1、9.2两直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|.(2)点P0(x0，y0)到直线
2、l：AxByC0的距离d.(3)两条平行线AxByC10与AxByC20(其中C1C2)间的距离d.知识拓展1一般地，与直线AxByC0平行的直线方程可设为AxBym0；与之垂直的直线方程可设为BxAyn0.2过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0 (R)，但不包括l2.3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时
3、，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A1、B1、C1、A2、B2、C2为常数)，若直线l1l2，则A1A2B1B20.()(4)点P(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点A，B关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线AB的斜率等于，且线段AB的中点在直线l上()1过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y10答案A解析所求直线与直线x2
4、y20平行，所求直线的斜率为，又直线过(1,0)点，则直线方程为x2y10.2已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()A. B2C.1 D.1答案C解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()A7 B1C1或7 D.答案A解析l1的斜率为，纵截距为，l2的斜率为，纵截距为.又l1l2，由得，m28m70，得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故不符合题意；m7时，4，符合题意4已知直线l1与l2：xy10平行，且l1与l2的距离是，则直线l1的方程为_答案xy10或xy30解析设l1
5、的方程为xyc0，则.|c1|2，即c1或c3.直线l1的方程为xy10或xy30.题型一两条直线的平行与垂直例1已知两条直线l1：axby40和l2：(a1)xyb0，求满足下列条件的a，b的值(1)l1l2，且l1过点(3，1)；(2)l1l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等思维点拨本题考查两直线平行或垂直成立的充要条件，解题易错点在于忽略斜率不存在的情况解(1)方法一由已知可得l2的斜率存在，k21a.若k20，则1a0，a1.l1l2，直线l1的斜率k1必不存在，即b0.又l1过点(3，1)，3a40，即a(矛盾)此种情况不存在，k20.即k1，k2都存在，k21a，k1，l1l2，
6、k1k21，即(1a)1.又l1过点(3，1)，3ab40.由联立，解得a2，b2.方法二由于l1l2，所以a(a1)(b)10.即ba2a.又因为l1过点(3，1)所以3ab40.联立可得经验证，符合题意故a2，b2.(2)l2的斜率存在，l1l2，直线l1的斜率存在，k1k2，即1a.又坐标原点到这两条直线的距离相等，且l1l2，l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即b.联立，解得或a2，b2或a，b2.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可
7、直接利用直线方程的系数间的关系得出结论已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kZ，此时两直线的斜率相等故当k，kZ时，l1l2.方法二由A1B2A2B10，得2sin210，所以sin .所以k，kZ.又B1C2B2C10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kZ时，l1l2.(2)因为A1A2B1B20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0
8、，即sin 0，所以k，kZ.故当k，kZ时，l1l2.题型二两直线相交例2求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程思维点拨可先求出l1与l2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解解方法一先解方程组得l1，l2的交点坐标为(1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率为，于是由直线的点斜式方程求出l：y2(x1)，即5x3y10.方法二由于ll3，故l是直线系5x3yC0中的一条，而l过l1，l2的交点(1,2)，故5(1)32C0，由此求出C1，故l的方程为5x3y10.方法三由于l过l1，l2的交点，故l是直线系3x2y1(5x2y1
9、)0中的一条，将其整理，得(35)x(22)y(1)0.其斜率为，解得，代入直线系方程得l的方程为5x3y10.思维升华(1)两直线交点的求法求两直线的交点坐标，就是解由两直线方程组成的方程组，以方程组的解为坐标的点即为交点(2)常见的三大直线系方程与直线AxByC0平行的直线系方程是AxBym0(mR且mC)与直线AxByC0垂直的直线系方程是BxAym0(mR)过直线l1：A1xB1yC10与l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R)，但不包括l2.如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在
10、直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.题型三距离公式的应用例3正方形的中心为点C(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程思维点拨中心C到各边的距离相等解点C到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点C到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线
