1、7.6立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.3用向
2、量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行()(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行()1下列各组向量中不平行的是()Aa(1,2，2)，
3、b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)答案D解析选项A中，b2aab；选项B中，d3cdc；选项C中，零向量与任意向量平行；选项D，不存在(R)，使gh.2已知平面内有一点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列点P中，在平面内的是()AP(2,3,3) BP(2,0,1)CP(4,4,0) DP(3，3,4)答案A解析逐一验证法，对于选项A，(1,4,1)，n61260，n，点P在平面内，同理可验证其他三个点不在平面内3已知(1,5，2)，(3,1，z)，若，(x1，y，3)，且B
4、P平面ABC，则实数x，y，z分别为_答案，4解析由题意知，.所以即解得x，y，z4.4若A(0,2，)，B(1，1，)，C(2,1，)是平面内的三点，设平面的法向量n(x，y，z)，则xyz_.答案23(4)题型一证明平行问题例1如图，在四面体ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ3QC.证明：PQ平面BCD.思维点拨证明线面平行，可以利用判定定理先证线线平行，也可利用平面的法向量证明方法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD、OP所在射线为y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知，A(0，2)，B(0，
5、0)，D(0，0)设点C的坐标为(x0，y0,0)因为3，所以Q.因为M为AD的中点，故M(0，1)又P为BM的中点，故P，所以.又平面BCD的一个法向量为a(0,0,1)，故a0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.方法二在线段CD上取点F，使得DF3FC，连接OF，同证法一建立空间直角坐标系，写出点A、B、C的坐标，设点C坐标为(x0，y0,0)，设点F坐标为(x，y,0)则(xx0，yy0,0)(x0，y0,0)，(x0，y0,0)又由证法一知(x0，y0，0)，PQOF.又PQ平面BCD，OF平面BCD，PQ平面BCD.思维升华用向量证明线面平行的方法有：(1)证明该直线的方向向量与
6、平面的某一法向量垂直；(2)证明该直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行；(3)证明该直线的方向向量可以用平面内的两个不共线的向量线性表示 (2014湖北)如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(00)，则C(m，0)，(m，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1(，1，)9分又n2(1,0,0)为平面DAE的一个法向量，由题设|cosn1，n2|，即 ，解得m.12分因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为，三棱锥EACD的体积V.15分温馨提
7、醒(1)利用向量法证明立体几何问题，可以建坐标系或利用基底表示向量；(2)建立空间直角坐标系时，要根据题中条件找出三条互相垂直的直线；(3)利用向量除了可以证明线线平行、垂直，线面、面面平行、垂直外，还可以利用向量求夹角、距离，从而解决线段长度问题、体积问题等.方法与技巧1用向量法解决立体几何问题，是空间向量的一个具体应用，体现了向量的工具性，这种方法可把复杂的推理证明、辅助线的作法转化为空间向量的运算，降低了空间想象演绎推理的难度，体现了由“形”转“数”的转化思想2两种思路：(1)选好基底，用向量表示出几何量，利用空间向量有关定理与向量的线性运算进行判断(2)建立空间坐标系，进行向量的坐标运
8、算，根据运算结果的几何意义解释相关问题失误与防范用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外.A组专项基础训练(时间：40分钟)1若直线l的方向向量为a(1,0,2)，平面的法向量为n(2,0，4)，则()Al BlCl Dl与相交答案B解析n2a，a与的法向量平行，l.2若，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A相交 B平行C在平面内 D平行或在平面内答案D解析，、共面，
9、AB与平面CDE平行或在平面CDE内3已知A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是()A(2,4，1) B(2,3,1)C(3,1,5) D(5,13，3)答案D解析由题意知，(2，6，2)，设点D(x，y，z)，则(3x,7y，5z)，因为，所以x5，y13，z3，故选D.4已知a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5，)，若a，b，c三向量共面，则实数等于()A. B. C. D.答案D解析由题意得ctab(2t，t4，3t2)，5如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1，AD2，P为C1D1的中点，M为BC的中点则A
10、M与PM所成的角为()A60 B45C90 D以上都不正确答案C解析以D点为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，依题意，可得，D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)(，1，)，(，2,0)，(，1，)(，2,0)0，即，AMPM.6已知平面内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_答案解析设平面的法向量为m(x，y，z)，由m0，得x0yz0yz，由m0，得xz0xz，m(1,1,1)，mn，mn，.7
11、设点C(2a1，a1,2)在点P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则a_.答案16解析(1，3,2)，(6，1,4)根据共面向量定理，设xy (x、yR)，则(2a1，a1,2)x(1，3,2)y(6，1,4)(x6y，3xy,2x4y)，解得x7，y4，a16.8如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1MAN，则MN与平面BB1C1C的位置关系是_答案平行解析正方体棱长为a，A1MAN，()().又是平面B1BCC1的法向量，0，.又MN平面B1BCC1，MN平面B1BCC1.9如图，四边形ABCD为正方形，PD平
12、面ABCD，PDQA，QAABPD.证明：平面PQC平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA、DP、DC分别为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.依题意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，则(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1,0)0，0.即PQDQ，PQDC，又DQDCD，故PQ平面DCQ，又PQ平面PQC，平面PQC平面DCQ.10如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明以A为原点，AB所在
13、直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，E(，1，)，F(0,1，)，(，0,0)，(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(1,0,0)(1)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.B组专项能力提升(时间：30分钟)11如图，正方形ABCD
14、与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB，AF1，M在EF上，且AM平面BDE，则M点的坐标为()A(1,1,1)B(，1)C(，1)D(，1)答案C解析设M点的坐标为(x，y,1)，ACBDO，则O(，0)，又E(0,0,1)，A(，0)，(，1)，(x，y，1)，AM平面BDE，12设u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量，若，则t等于()A3 B4 C5 D6答案C解析，uv，uv0，1284t0，t5.13在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC的中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1
15、Q与OP互相平分，则满足的实数有_个答案2解析建立如图的坐标系，设正方体的边长为2，则P(x，y,2)，O(1,1,0)，OP的中点坐标为，又知D1(0,0,2)，Q(x1，y1,0)，而Q在MN上，xQyQ3，xy1，即点P坐标满足xy1.有2个符合题意的点P，即对应有2个.14如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点求证：(1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.证明(1)如图建立空间直角坐标系Axyz，令ABAA14，则A(0,0,0)，E(0,4,2)，F(2,2,0)，B(4,0,0)
16、，B1(4,0,4)取AB中点为N，连接CN，则N(2,0,0)，C(0,4,0)，D(2,0,2)，(2,4,0)，(2,4,0)，DENC，又NC平面ABC，DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2，4)，(2，2，2)，(2,2,0)(2)22(2)(4)(2)0，(2)222(4)00.，即B1FEF，B1FAF，又AFEFF，B1F平面AEF.15在四棱锥PABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E、F分别是AB、PB的中点(1)求证：EFCD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论(1)证明如图，分别以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设ADa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、B(a，a,0)、C(0，a,0)、E、P(0,0，a)、F.，(0，a,0)0，即EFCD.(2)解设G(x,0，z)，则，若使GF平面PCB，则由(a,0,0)a0，得x；由(0，a，a)a0，得z0.G点坐标为，即G点为AD的中点