1、第五节推理与证明1合情推理类型定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理2.演绎推理(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一
2、般原理，对特殊情况做出的判断1类比推理的注意点在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑如果只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误2类比推理的几个角度方法解读适合题型类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来解已知熟悉定义类比新定义类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键平面几何与立体几何；等差数列与等比数列续表类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移已知熟悉的
3、处理方法类比未知问题的处理方法类比结构有些是类比等式或不等式形式的推理，可以从结构特点上类比，如两项类比三项，长度类比面积，平方类比立方，面积类比体积，平面类比空间几何问题的结论3.直接证明内容综合法分析法定义从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论的方法，是一种从原因推导到结果的思维方法从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法特点从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的必要条件从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件4
4、.间接证明反证法要证明某一结论Q是正确的，但不直接证明，而是先去假设Q不成立(即Q的反面非Q是正确的)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明非Q是错误的，从而断定结论Q是正确的，这种证明方法叫做反证法5数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立(2)(归纳递推)假设当nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立，上述证明方法叫做数学归纳法1.(基本方法：归纳推理)已知数列an中，a11，n2时，anan12n1，依次计算a2，a
5、3，a4后，猜想an的解析式是()Aan3n1 Ban4n3Cann2 Dan3n1答案：C2(基础知识：三段论)有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点，因为f(x)x3在x0处的导数值为0，所以x0是f(x)x3的极值点，以上推理()A大前提错误 B小前提错误C推理形式错误 D结论正确答案：A3(基本能力：类比推理)在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积比为14.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积比为()A.18 B81C41 D14答案：A4(基本能力：类比推理)在RtABC中，若C90
6、，ACb，BCa，则ABC外接圆半径r.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R_答案：5(基本能力：归纳推理)观察下列不等式：1，1，1，照此规律，第五个不等式为_答案：1题型一合情推理与演绎推理 典例剖析类型 1归纳推理例1(1)分形理论是当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科其中，把部分与整体以某种方式相似的形体称为分形分形是一种具有自相似特性的现象、图象或者物理过程标准的自相似分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构也就是说，在分形中，每一组成部分都在特征上和整体相似，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角形就是一种典型的分形，是由波兰数
7、学家谢尔宾斯基在1915年提出的，按照如下规律依次在一个黑色三角形内去掉小三角形，则当n6时，该黑色三角形内去掉小三角形个数为()A81 B121C364 D1 093解析：由题图可知，每一个图形中去掉小三角形的个数等于前一个图形去掉小三角形个数的3倍加1，所以n1时，a11；n2时，a2314；n3时，a334113；n4时，a4313140；n5时，a53401121；n6时，a631211364.答案：C(2)(2021湖北襄阳优质高中联考)将三项式(x2x1)n展开，当n0，1，2，3，时，得到以下等式：(x2x1)01，(x2x1)1x2x1，(x2x1)2x42x33x22x1，(
8、x2x1)3x63x56x47x36x23x1，观察多项式系数之间的关系，可以依照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数(不足3个数的，缺少的数记为0)的和，第k行共有(2k1)个数，若(x2x1)5(1ax)的展开式中，x7项的系数为75，则实数a的值为_解析：根据题意可得广义杨辉三角第5行的数为：1，5，15，30，45，51，45，30，15，5，1，故(1ax)(x2x1)5的展开式中，x7项的系数为3045a75，得a1.答案：1类型 2类比推理例2(1)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角