11、的方程是3xyn0，则点C到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.思维升华正方形的四条边两两平行和垂直，设平行直线系和垂直直线系可以较方便地解决，解题时要结合图形进行有效取舍本题的解法可以推广到求平行四边形和矩形各边所在直线的方程运用点到直线的距离公式时，需把直线方程化为一般式；运用两平行线的距离公式时，需先把两平行线方程中x，y的系数化为相同的形式已知点P(2，1)(1)求过P点且与原点距离为2的直线l的方程；(2)求过P点且与原点距离最大的直线l的方程，并求出最大距离(3)是否存在过P点且与原点距离为6的直线？若存在，
12、求出方程；若不存在，请说明理由解(1)过P点的直线l与原点距离为2，而P点坐标为(2，1)，可见，过P(2，1)垂直于x轴的直线满足条件此时l的斜率不存在，其方程为x2.若斜率存在，设l的方程为y1k(x2)，即kxy2k10.由已知，得2，解之得k.此时l的方程为3x4y100.综上，可得直线l的方程为x2或3x4y100.(2)作图可证过P点与原点O距离最大的直线是过P点且与PO垂直的直线，由lOP，得klkOP1.所以kl2.由直线方程的点斜式得y12(x2)，即2xy50，即直线2xy50是过P点且与原点O距离最大的直线，最大距离为.(3)由(2)可知，过P点不存在到原点距离超过的直线
13、，因此不存在过P点且与原点距离为6的直线题型四对称问题例4已知直线l：2x3y10，点A(1，2)求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)直线l关于点A(1，2)对称的直线l的方程思维点拨解决对称问题，不管是轴对称还是中心对称，一般都要转化为点之间的对称问题解(1)设A(x，y)，再由已知解得A(，)(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点必在m上设对称点为M(a，b)，则解得M(，)设m与l的交点为N，则由得N(4,3)又m经过点N(4,3)，由两点式得直线方程为9x46y1020.(3)设P(x
14、，y)为l上任意一点，则P(x，y)关于点A(1，2)的对称点为P(2x，4y)，P在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.思维升华(1)解决点关于直线对称问题要把握两点，点M与点N关于直线l对称，则线段MN的中点在直线l上，直线l与直线MN垂直(2)如果是直线或点关于点成中心对称问题，则只需运用中点公式就可解决问题(3)若直线l1、l2关于直线l对称，则有如下性质：若直线l1与l2相交，则交点在直线l上；若点B在直线l1上，则其关于直线l的对称点B在直线l2上(2013湖南)在等腰直角三角形ABC中，ABAC4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA发射后
15、又回到原点P(如图)若光线QR经过ABC的重心，则AP等于()A2 B1C. D.答案D解析建立如图所示的坐标系：可得B(4,0)，C(0,4)，故直线BC的方程为xy4，ABC的重心为，设P(a,0)，其中0a4，则点P关于直线BC的对称点P1(x，y)，满足解得即P1(4,4a)，易得P关于y轴的对称点P2(a,0)，由光的反射原理可知P1，Q，R，P2四点共线，直线QR的斜率为k，故直线QR的方程为y(xa)，由于直线QR过ABC的重心(，)，代入化简可得3a24a0，解得a，或a0(舍去)，故P，故AP.妙用直线系求直线方程一、平行直线系由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存
16、在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系典例1：求与直线3x4y10平行且过点(1,2)的直线l的方程思维点拨因为所求直线与3x4y10平行，因此，可设该直线方程为3x4yc0 (c1)规范解答解依题意，设所求直线方程为3x4yc0 (c1)，又因为直线过点(1,2)，所以3142c0，解得c11.因此，所求直线方程为3x4y110.温馨提醒与直线AxByC0平行的直线系方程为AxByC10 (C1C)，再由其他条件求C1.二、垂直直线系由于直线A1xB1yC10与A2xB2yC20垂直的充要条件为A1A2B1B20.因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系可以考虑
17、用直线系方程求解典例2：求经过A(2,1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程思维点拨依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解规范解答解因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yC10，又直线过点(2,1)，所以有221C10，解得C10，即所求直线方程为x2y0.温馨提醒与直线AxByC0垂直的直线系方程为BxAyC10，再由其他条件求出C1.三、过直线交点的直线系典例3：求经过两直线l1：x2y40和l2：xy20的交点P，且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程思维点拨可分别求出直线l1与l2的交点及直线l的斜率k，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系
18、方程设直线方程，再用待定系数法求解规范解答解方法一解方程组得P(0,2)因为l3的斜率为，且ll3，所以直线l的斜率为，由斜截式可知l的方程为yx2，即4x3y60.方法二设直线l的方程为x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420.又ll3，3(1)(4)(2)0，解得11.直线l的方程为4x3y60.温馨提醒本题法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直关系求出斜率，由于交点在y轴上，故采用斜截式求解；法二则采用了过两直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件用待定系数法求
19、解.方法与技巧1两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合对于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2，l1l2k1k2；l1l2k1k21.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率一定要特别注意2对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称利用坐标转移法失误与防范1在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率，要单独考虑2在运用两平行直线间的距离公式d时，一定要注意将两方程中x，y的系数化为相同的形式.A组专项基础训练(时间：45分钟)1已知两条直线l1：xy10，l2：3xay20且l1l2，则a等于()A B.C3 D3答
