2001年全国高中数学联赛试题讲解待.doc

1、2001年全国高中数学联赛试题讲解 与前三届相同，今年的全国高中数学竞赛仍分联赛和加试赛两部分，但是今年的试题明显比去年难，陕西赛区的平均成绩下降了近60分为了体现本栏目的宗旨，下面仅对今年的联赛试题进行讲解，供参考一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1.已知a为给定的实数，那么集合320，的子集的个数为（）124不确定讲解：M表示方程320在实数范围内的解集由于140，所以含有2个元素故集合有24个子集，选2命题1：长方体中，必存在到各顶点距高相等的点命题2：长方体中，必存在到各条棱距离相等的点；命题3：长方体中，必存在到各个面距离相等的点以上三个命题中正确的有（）0个1个2个3个讲解：

2、由于长方体的中心到各顶点的距离相等，所以命题1正确对于命题2和命题3，一般的长方体（除正方体外）中不存在到各条棱距离相等的点，也不存在到各个面距离相等的点因此，本题只有命题1正确，选3在四个函数、中，以为周期、在（0，2）上单调递增的偶函数是（）讲解：可考虑用排除法不是周期函数（可通过作图判断），排除；的最小正周期为2，且在（0，2）上是减函数，排除；在（0，2）上是减函数，排除故应选4如果满足60，12，的恰有一个，那么的取值范围是（）801212 012或8讲解：这是“已知三角形的两边及其一边的对角，解三角形”这类问题的一个逆向问题，由课本结论知，应选结论说明：本题也可以通过画图直观地判断

3、，还可以用特殊值法排除、5若（12）1000的展开式为20002000，则3691998的值为（）33333666399932001讲解：由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法取（12）（2），则1，10令1，得310002000；令，得01220002000；令，得020004000得310003（1998）19983999，选6已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24，而4枝攻瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是（）2枝玫瑰价格高3枝康乃馨价格高价格相同 不确定讲解：这是一个大小比较问题可先设玫瑰与康乃馨的单

4、价分别为元、元，则由题设得6324，4522问题转化为在条件、的约束下，比较2与3的大小有以下两种解法：解法1：为了整体地使用条件、，令63，45，联立解得（53）18，（32）923（1112）924，22，111211241222023，选图1解法2：由不等式、及0、0组成的平面区域如图1中的阴影部分（不含边界）令232，则表示直线：232在轴上的截距显然，当过点（3，2）时，2有最小值为0故230，即23，选说明：（1）本题类似于下面的1983年一道全国高中数学联赛试题：已知函数（）满足：4（1）1，1（2）5，那么（3）应满足（）7（3）264（3）151（3）20283（3）353（

5、2）如果由条件、先分别求出、的范围，再由2的范围得结论，容易出错上面的解法1运用了整体的思想，解法2则直观可靠，详见文1二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7椭圆1（2）的短轴长等于_讲解：若注意到极点在椭圆的左焦点，可利用特殊值法；若注意到离心率和焦参数（焦点到相应准线的距离）的几何意义，本题也可以直接求短半轴的长解法1：由（0）1，得23，（）13，13从而3，故223解法2：由12，21及222，得3从而223说明：这是一道符合教学大纲而超出高考范围的试题8若复数、满足2，3，32（32），则_讲解：参考答案给出的解法技巧性较强，根据问题的特点，用复数的三角形式似乎更符合学生的思维特

6、点，而且也不繁令2（），3（），则由32（32）及复数相等的充要条件，得6（）32，6（）1，即12（）2）（）2）32，12（）2）（）2）1二式相除，得（）2）32由万能公式，得（）1213，（）513故6（）（）（3013）（7213）说明：本题也可以利用复数的几何意义解9正方体1的棱长为1，则直线与的距离是_讲解：这是一道求两条异面直线距离的问题，解法较多，下面给出一种基本的解法图2为了保证所作出的表示距离的线段与和都垂直，不妨先将其中一条直线置于另一条直线的垂面内为此，作正方体的对角面，则面，且面设0，在面内作，垂足为，则线段的长为异面直线与的距离在中，等于斜边上高的一半，即610不

