1、明目标、知重点 1.进一步熟练掌握正、余弦定理在解各类三角形中的应用.2.提高对正、余弦定理应用范围的认识.3.初步应用正、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题1三角形内角的三角函数关系在ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、B、C，则有(1)sin(AB)sin_C，cos(AB)cos_C，tan(AB)tan_C，(2)sin AB2cos C2，cos AB2sin C2.2正弦定理及其变形(1)asin A bsin B csin C2R.(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C.3余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos_A，cos Ab
2、2c2a22bc.(2)在ABC 中，c2a2b2C 为直角，c2a2b2C 为钝角；c2a2b2C 为锐角题型一 利用正、余弦定理解三角形例 1 在ABC 中，若 ccos Bbcos C，且 cos A23，求 sin B 的值解 由 ccos Bbcos C，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故 sin(BC)0，易知 BC，故 bc.因为 cos A23，所以由余弦定理得 3a22b2，再由余弦定理得 cos B 66，故 sin B 306.反思与感悟 正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择跟踪训练 1 在ABC 中，已知 b2ac
3、，且 a2c2acbc.(1)求 A 的大小；(2)求bsin Bc的值解(1)由题意知，b2accos Ab2c2a22bcacbcac2bc12，A(0，)，A3.(2)由 b2ac，得bcab，bsin Bcsin Babsin Bsin Asin Bsin A 32.题型二 正、余弦定理与三角变换的综合应用例 2 在ABC 中，a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边，4sin2 BC2cos 2A72.(1)求 A 的度数(2)若 a 3，bc3，求 b 和 c 的值解(1)由 4sin2 BC2cos 2A72及 ABC180，得 21cos(BC)2cos2 A172，4(1co
4、s A)4cos2 A5，即 4cos2A4cos A10，(2cos A1)20，解得 cos A12.0A180，A60.(2)由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc.cos A12，b2c2a22bc12，化简并整理，得(bc)2a23bc，将 a 3，bc3 代入上式，得 bc2.则由bc3，bc2，解得b1，c2或b2，c1.反思与感悟 本题解题关键是通过三角恒等变换借助于 ABC180，求出 A，并利用余弦定理列出关于 b、c 的方程组跟踪训练 2 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，且 a2c2b265ac.求 2sin2AC2sin 2B 的值解 由
5、已知得a2c2b22ac35，所以 cos B35，sin B 1cos2B45，所以 2sin2AC2sin 2B2cos2B2sin 2B1cos B2sin Bcos B135245356425.题型三 正、余弦定理与平面向量的综合应用例 3 在ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，cos B35，且ABBC21.(1)求ABC 的面积；(2)若 a7，求角 C.解(1)ABBC21，BABC21.BABC|BA|BC|cos Baccos B21.ac35，cos B35，sin B45.SABC12acsin B12354514.(2)ac35，a7，c5.由余弦定理
6、 b2a2c22accos B32，b4 2.由正弦定理 csin C bsin B.sin Ccbsin B 54 245 22.cb 且 B 为锐角，C 一定是锐角C45.反思与感悟 这是一道向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的“伪装”，找到三角形的边角关系跟踪训练 3 已知ABC 的三内角 A，B，C 所对边长分别是 a，b，c，设向量 m(ab，sinC)，n(3ac，sin Bsin A)，若 mn，则角 B 的大小为_答案 150解析 mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(3ac)0，由正弦定理有(ab)(ba)c(3ac)，即 a2c2b2 3ac，再由
7、余弦定理，得 cos B 32，B150.1在锐角ABC 中，角 A，B 所对的边长分别为 a，b，若 2asin B 3b，则 A_.答案 3解析 在ABC 中，利用正弦定理得2sin Asin B 3sin B，sin A 32.又 A 为锐角，A3.2在ABC 中，若 c2acos B，则ABC 的形状是_三角形答案 等腰解析 c2acos B，由正弦定理得 2cos Bsin Asin Csin(AB)，sin Acos Bcos Asin B0，即 sin(AB)0，AB.3在ABC 中，AB3，AC2，BC 10，则BAAC_.答案 32解析 由余弦定理得cos AAB2AC2BC
