1、4.4平面向量应用举例1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题2平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相
2、似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，这是力F与位移s的数量积即WFs|F|s|cos (为F与s的夹角)3平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一个运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若，则A，B，C三点共
3、线()(2)解析几何中的坐标、直线平行、垂直、长度等问题都可以用向量解决()(3)实现平面向量与三角函数、平面向量与解析几何之间的转化的主要手段是向量的坐标运算()(4)在ABC中，若0，则ABC为钝角三角形()(5)作用于同一点的两个力F1和F2的夹角为，且|F1|3，|F2|5，则F1F2的大小为.()(6)已知平面直角坐标系内有三个定点A(2，1)，B(0，10)，C(8,0)，若动点P满足：t()，tR，则点P的轨迹方程是xy10.()1已知ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5，2)，C(1，4)，则这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形答
4、案B解析(2，2)，(6,6)，12120，ABC为直角三角形2(2014山东)已知向量a(1，)，b(3，m)若向量a，b的夹角为，则实数m等于()A2 B. C0 D答案B解析ab(1，)(3，m)3m，又abcos ，3mcos ，m.3平面上有三个点A(2，y)，B，C(x，y)，若，则动点C的轨迹方程为_答案y28x (x0)解析由题意得，又，0，即0，化简得y28x (x0)4河水的流速为2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度为_ m/s.答案2解析如图所示小船在静水中的速度为2 m/s.题型一向量在平面几何中的应用例1如图所示，四边形A
5、BCD是正方形，P是对角线DB上的一点(不包括端点)，E，F分别在边BC，DC上，且四边形PFCE是矩形，试用向量法证明：PAEF.思维点拨正方形中有垂直关系，因此考虑建立平面直角坐标系，求出所求线段对应的向量，根据向量知识证明证明建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形的边长为1，DP(0)，则A(0,1)，P(，)，E(1，)，F(，0)，(，1)，(1，)，| ，| ，|，即PAEF.思维升华用向量方法解决平面几何问题可分三步：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3)
6、把运算结果“翻译”成几何关系在边长为1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中点，则等于()A. B.C. D.(2)在ABC所在平面上有一点P，满足，则PAB与ABC的面积的比值是()A. B. C. D.答案(1)D(2)A解析(1)建立如图平面直角坐标系，则A(，0)，C(，0)，B(0，)E点坐标为(，)，(，0)，(，)，.(2)由已知可得2，P是线段AC的三等分点(靠近点A)，易知SPABSABC，即SPABSABC13.题型二向量在三角函数中的应用例2已知在锐角ABC中，两向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p与q是共线向
7、量(1)求A的大小；(2)求函数y2sin2Bcos取最大值时，B的大小解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin A，ABC为锐角三角形，A60.(2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60)1cos 2Bcos(2B60)1cos 2Bcos 2Bcos 60sin 2Bsin 601cos 2Bsin 2B1sin(2B30)，当2B3090，即B60时，函数取最大值2.思维升华解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数中的有关问题解
8、决(1)已知a，b，c为ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m(，1)，n(cos A，sin A)若mn，且acos Bbcos Acsin C，则角A，B的大小分别为()A.， B.，C.， D.，(2)ABC的三个内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c，设向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，则角B的大小为_答案(1)C(2)解析(1)由mn得mn0，即cos Asin A0，即2cos0，A，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，sin C1，C，B.(2)
9、mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，又，则化简得a2c2b2ac，cos B，0B，B.题型三向量在解析几何中的应用例3已知平面上一定点C(2,0)和直线l：x8，P为该平面上一动点，作PQl，垂足为Q，且()()0.(1)求动点P的轨迹方程；(2)若EF为圆N：x2(y1)21的任一条直径，求的最值解(1)设P(x，y)，则Q(8，y)由()()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化简得1.点P在椭圆上，其方程为1.(2)，又0.22x2(y1)2116(1)(y1)21y22y16(y3)219.2y2.当y3时，的最大值为19，当y2时，的最小值为12
10、4.综上：的最大值为19；的最小值为124.思维升华向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用：利用abab0(a，b为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法(1)已知向量(k,12)，(4,5)，(10，k)，且A、B、C三点共线，当k0时，若k为直线的斜率，则过点(2，1)的直线方程为_(2)已知P是圆
11、C：(x1)2(y)21上的一个动点，A(，1)，则的最小值为_答案(1)2xy30(2)2(1)解析(1)(4k，7)，(6，k5)，且，(4k)(k5)670，解得k2或k11.当k0，0，|)在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是这段图象的最高点和最低点，且0(O为坐标原点)，则A等于()A. B. C. D.答案B解析由题意知M(，A)，N(，A)，又A20，A.6已知在ABC中，a，b，ab0，SABC，|a|3，|b|5，则BAC_.答案150解析0.由于，|ab|，此时，|ab|2|a|2|b|2；当a，b夹角为钝角时，|ab|a|2|b|2；当ab时，|ab|2|ab|2|a
12、|2|b|2，故选D.12(2013浙江)设ABC，P0是边AB上一定点，满足P0BAB，且对于边AB上任一点P，恒有，则()AABC90 BBAC90CABAC DACBC答案D解析设BC中点为M，则2222，同理22，恒成立，|恒成立即P0MAB，取AB的中点N，又P0BAB，则CNAB，ACBC.故选D.13已知向量(3，4)，(6，3)，(5m，3m)，若ABC为锐角，则实数m的取值范围是_答案(，)(，)解析由已知得(3,1)，(2m,1m)若，则有3(1m)2m，解得m.由题设知，(3，1)，(1m，m)ABC为锐角，33mm0，可得m.由题意知，当m时，.故当ABC为锐角时，实数m的取值范围是(，)(，)14已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案5解析方法一以D为原点，分别以DA、DC所在直线为x、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值为5.方法二设x(0x0，故由1，2，得y11y1，y22y2，整理，得11，21，所以122()220.