7、等式（112）232的解集为_讲解：从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得122，或27120，或120从而4，或1227，或0111函数的值域为_讲解：先平方去掉根号由题设得（）32，则（2）（23）由，得（2）（23）解得132，或2由于能达到下界0，所以函数的值域为1，32）2，）说明：（1）参考答案在求得132或2后，还用了较长的篇幅进行了一番验证，确无必要（2）本题还可以用三角代换法和图象法来解，不过较繁，读者不妨一试图312在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物（如图3），要求同一块中种同一种植物，相邻的两块种不同的植物现有4种不同的植物可供选择，则有_种栽种方案讲解：为了叙述方便

8、起见，我们给六块区域依次标上字母、按间隔三块、种植植物的种数，分以下三类（1）若、种同一种植物，有4种种法当、种植后，、可从剩余的三种植物中各选一种植物（允许重复），各有3种方法此时共有4333108种方法（2）若、种二种植物，有2种种法当、种好后，若、种同一种，则有3种方法，、各有2种方法；若、或、种同一种，相同（只是次序不同）此时共有3（322）432种方法（3）若、种三种植物，有种种法这时、各有2种种方法此时共有222192种方法根据加法原理，总共有108432192732种栽种方案说明：本题是一个环形排列问题三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13设为等差数列，为等比数列，且，（

9、）又（）1，试求的首项与公差讲解：这是一个有关等差、等比数列的基本问题数列与的前三项满足2（1，2，3），由此可确定数列的首项与公差的关系；由（）1便可求出和的值设的公差为，由，得0由2，得4222（舍去，否则），或2（）2（2），即2240解得（2）若（2），则（1）1，不符合要求若（2），则（1）由（）1，得（1）1，即（1（1）1解得2由及知0，（2）2214设曲线：（）1（为正常数）与2：2（）在轴上方仅有一个公共点（1）求实数的取值范围（用表示）；（2）为原点，若与轴的负半轴交于点，当012时，试求的面积的最大值（用表示）讲解：（1）可将曲线与的公共点的个数问题转化为研究它们的方程组

10、成的方程组解的个数问题由（）1，消去，得2（）220问题转化为方程在区间（，）上有惟一解或两个相等的实根设（）22当0，即（1）2时，由，得01这时方程有等根当（）（）0，即时，方程在区间（，）内有一个根（另一根在区间外）当（）0，即时，2由2，得01这时方程在区间（，）内有惟一解；当（）0，即时，2由2，得故综上所述，当01时，（1）2，或；当1时，（2）（，0），（12）当012时，由（1）知由方程得显然，0，从而要使最大，则应最小易知，当时，（）2从而（）2故（）当（1）2时，从而，故（12）下面比较与（12）的大小（）（12）（14）（31）（1）当013时，（12）；当1312时，（

11、12）故（）（12）（013），（1312）说明：本题考查学生思维的严谨性图415用电阻值分别为、（）的电阻组装成一个如图4的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论讲解：设6个电阻的组件（如图5）的总电阻为当（3，4，5，6），、是、的任意排列时，最小用逐步调整法证明如下：图5（1）当、并联时，所得组件阻值满足1（1）（1）若交换、，不变，且当或变小时，也减小，因此不妨取（2）设三个电阻的组件（如图6）的总电阻为，则（）（）（）显然，越大，则越小，所以为使最小，必须取为所取三个电阻中阻值最小的一个图6图7（3）设四个电阻的组件（如图7）的总电阻为，则1（1）（1）（）（）记，2，则、为定值于是（）（）显然，当最小，且最大时，最小故应取，才能使总电阻的阻值最小（4）回到图5，把由、组成的组件用等效电阻代替要使最小，由（3）知必须使；且由（1）知应使最小由（2）知，要使最小，必须使，且应使最小而由（3）知，要使最小，应使且综上所述，按照图5选取电阻，才能使该组件的总电阻值最小说明：根据电学知识，两个电阻并联，其组件的阻值小于这两个电阻中阻值最小的一个，所以，本题也可以倒过来思考参考文献1刘康宁平面区域问题中学数学教学参考，2001，11