1、第7讲解三角形应用举例考纲解读1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题(重点)2利用正、余弦定理解决实际问题，主要考查根据实际问题建立三角函数模型，将实际问题转化为数学问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个考查内容预计2021年会强化对应用问题的考查以与三角形有关的应用问题为主要命题方向，结合正、余弦定理求解平面几何中的基本量，实际背景中求距离、高度、角度等均可作为命题角度试题可以为客观题也可以是解答题，难度以中档为主.对应学生用书P0821.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如
2、图)2方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为(如图)3方向角相对于某一正方向的水平角(1)北偏东，即由指北方向顺时针旋转到达目标方向(如图)(2)北偏西，即由指北方向逆时针旋转到达目标方向(3)南偏西等其他方向角类似4坡角与坡度(1)坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图，角为坡角)(2)坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图，i为坡度)坡度又称为坡比1概念辨析(1)东北方向就是北偏东45的方向()(2)从A处望B处的仰角为，从B处望A处的俯角为，则，的关系为180.()(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系()(4)方位角大小的
3、范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4)2小题热身(1)在某测量中，设A在B的南偏东3427，则B在A的()A北偏西3427 B北偏东5533C北偏西5533 D南偏西3427答案A解析由方向角的概念知，B在A的北偏西3427.(2)已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得ABC120，则A，C两地间的距离为()A10 km B10 kmC10 km D10 km答案D解析由余弦定理可得，AC2AB2CB22ABCBcos12010220221020700.AC10(km)(3)如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在
4、的同侧河岸边选定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，就可以计算出A，B两点的距离为_ m.答案50解析在ABC中，ACB45，CAB105，所以ABC1804510530，又因为AC50 m，所以由正弦定理得AB50(m)(4)如图，从无人机A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时无人机的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于_ m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)答案60解析由图可知，AB，在ABC中，由正弦定理可知，所以BC60(m)对应学生用书P
5、083题型 一测量距离问题1一艘船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为()A15 km B30 kmC45 km D60 km答案B解析作出示意图如图所示，依题意有AB15460，DAC60，CBM15，MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30.2(2019宁德模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD
6、80，ADB135，BDCDCA15，ACB120，则A，B两点的距离为_答案80解析由已知，在ACD中，ACD15，ADC150，所以DAC15，由正弦定理，得AC40()，在BCD中，BDC15，BCD135，所以DBC30，由正弦定理，得BC160sin1540()；在ABC中，由余弦定理，AB2AC2BC22ACBCcosACB1600(84)1600(84)21600()()1600161600432000，解得AB80，则A，B两点的距离为80.(1)测量距离问题，无论题型如何变化，即两点的情况如何变化，实质都是要求这两点间的距离，无非就是两点所在三角形及其构成元素的所知情况不同而
7、已，恰当地画出(找出)适合解决问题的三角形是解题的基础，将已知线段长度和角度转化为要解的三角形的边长和角是解题的关键(2)求距离问题的两个策略选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理 如图，在海岸线上相距2千米的A，C两地分别测得小岛B在A的北偏西方向，在C的北偏西方向，且cos，则B，C之间的距离是()A30千米 B30千米C12千米 D12千米答案D解析由题意，得AC2，sinAsincos，sinBsincos22cos21，在ABC中，由正弦
8、定理得BC12，则B与C的距离是12千米题型 二测量高度问题1(2019长沙一中模拟)如图，在路边安装路灯，路宽为OD，灯柱OB高为10 m，灯杆AB长为1 m，且灯杆与灯柱成120角，路灯采用圆锥形灯罩，其轴截面的顶角为2，灯罩轴线AC与灯杆AB垂直若灯罩截面的两条母线所在直线中的一条恰好经过点O，另一条与地面的交点为E.则该路灯照在路面上的宽度OE的长是_ m.答案解析在AOB中，由余弦定理可得OA m，由正弦定理得sinBAO，因为BAO，所以cossinBAO，sin，则sin22sincos.易知ACO60，则sinAEOsin(60)，在AOE中，由正弦定理可得OE m.2如图，小
9、明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_ m/s(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.答案22.6解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v.在RtADB中，AB200.在RtADC中，AC100.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，
10、所以v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.求解高度问题的注意事项(1)理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)等的定义(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错如举例说明2.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题 1如图，在离地面高400 m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15，山脚A处的俯角为45，已知BAC60，则山的高度BC为()A700 m B640 m C600 m D560 m答案C解析在RtAMD中，AM
11、400(m)，在MAC中，AMC451560，MAC180456075，MCA180AMCMAC45，由正弦定理得AC400(m)在RtABC中，BCACsinBAC400600(m)2如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点从A点测得M点的仰角MAN60，C点的仰角CAB45以及MAC75；从C点测得MCA60.已知山高BC100 m，则山高MN_ m.答案150解析在ABC中，AC100，在MAC中，解得MA100，在MNA中，sin60，故MN150，即山高MN为150 m.题型 三测量角度问题 1在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为，沿BE方向前进30 m，至
12、点C处测得顶端A的仰角为2，再继续前进10 m至D点，测得顶端A的仰角为4，则的大小为_答案15解析在ACD中，ACBC30，ADCD10，ADC1804，由正弦定理得，所以，cos2，所以230，15.2在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度沿北偏东45方向拦截蓝方的小艇若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角的正弦值解如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处拦截住蓝方的小艇，则AC14x，BC10x，ABC120.
