1、第二课时零点的存在性及其近似值的求法某电视台有一个节目叫“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜问题怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？知识点一函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数yf(x)在区间a，b中至少有一个零点，即x0a，b，f(x0)0.1利用函数零点存在定理只能判断出零点是否存在，而不能确定零点的个数如图，虽然都有f(a)f(b)0，但图中的函数在区间(a，b)内有4个零点，图中的函数在区间(a，b)内仅有1
2、个零点2若函数yf(x)的图像是一条连续不断的曲线，则由f(a)f(b)0可以推出函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点；但是，由函数yf(x)在区间(a，b)内存在零点不一定能推出f(a)f(b)0.3如果单调函数yf(x)在区间a，b上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)f(b)0，那么函数yf(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c(a，b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根 1函数yf(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)0.2函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0时，能否判断函数在区间(a，b
3、)上的零点个数？提示：函数yf(x)在区间a，b上的图像是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)0是判断函数yf(x)在a，b上有零点的充分不必要条件，不能判断零点的个数 方程x3x30的实数解所在的区间是()A1，0B0，1C1，2 D2，3解析：选C令f(x)x3x3，易知函数f(x)x3x3在R上的图像是连续不断的，f(1)30，f(1)30，f(0)30，结合选项知，f(1)f(2)0，故函数f(x)x3x3的零点所在的区间为1，2，即方程x3x30的实数解所在的区间为1，2知识点二二分法用二分法求函数零点近似值的步骤在函数零点存在定理的条件满足时(即f(x)在区间a，b上的图像是连续不
4、断的，且f(a)f(b)0)，给定近似的精度，用二分法求零点x0的近似值x1，使得|x1x0|的一般步骤如下：第一步：检查|ba|2是否成立，如果成立，取x1，计算结束；如果不成立，转到第二步第二步：计算区间(a，b)的中点对应的函数值，若f0，取x1，计算结束；若f0，转到第三步第三步：若f(a)f0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff(b)0，将的值赋给a，回到第一步是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？提示：不是，只有满足函数图像在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点1观察下列函数的图像，判断能用二分法求其零点的是()答案：A2下列函数中不能用二
5、分法求零点近似值的是_f(x)3x; f(x)x21；f(x)x22x3; f(x)|x|.答案：3用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算得f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_答案：(0，0.5)f(0.25) 判断函数零点个数或所在区间例1(1)已知函数yf(x)的图像是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表：x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88则下列说法正确的是()A函数yf(x)在区间1，6上有3个零点B函数yf(x)在区间1，6上至少有3个零点C函数yf(x)在区间1，6上至多有3个零点D函数yf(x)在区间1，2
6、上无零点(2)函数f(x)x3x5的零点所在区间为()A(0，1)B(1，2)C(2，3) D(3，4)解析(1)由表可知，f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0.由函数零点存在定理知，函数yf(x)在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)上分别至少存在一个零点，所以函数yf(x)在区间1，6上的零点至少有3个虽然f(1)f(2)0，但函数yf(x)在1，2上也有可能存在一个或多个零点(2)由函数f(x)x3x5可得f(1)11530，f(2)82550，故有f(1)f(2)0，根据函数零点存在定理可得，函数f(x)的零点所在区间为(1，2)，故选B.答案(1)B(2)B1
7、判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值；(2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断；(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点2判断函数存在零点的2种方法(1)方程法：若方程f(x)0的解可求或能判断解的个数可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数；(2)图像法：由f(x)g(x)h(x)0，得g(x)h(x)，在同一平面直角坐标系内作出y1g(x)和y2h(x)的图像，根据两个图像交点的个数来判定函数零点的个数 跟踪训练1已知定义在R上的函数f(x)的图像是连续