9、边为股，斜边为弦若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2b2c2，称这个定理为勾股定理现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，AOBBOCCOA90，S为顶点O所对面ABC的面积，S1，S2，S3分别为侧面OAB，OAC，OBC的面积，则下列选项中对于S，S1，S2，S3满足的关系描述正确的为()AS2SSS BS2CSS1S2S3 DS解析：如图所示，作ODBC于点D，连接AD，则ADBC，从而S2BC2AD2BC2(OA2OD2)(OB2OC2)OA2BC2OD2SSS.答案：A(2)若点P0(x0，y0)在椭圆1(ab0)外，过点P0作该椭圆的两条切线，切点分别为P
10、1，P2，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.那么对于双曲线1(a0，b0)，类似地，可以得到一个正确的切点弦方程为_解析：若点P0(x0，y0)在双曲线1(a0，b0)外，过点P0作该双曲线的两条切线，切点分别为P1，P2(图略)，则切点弦P1P2所在直线的方程为1.答案：1类型 3演绎推理例3(1)(2021河南洛阳模拟)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数B大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数C大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是
11、无理数D大前提：是无限不循环小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选项A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故选项A错误；选项CD都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以选项CD都不正确，只有选项B正确答案：B(2)下面四个推理中，不属于演绎推理的是()A因为函数ysin x(xR)的值域为1，1，2x1R，所以ysin (2x1)(xR)的值域为1，1B昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C在平面中，对于三条不同的直线a，b，c，若ab，bc，则ac，将此结论放到空间中也是如此D如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的
12、高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：选项C中的推理属于合情推理中的类比推理，选项ABD中的推理都是演绎推理答案：C方法总结1归纳推理问题的常见类型及解题策略：(1)与数字有关的等式的归纳推理，观察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解(2)与式子有关的归纳推理：与不等式有关的归纳推理，观察每个不等式的特点，注意从纵向看，找到规律后可解与数列有关的归纳推理，通常是先求出几个特殊项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关系，列出即可求解(3)与图形变化有关的归纳推理，合理利用特殊图形归纳推理得出
13、结论，并用赋值检验法验证其真伪性2类比推理是由一类事物的特殊性推另一类事物的特殊性，首先要找出两类事物之间的联系与不同，然后找出“特殊性”是什么内容，定义方面、性质方面、方法方面、运算方面等，从而推导结论3演绎推理是由一般到特殊的推理，是一种必然性的推理，演绎推理得到的结论不一定是正确的，这要取决于前提是否真实和推理的形式是否正确，因此不便发现新结论题组突破1(2021福建泉州模拟)田忌赛马是中国古代对策论与运筹思想的著名范例故事中齐将田忌与齐王赛马，孙膑献策以下马对齐王上马，以上马对齐王中马，以中马对齐王下马，结果田忌一负两胜从而获胜该故事中以局部的牺牲换取全局的胜利成为军事上一条重要的用兵
14、规律在比大小游戏中(大者为胜)，已知我方的三个数为acos ，bsin cos ，ccos sin ，对方的三个数及排序如表：第一局第二局第三局对方tan sin 当0 时，我方必胜的排序是()Aa，b，c Bb，c，aCc，a，b Dc，b，a解析：因为当0时，cos sin cos sin cos ，sin tan .由“田忌赛马”事例可得：我方必胜的排序是c，b，a.答案：D2观察下列等式：132332，13233362，13233343102，根据上述规律，第五个等式为_解析：因为所给等式左边的底数依次分别为1，2；1，2，3；1，2，3，4；右边的底数依次分别为123，1236，12
15、3410，所以由底数内在规律可知，第五个等式左边的底数为1，2，3，4，5，6，右边的底数为12345621，又左边为立方和，右边为平方的形式，故第五个等式为132333435363212.答案：132333435363212题型二直接证明与间接证明 典例剖析类型 1综合法例1在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin Bsin B sin Ccos 2B1.(1)求证：a，b，c成等差数列；(2)若C，求证：5a3b.证明：(1)由已知得sin A sin Bsin B sin C2sin2B，因为sinB0，所以sin Asin C2sin B，由正弦定理，得ac
16、2b，即a，b，c成等差数列(2)由C，c2ba及余弦定理得(2ba)2a2b2ab，即有5ab3b20，所以5a3b.类型 2分析法例2a0，证明 2 .证明：因为a0，0，2 0，所以要证 2 ，只需证( )2(2 )2，即证2a224(a1)，只需证 a1，即证a(a2)(a1)2，即证01，而01显然成立，所以原不等式成立类型 3反证法例3等差数列an的前n项和为Sn，a11，S393.(1)求数列an的通项公式an与前n项和Sn；(2)设bn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列解析：(1)设等差数列an的公差为d.由已知得所以d2，故an2n1，Snn(n)(