20、案C解析由l1l2，可得131a0，a3.2从点(2,3)射出的光线沿与向量a(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为()Ax2y40 B2xy10Cx6y160 D6xy80答案A解析由直线与向量a(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k，所以直线的方程为y3(x2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(2,3)，所以反射光线过点(2,3)与(0,2)，由两点式知A正确3若A(3，4)，B(6,3)两点到直线l：axy10的距离相等，则a等于()A B.C D或答案D解析依题意，解得a或a.4已知直线3x4y30与直线6xmy140平行，
21、则它们之间的距离是()A0 B2 C. D4答案B解析，m8，直线6xmy140.可化为3x4y70，两平行线之间的距离d2.5.如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A2 B6C3 D2答案A解析由题意知点P关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(2,0)，则光线所经过的路程PMN的长为|CD|2.6与直线l1：3x2y60和直线l2：6x4y30等距离的直线方程是_答案12x8y150解析l2：6x4y30化为3x2y0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等
22、距离的直线l的方程为3x2yc0，则：|c6|c|，解得c，所以l的方程为12x8y150.7已知点A(1,1)，B(2，2)，若直线l：xmym0与线段AB相交(包含端点的情况)，则实数m的取值范围是_答案2，)解析直线l：xmym0可化为xm(y1)0，所以直线恒过定点P(0，1)点A(1,1)，B(2，2)，kPA2，kPB，直线l：xmym0与线段AB相交(包含端点的情况)，2或，m或m2(经验证m0也符合题意)实数m的取值范围是2，)8将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则mn_.答案解析由题意可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4
23、,0)连线的中垂线，即直线y2x3，它也是点(7,3)与点(m，n)连线的中垂线，于是解得故mn.9若直线l过点A(1，1)与已知直线l1：2xy60相交于B点，且|AB|5，求直线l的方程解过点A(1，1)与y轴平行的直线为x1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|5，即x1为所求设过A(1，1)且与y轴不平行的直线为y1k(x1)，解方程组得两直线交点为(k2，否则与已知直线平行)则B点坐标为(，)由已知(1)2(1)252，解得k，y1(x1)，即3x4y10.综上可知，所求直线的方程为x1或3x4y10.10已知ABC的顶点A(5,1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2xy
24、50，AC边上的高BH所在直线方程为x2y50，求直线BC的方程解依题意知：kAC2，A(5,1)，lAC为2xy110，联立lAC、lCM得C(4,3)设B(x0，y0)，AB的中点M为(，)，代入2xy50，得2x0y010，B(1，3)，kBC，直线BC的方程为y3(x4)，即6x5y90.B组专项能力提升(时间：15分钟)11(2013天津)已知过点P(2,2)的直线与圆(x1)2y25相切，且与直线axy10垂直，则a等于()A B1 C2 D.答案C解析圆心为O(1,0)，由于P(2,2)在圆(x1)2y25上，P为切点，OP与P点处的切线垂直kOP2，又点P处的切线与直线axy1
25、0垂直akOP2，选C.12(2014四川)设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的取值范围是()A，2 B，2C，4 D2，4答案B解析由动直线xmy0知定点A的坐标为(0,0)，由动直线mxym30知定点B的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P在以AB为直径的圆上运动故当点P与点A或点B重合时，|PA|PB|取得最小值，(|PA|PB|)min|AB|.当点P与点A或点B不重合时，在RtPAB中，有|PA|2|PB|2|AB|210.因为|PA|2|PB|22|PA|PB|，所以2(|PA|2|PB|2)(|PA|PB|)2
26、，当且仅当|PA|PB|时取等号，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|2，所以|PA|PB|的取值范围是，213.如图，已知直线l1l2，点A是l1，l2之间的定点，点A到l1，l2之间的距离分别为3和2，点B是l2上的一动点，作ACAB，且AC与l1交于点C，则ABC的面积的最小值为_答案6解析以A为坐标原点，平行于l1的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，设B(a，2)，C(b,3)ACAB，ab60，ab6，b.RtABC的面积S 6.14点P(2,1)到直线l：mxy30(mR)的最大距离是_答案2解析直线l经过定点Q(0，3)，如图所示由图知，当PQl时，点P(2,1)到直线l的距离取得最大值|PQ|2，所以点P(2,1)到直线l的最大距离为2.15(2013四川)在平面直角坐标系内，到点A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，1)的距离之和最小的点的坐标是_答案(2,4)解析设平面上任一点M，因为|MA|MC|AC|，当且仅当A，M，C共线时取等号，同理|MB|MD|BD|，当且仅当B，M，D共线时取等号，连接AC，BD交于一点M，若|MA|MC|MB|MD|最小，则点M为所求又kAC2，直线AC的方程为y22(x1)，即2xy0.又kBD1，直线BD的方程为y5(x1)，即xy60.由得M(2,4)