13、根据余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos120，解得x2.故AC28，BC20.根据正弦定理得，解得sin.所以红方侦察艇所需的时间为2小时，角的正弦值为.解决测量角度问题的注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点 如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30、相距20海里的
14、C处的乙船，现乙船朝北偏东的方向沿直线CB前往B处救援，则cos等于()A. B.C. D.答案B解析在ABC中，AB40，AC20，BAC120，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos1202800，所以BC20.由正弦定理得sinACBsinBAC.由BAC120知ACB为锐角，故cosACB，故coscos(ACB30)cosACBcos30sinACBsin30.对应学生用书P285组基础关1如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C(ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)，然后给出了三种测量方案：测量A，C，b；测量a，b，
15、C；测量A，B，a.则一定能确定A，B间的距离的所有方案的序号为()A B C D答案D解析知两角一边可用正弦定理解三角形，故方案可以确定A，B间的距离，知两边及其夹角可用余弦定理解三角形，故方案可以确定A，B间的距离2如图所示，一座建筑物AB的高为(3010) m，在该建筑物的正东方向有一座通信塔CD.在它们之间的地面上的点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是15和60，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30，则通信塔CD的高为()A30 m B60 mC30 m D40 m答案B解析在RtABM中，AM20(m)过点A作ANCD于点N，如图所示易知MANAMB15，所以MAC
16、301545.又AMC1801560105，所以ACM30.在AMC中，由正弦定理得，解得MC40(m)在RtCMD中，CD40sin6060(m)，故通信塔CD的高为60 m.3如图，两座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分别为20 m,50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于()A30 B45 C60 D75答案B解析依题意可得AD20 m，AC30 m，又CD50 m，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.4如图所示，一艘海轮从A处出发，测得灯塔在海轮的北偏东15方向，与海轮相
17、距20 n mile的B处，海轮按北偏西60的方向航行了30 min后到达C处，又测得灯塔在海轮的北偏东75的方向上，则海轮的速度为()A. n mile/min B. n mile/minC3 n mile/min D10 n mile/min答案A解析由已知得ACB45，B60，由正弦定理得，所以AC10，所以海轮航行的速度为(n mile/min)5如图，测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得BCD15，BDC30，CD30，并在点C处测得塔顶A的仰角为60，则塔高AB等于()A5 B15 C5 D15答案D解析在BCD中，CBD1801530135.由
18、正弦定理得，所以BC15.在RtABC中，ABBCtanACB1515.6线段AB外有一点C，ABC60，AB200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则运动开始_ h后，两车的距离最小答案解析如图所示，设t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD80t，BE50t.因为AB200，所以BD20080t，问题就是求DE最小时t的值由余弦定理得DE2BD2BE22BDBEcos60(20080t)22500t2(20080t)50t12900t242000t40000.当t时DE最小组能力关1如图，为了测量某湿地A，B两点间的
19、距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E.从D点测得ADC67.5，从C点测得ACD45，BCE75，从E点测得BEC60.若测得DC2，CE(单位：百米)，则A，B两点的距离为()A. B2 C3 D2答案C解析根据题意，在ADC中，ACD45，ADC67.5，DC2，则DAC1804567.567.5，则ACDC2，在BCE中，BCE75，BEC60，CE，则EBC180756045，则有，变形可得BC，在ABC中，AC2，BC，ACB180ACDBCE60，则AB2AC2BC22ACBCcosACB9，则AB3.2(2019惠州调研)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为
20、25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos_.答案1解析由DAC15，DBC45，可得DBA135，ADB30.在ABD中，根据正弦定理可得，即，所以BD100sin15100sin(4530)25()在BCD中，由正弦定理得，即，解得sinBCD1.所以coscos(BCD90)sinBCD1.3(2019福州综合质量检测)在距离塔底分别为80 m,160 m,240 m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为，.若90，则塔高为_ m.答案80解析设塔高为h m，依
21、题意得，tan，tan，tan.因为90，所以tan()tantan(90)tan1，所以tan1，所以1，解得h80，所以塔高为80 m.4已知在东西方向上有M，N两座小山，山顶各有一座发射塔A，B，塔顶A，B的海拔高度分别为AM100 m和BN200 m，一测量车在小山M的正南方向的点P处测得发射塔顶A的仰角为30，该测量车向北偏西60方向行驶了100 m后到达点Q，在点Q处测得发射塔顶B处的仰角为，且BQA，经测量tan2，求两发射塔顶A，B之间的距离解在RtAMP中，APM30，AM100，PM100.连接QM，在PQM中，QPM60，PQ100，PQM为等边三角形，QM100.在RtAMQ中，由AQ2AM2QM2，得AQ200.在RtBNQ中，tan2，BN200，NQ100，BQ100，cos.在BQA中，BA2BQ2AQ22BQAQcos(100)2，BA100.即两发射塔顶A，B之间的距离是100 m.