17、nN*).(2)证明：由(1)得bnn，假设数列bn中存在三项bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则bbpbr，即(q)2(p)(r)，所以(q2pr)(2qpr)0.因为p，q，rN*，所以所以pr，(pr)20，所以pr，与pr矛盾，所以数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列类型4数学归纳法例4数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n，不等式均成立证明：当n2时，左边1，右边.左边右边，不等式成立假设当nk(k2，且kN*)时不等式成立，即，则当nk1时，当nk1时，不等式也成立由知对一切大于1的自然数n，不等式都成立方法总结1综合法的推理方式：(1)综合法是“由因
18、导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性(2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理2分析法的思路：“执果索因”，逐步寻找结论成立的充分条件，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”或本身已经成立的定理、性质或已经证明成立的结论等3(1)反证法的适用范围：当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时，宜用反证法求证(2)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是：与已知条件矛盾；与假设矛盾；与定义、公理、定理矛盾；与事实矛盾等方面4数学归纳法主要
19、是用来证明与自然数有关的等式、不等式、数列的归纳猜想等，常与数列结合起来，关键是第二步，归纳假设的应用题组突破1已知a0，求证 a2.证明：要证 a2，只需证 (2).因为a0，所以(2)0，所以只需证，即2(2)84，只需证a2.因为a0，所以a2显然成立(当且仅当a1时等号成立)，所以原不等式成立2已知数列an的前n项和为Sn，且满足anSn2.(1)求数列an的通项公式；(2)求证：数列an中不存在三项按原来顺序成等差数列解析：(1)当n1时，a1S12a12，则a11.又anSn2，所以an1Sn12，两式相减得an1an，所以an是首项为1，公比为的等比数列，所以an.(2)证明：假
20、设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap，aq，ar(pqr，且p，q，rN*)，则2，所以22rq2rp1.(*)又因为pqr，所以rq，rpN*.所以(*)式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立所以假设不成立，原命题得证3用数学归纳法证明(nN*).证明：当n1时，左边，当n1时，命题成立；假设当nk(kN*)时，命题成立，则有，当nk1时，左边3，当nk1时，命题也成立综合可知原命题成立1.(2019高考全国卷)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长
21、度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是()A165 cm B175 cmC185 cm D190 cm解析：设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得0.618，解得m169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得0.618，解得n42.071.由已知可得0.618，解得m178.218.综上，此人身高m满足169.890m178.218，所以其身高可能为175 cm.答案：B2(2020高考全国卷)01周期序列在通信技术中有着重要应用若序列a1a2an满足ai0，1(
22、i1，2，)，且存在正整数m，使得aimai(i1，2，)成立，则称其为01周期序列，并称满足aimai(i1，2，)的最小正整数m为这个序列的周期对于周期为m的01序列a1a2an，C(k)iaik(k1，2，m1)是描述其性质的重要指标下列周期为5的01序列中，满足C(k)(k1，2，3，4)的序列是()A11010 B11011C10001 D11001解析：周期为5的01序列中，C(k)iaik(k1，2，3，4).验证C(1)(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a6)(a1a2a2a3a3a4a4a5a5a1).对于选项A，C(1)(10000)，满足C(1).对于选项B，C(1)
23、(10011)，不满足，故排除B.对于选项C，C(1)(00001)，满足C(1).对于选项D，C(1)(10001)，不满足，故排除选项D.再对选项AC验证C(2)(a1a3a2a4a3a5a4a6a5a7)(a1a3a2a4a3a5a4a1a5a2).对于选项A，C(2)(01010)，不满足，故排除选项A.对于选项C，C(2)(00000)0，满足C(2).答案：C如图，将钢琴上的12个键依次记为a1，a2，a12.设1ijk12.若kj3且ji4，则称ai，aj，ak为原位大三和弦；若kj4且ji3，则称ai，aj，ak为原位小三和弦用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为()A5 B8C10 D15解析：满足条件1ijk12，kj3且ji4的(i，j，k)有(1，5，8)，(2，6，9)，(3，7，10)，(4，8，11)，(5，9，12)，共5个；满足条件1ijk12，kj4且ji3的(i，j，k)有(1，4，8)，(2，5，9)，(3，6，10)，(4，7，11)，(5，8，12)，共5个，所以一共有10个答案：C