8、不断的曲线，且有如下对应值表：x123f(x)6.12.93.5那么下列区间一定存在函数f(x)零点的是()A(，1)B(1，2)C(2，3) D(3，)解析：选C定义在R上的函数f(x)的图像是连续不断的曲线，由题表知f(2)f(3)0，根据零点存在性定理可知函数f(x)在(2，3)内一定存在零点2在下列区间上，方程x33x1无实数解的是()A(2，1) B(1，0)C(0，1) D(1，2)解析：选B令f(x)x33x1，易知f(x)在R上连续，f(1)13130，f(2)86110，f(0)00110，f(1)13110，f(2)86130.故f(x)在(2，1)，(0，1)，(1，2)
9、上有零点，且三次函数最多3个零点，故方程x33x10在区间(1，0)上没有零点故选B.根据函数零点求参数例2已知a是实数，函数f(x)2|x1|xa，若函数yf(x)有且仅有两个零点，求实数a的取值范围解函数f(x)2|x1|xa有且仅有两个零点，即函数y2|x1|x与ya有且仅有两个交点分别作出函数y2|x1|x与ya的图像，如图所示由图易知，当a1时，两函数的图像有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，)根据函数零点个数求参数值(范围)的方法已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围；(2)分离参数
10、法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解 跟踪训练函数f(x)ax22x1，若yf(x)在区间内有零点，求实数a的取值范围解：由f(x)ax22x10得a1.若f(x)在内有零点，则f(x)0在区间内有解，当x0或0x时，可得a0.故a的取值范围为(，0二分法角度一对二分法概念的理解例3下列图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()解析利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可
11、采用二分法求零点答案B二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性对“函数在区间a，b上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图像是连续的即可 角度二用二分法求方程的近似解例4用二分法求方程2x33x30的一个正实数近似解(精确度为0.1)解令f(x)2x33x3，经计算，f(0)30，f(0)f(1)0，所以函数f(x)在(0，1)内存在零点，即方程2x33x3在(0，1)内有解取(0，1)的中点0.5，经计算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5，1)内有解如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：(
12、a，b)中点cf(a)f(b)f(0，1)0.5f(0)0f(0.5)0(0.5，1)0.75f(0.5)0f(0.75)0(0.5，0.75)0.625f(0.5)0f(0.625)0(0.625，0.75)0.687 5f(0.625)0f(0.687 5)0(0.687 5，0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1由于|0.687 50.75|0.062 50.1，所以0.75可作为方程的一个正实数近似解用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则(1)需依据图像估计零点所在的初始区间m，n(一般采用估计值的方法完成)；(2)取区间端点的中点c，计算f(c)，确定有解区间是(m
13、，c)还是(c，n)，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值 跟踪训练1如图是函数f(x)的图像，它与x轴有4个不同的交点给出下列四个区间，不能用二分法求出函数f(x)的零点近似值的是()A(2.1，1) B(1.9，2.3)C(4.1，5) D(5，6.1)解析：选B只有B中的区间所含零点是不变号零点2求函数f(x)x25的负零点(精确度为0.1)解：由于f(2)10，故取区间(3，2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(3，2)2.51.25(2.5，2)2.250.062 5(2.25，2)2.12
14、50.484 4(2.25，2.125)2.187 50.214 8(2.25，2.187 5)2.218 750.077 1由于|2.25(2.187 5)|0.062 50，则不存在实数c(a，b)，使得f(c)0B若f(a)f(b)0，则有可能存在实数c(a，b)，使得f(c)0D若f(a)f(b)0，但f(0)0，故A错误；对于函数f(x)x3x，f(2)f(2)0，但f(0)f(1)f(1)0，故B错误；函数f(x)x2满足C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误2已知函数f(x)的图像是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：x123456f(x)15107645则函数f(x)在
15、区间1，6上的零点至少有()A2个B3个C4个 D5个解析：选B由题表可知f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0.又f(x)的图像为连续不断的曲线，故f(x)在区间1，6上至少有3个零点3下列关于二分法的叙述，正确的是()A用二分法可以求所有函数零点的近似值B用二分法求方程近似解时，可以精确到小数点后任一数字C二分法无规律可循，无法在计算机上进行D二分法只用于求方程的近似解解析：选B根据“二分法”求函数零点的方法要求，用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后任一数字，故选B.4用二分法求函数f(x)在区间(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结果计算的条件是()A|ab|0.1 B|ab|0.001 D|ab|0.001解析：选B由二分法求近似值的步骤(4)，其精确度为0.001，应满足的条件为|ab|0.001，故选B.