1、学案 49 圆的方程导学目标：1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫圆2确定一个圆最基本的要素是_和_3圆的标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)，其中_为圆心，_为半径4圆的一般方程x2 y2 Dx Ey F 0 表示圆 的充要 条件是 _，其中 圆心 为_，半径 r_.5确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)_；(2)_；(3)_6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点 M(x0，y0)，(1)点在
2、圆上：(x0a)2(y0b)2_r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2_r2.自我检测1方程 x2y24mx2y5m0 表示圆的条件是()A.14m1Cm14Dm12(2011南平调研)圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1,2)的圆的方程是()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21Dx2(y3)213点 P(2，1)为圆(x1)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是()Axy30B2xy30Cxy10D2xy504已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10 外，则 a 的取值范围是_5(2
3、011安庆月考)过圆 x2y24 外一点 P(4,2)作圆的切线，切点为 A、B，则APB 的外接圆方程为_探究点一 求圆的方程例 1 求经过点 A(2，4)，且与直线 l：x3y260 相切于点 B(8,6)的圆的方程变式迁移 1 根据下列条件，求圆的方程(1)与圆 O：x2y24 相外切于点 P(1，3)，且半径为 4 的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线 3x4y150 分成 12 两部分的圆的方程探究点二 圆的几何性质的应用例 2 (2011滁州模拟)已知圆 x2y2x6ym0 和直线 x2y30 交于 P，Q 两点，且 OPOQ(O 为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径变式迁移
4、2 如图，已知圆心坐标为(3，1)的圆 M 与 x 轴及直线 y 3x 分别相切于 A、B 两点，另一圆 N 与圆 M 外切且与 x 轴及直线 y 3x 分别相切于 C、D 两点(1)求圆 M 和圆 N 的方程；(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l，求直线 l 被圆 N 截得的弦的长度探究点三 与圆有关的最值问题例 3 已知实数 x、y 满足方程 x2y24x10.(1)求 yx 的最大值和最小值；(2)求 x2y2 的最大值和最小值变式迁移 3 如果实数 x，y 满足方程(x3)2(y3)26，求yx的最大值与最小值1求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间
5、的关系计算可大大简化计算的过程与难度2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离 d 与圆半径 r 的关系dr 时，点在圆外3本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想(满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1(2011重庆)在圆 x2y22x6y0 内，过点 E(0,1)的最长弦和最短弦分别为 AC 和 BD，则四边形 ABCD 的面积为()A5 2B10 2C15 2D20 22(2011合肥期末)方程 x2y2ax2ay2a2a10 表示圆，则 a 的取值范围是()Aa23B23a0C2a0 D2a0 D2，E2 D2
6、E24F25(1)根据题意，选择标准方程或一般方程(2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D、E、F的方程组(3)解出 a、b、r 或 D、E、F，代入标准方程或一般方程 6.(1)(2)(3)0，圆心坐标为12，3，半径 r52.方法二 如图所示，设弦 PQ 中点为 M，O1MPQ，kO1M2.又圆心坐标为12，3，O1M 的方程为 y32x12，即 y2x4.由方程组y2x4，x2y30，解得 M 的坐标为(1,2)则以 PQ 为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点 O 在以 PQ 为直径的圆上(01)2(02)2r2，即 r25，MQ2r2.在 RtO1MQ 中，O1M2