8、22ABAC94101214.ABAC|AB|AC|cos A321432.BAACABAC32.4在ABC 中，cos B12，b2ac0，则ABC 的形状为_三角形答案 等边解析 cos B12，B60.b2a2c22accos Ba2c2acac，a2c22ac0，(ac)20.ac.ABC 为等边三角形呈重点、现规律1判断三角形的形状是看该三角形是否为某些特殊的三角形(如锐角、直角、钝角、等腰、等边三角形等)2对于给出条件是边角关系混合在一起的问题，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系再利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法
9、等进行转化、化简，从而得出结论3解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正、余弦定理求解一、基础过关1在钝角ABC 中，a1，b2，则最大边 c 的取值范围是_答案 5c3解析 由 cos Ca2b2c22aba2b25.c 5，又 cab，5c3.2在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a2b2 3bc，sin C2 3sin B，则 A_.答案 30解析 sin C2 3sin B，c2 3b，cos Ab2c2a22bc 3bcc22b
10、c 3bc2 3bc2bc 32，A 为ABC 的内角，A30.3设ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为_三角形答案 直角解析 由 bcos Cccos Basin A，得 sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，即 sin(BC)sin2A，所以 sin A1，由 0A，得 A2，所以ABC 为直角三角形4在ABC 中，若 a7，b8，cos C1314，则最大角的余弦值是_答案 17解析 c2a2b22abcos C9，c3，B 为最大角，cos Ba2c2b22ac49964273 17.5在ABC
11、 中，cos2B2ac2c，则ABC 的形状是_三角形答案 直角解析 cos2B2ac2c，cos B12ac2c，cos Bac，a2c2b22acac，a2c2b22a2，即 a2b2c2，ABC 为直角三角形6已知锐角三角形的三边长分别为 2,3，x，则 x 的取值范围是_答案(5，13)解析 x 满足：1x022x2320，解得 5xb，则 B 的度数为_答案 6解析 由条件得absin Bcos Ccbsin Bcos A12，依正弦定理，得 sin Acos Csin Ccos A12，sin(AC)12，从而 sin B12，又 ab，且 B(0，)，因此 B6.9在ABC 中，
12、ABC4，AB 2，BC3，则 sin BAC_.答案 3 1010解析 在ABC 中，由余弦定理得AC2BA2BC22BABCcosABC(2)2322 23cos 45.AC 5，由正弦定理BCsin BACACsin ABC得sinBACBCsinABCAC3sin 453 225 3 1010.10在ABC 中，若 lg alg clg sin Alg 2，并且 A 为锐角，则ABC 的形状为_三角形答案 等腰直角解析 lg alg clg sin Alg 2，acsin A 22，A 为锐角，A45，sin Ccasin A 2sin 451，又0C180，C90.11在ABC 中，
13、内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知cos A2cos Ccos B2cab.(1)求sin Csin A的值；(2)若 cos B14，ABC 的周长为 5，求 b 的长解(1)由正弦定理，可设 asin A bsin B csin Ck，则2cab2ksin Cksin Aksin B2sin Csin Asin B，所以cos A2cos Ccos B2sin Csin Asin B，即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得 sin(AB)2sin(BC)又 ABC，所以 sin C2sin A因此sin Csin A2.(2)由s
14、in Csin A2，得 c2a.由余弦定理及 cos B14，得 b2a2c22accos Ba24a24a2144a2.所以 b2a.又 abc5，所以 a1，因此 b2.12在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 sin Asin Cpsin B(pR)，且ac14b2.(1)当 p54，b1 时，求 a，c 的值；(2)若角 B 为锐角，求 p 的取值范围解(1)由题设并由正弦定理，得 acpb，所以 ac54.得ac54，ac14，解得a1，c14或a14，c1.(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b212b212
15、b2cos B，即 p23212cos B.因为 0cos B0，所以 62 p 2.三、探究与拓展13在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 b2ac 且 cos B34.(1)求 1tan A 1tan C的值；(2)设BABC32，求 ac 的值解(1)由 cos B34，得 sin B1 342 74.由 b2ac 及正弦定理得 sin2Bsin Asin C.于是 1tan A1tan Ccos Asin Acos Csin Csin Ccos Acos Csin Asin Asin CsinACsin2Bsin Bsin2B 1sin B4 77.(2)由BABC32得 cacos B32，由 cos B34，可得 ca2，即 b22.由余弦定理 b2a2c22accos B，得 a2c2b22accos B5，(ac)2a2c22ac549，ac3.