2)x6，56 6x5666x656 63x623sin(3)sin(x6)sin2 32 sin(x6)1，13 分f(x)在区间6，56 的最大值和最小值分别为1 和 32.14 分【名师点评】求三角函数值域的常用方法有：(1)将函数式化为yAsin(x)的形式，然后根据定义域求出值域即可；(2)采用反函数法，利用sinx和cosx的有界性求值域
17、；(3)采用换元法，转化为代数函数求解，但应特别注意所换元的范围名师预测 1已知 f(x)3sin(2x3)，给出下列三个判断：(1)函数 f(x)的最小正周期为；(2)函数 f(x)在区间(12，512)内是增函数；(3)函数 f(x)关于点(23，0)对称以上三个判断中正确的个数为_解析：(1)中，f(x)3sin(2x3)，T22，故(1)正确(2)中，令 2k22x32k2(kZ)，得 k 12x 512k(kZ)，当 k0 时，x12，512，(12，512 12，512，所以(2)成立(3)中，当 x23 时，f(x)3sin(223 3)3sin0，因此 f(x)关于点(23，0
18、)对称所以(3)成立综上所述，正确的有 3 个答案：32已知函数 f(x)2sinx(0)在区间3，4上的最小值是2，则 的最小值为_解析：由题意知T43，T2，解得 32.答案：323为了得到函数 ycos2x(xR)的图象只需将函数 ycos(2x3)(xR)的图象向右平移 个单位长度，则 的最小值为_解析：由 ycos(2x3)cos2(x6)，可知将此函数的图象向右平移6个单位长度即得函数 ycos2(x66)cos2x 的图象答案：64已知函数 f(x)sin2x 3sinxsin(x2)(0)的最小正周期为.(1)求 的值；(2)求函数 f(x)在区间0，23 上的取值范围解：(1)f(x)1cos2x2 32 sin2x 32 sin2x12cos2x12sin(2x6)12.因为函数 f(x)的最小正周期为，且 0，所以22，解得 1.(2)由(1)得 f(x)sin(2x6)12.因为 0 x23，所以62x676，所以12sin(2x6)1，所以 0sin(2x6)1232，即 f(x)的取值范围为0，32本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