7、MQ2O1Q2.121 2(32)251624m4.m3.半径为52，圆心为12，3.变式迁移 2 解(1)M 的坐标为(3，1)，M 到 x 轴的距离为 1，即圆 M 的半径为 1，则圆 M 的方程为(x 3)2(y1)21.设圆 N 的半径为 r，连接 MA，NC，OM，则 MAx 轴，NCx 轴，由题意知：M，N 点都在COD 的平分线上，O，M，N 三点共线由 RtOAMRtOCN 可知，|OM|ON|MA|NC|，即 23r1rr3，则 OC3 3，则圆 N 的方程为(x3 3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过 A 点与 MN 平行的直线被圆 N 截得的弦的长度，
8、此弦的方程是 y 33(x 3)，即 x 3y 30，圆心 N 到该直线的距离 d 32，则弦长为 2 r2d2 33.例 3 解题导引 与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如 ybxa形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 taxby 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如(xa)2(yb)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题解(1)yx 可看作是直线 yxb 在 y 轴上的截距，当直线 yxb 与圆相切时，纵截距 b 取得最大值或最小值，此时|20b|2 3，解得 b2 6.所以 yx 的最大值为2 6，最小值为2
9、6.(2)x2y2 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为 2020022，所以 x2y2 的最大值是(2 3)274 3，x2y2 的最小值是(2 3)274 3.变式迁移 3 解 设 P(x，y)，则 P 点的轨迹就是已知圆 C：(x3)2(y3)26.而yx的几何意义就是直线 OP 的斜率，设yxk，则直线 OP 的方程为 ykx.当直线 OP 与圆相切时，斜率取最值因为点 C 到直线 ykx 的距离 d|3k3|k21，所以当|3k3|k21 6，即 k32 2时，直线 OP 与圆相切即yx的最大值为 3
10、2 2，最小值为 32 2.课后练习区1B 圆的方程化为标准形式为(x1)2(y3)210，由圆的性质可知最长弦|AC|2 10，最短弦 BD 恰以 E(0,1)为中心，设点 F 为其圆心，坐标为(1,3)故 EF 5，BD210 522 5，S 四边形 ABCD12ACBD10 2.2D 3.A 4.B 5.A6(x1)2y22 7.(x2)2(y1)22 8.09解(1)AB 的中垂线方程为 3x2y150，由3x2y150，3x10y90，解得x7，y3.(3 分)圆心为 C(7，3)又|CB|65，故所求圆的方程为(x7)2(y3)265.(6 分)(2)设 圆 的 方 程 为 x2
11、y2 Dx Ey F 0，将 P、Q 点 的 坐 标 分 别 代 入 得2D4EF20，3DEF10.(8 分)又令 y0，得 x2DxF0，由|x1x2|6 有 D24F36.由解得 D2，E4，F8 或 D6，E8，F0.故所求圆的方程为 x2y22x4y80，或 x2y26x8y0.(12 分)10解(1)设 txy，则 yxt，t 可视为直线 yxt 的纵截距，所以 xy 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时的纵截距由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|23t|21，解得 t 21 或 t 21，所以 xy 的最大值为 21，最小
12、值为 21.(4 分)(2)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是过原点的直线与该圆有公共点时斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率设过原点的直线方程为 ykx，由直线与圆相切，得圆心到直线的距离等于半径，即|2k3|1k2 1，解得 k22 33 或 k22 33，所以yx的最大值为22 33，最小值为22 33.(8 分)(3)x2y22x4y5，即x12y22，其最值可视为点(x，y)到定点(1,2)的距离的最值，可转化为圆心(2，3)到定点(1,2)的距离与半径的和或差又因为圆心到定点(1,2)的距离为 34，所以 x2y22x4y5的最大值为 341，
13、最小值为 341.(12 分)11解 建立如图所示的坐标系，设该圆拱所在圆的方程为 x2y2DxEyF0，由于圆心在 y 轴上，所以 D0，那么方程即为 x2y2EyF0.(3 分)下面用待定系数法来确定 E、F 的值因为 P、B 都在圆上，所以它们的坐标(0,4)、(10,0)都是这个圆的方程的解，于是有方程组424EF0，102F0，(7 分)解得 F100，E21.这个圆的方程是 x2y221y1000.(10 分)把点 P2 的横坐标 x2 代入这个圆的方程，得(2)2y221y1000，y221y960.P2 的纵坐标 y0，故应取正值，y21 21249623.86(米)所以支柱 A2P2 的高度约为 3.86 米(14 分)
