1、结 束 首 页 末 页下一页上一页31.1 数系的扩充和复数的概念结 束 首 页 末 页下一页上一页预习课本 P102103，思考并完成下列问题(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么？复数集如何分类？(2)复数能否比较大小？复数相等的充要条件是什么？纯虚数、虚数、实数、复数关系如何？结 束 首 页 末 页下一页上一页新知初探1复数的有关概念我们把集合 Cabi|a，bR 中的数，即形如 abi(a，bR)的数叫做复数，其中 i 叫做全体复数所成的集合 C 叫做复数通常用字母 z 表示，即 zabi(a，bR)，这一表示形式叫做复数的对于复数 zabi，以后不作特殊说明都有 a，bR，其中的a
2、 与 b 分别叫做复数 z 的与虚数单位复数集代数形式实部虚部结 束 首 页 末 页下一页上一页点睛 复数概念的三点说明(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成 abi(a，bR)的形式，其中 000i.(2)复数的虚部是实数 b 而非 bi.(3)复数 zabi 只有在 a，bR 时才是复数的代数形式，否则不是代数形式结 束 首 页 末 页下一页上一页2复数相等在复数集 Cabi|a，bR 中任取两个数 abi，cdi(a，b，c，dR)，我 们 规 定：a bi 与 c di 相 等 的 充 要 条 件是.3复数的分类对于复数 abi，当且仅当时，它是实数；当且仅当 ab0 时，它是
3、实数 0；当时，叫做虚数；当时，叫做纯虚数这样，复数 zabi 可以分类如下：复数 z实数(b0)，虚数(b0)(当a0时为纯虚数).ac 且 bdb0b0a0 且 b0结 束 首 页 末 页下一页上一页点睛 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系结 束 首 页 末 页下一页上一页小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)若 a，b 为实数，则 zabi 为虚数()(2)若 a 为实数，则 za 一定不是虚数()(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等()结 束 首 页 末 页下一页上一页2(1 3)i 的实部与虚部分别是()A1，3 B1 3，0C0,
4、1 3D0，(1 3)i答案：C3复数 z(m21)(m1)i(mR)是纯虚数，则有()Am1 Bm1Cm1 Dm1答案：B结 束 首 页 末 页下一页上一页复数的概念及分类典例 实数 x 分别取什么值时，复数 zx2x6x3(x22x15)i 是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？解(1)当 x 满足x22x150，x30，即 x5 时，z 是实数结 束 首 页 末 页下一页上一页(2)当 x 满足x22x150，x30，即 x3 且 x5 时，z 是虚数(3)当 x 满足x2x6x30，x22x150，x30，即 x2 或 x3 时，z 是纯虚数结 束 首 页 末 页下一页上一页复数分类
5、的关键(1)利用复数的代数形式，对复数进行分类，关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式求解参数时，注意考虑问题要全面，当条件不满足代数形式 zabi(a，bR)时应先转化形式(2)注意分清复数分类中的条件设复数 zabi(a，bR)，则z 为实数b0，z 为虚数b0，z 为纯虚数a0，b0.z0a0，且 b0.结 束 首 页 末 页下一页上一页活学活用当 m 为何值时，复数 zm2(1i)m(3i)6i，mR，是实数？是虚数？是纯虚数？解：z(m23m)(m2m6)i，(1)当 m 满足 m2m60，即 m2 或 m3 时，z 为实数(2)当 m 满足 m2m60，即 m2 且 m3
6、时，z 为虚数(3)当 m 满足m23m0，m2m60，即 m0 时，z 为纯虚数.结 束 首 页 末 页下一页上一页复数相等典例 已知关于 x 的方程 x2(12i)x(3mi)0 有实数根，则实数 m 的值为_，方程的实根 x 为_解析 设 a 是原方程的实根，则 a2(12i)a(3mi)0，即(a2a3m)(2a1)i00i，所以 a2a3m0 且 2a10，所以 a12且122123m0，所以 m 112.答案 112 12结 束 首 页 末 页下一页上一页一题多变1变条件若将本例中的方程改为：x2mx2xi1mi如何求解？解：设实根为 x0，代入方程，由复数相等定义，得x20mx0
7、1，2x0m，解得x01，m2 或x01，m2，因此，当 m2 时，原方程的实根为 x1，当 m2时，原方程的实根为 x1.结 束 首 页 末 页下一页上一页2变条件若将本例中的方程改为：3x2m2x1(10 x2x2)i，如何求解？解：设方程实根为 x0，则原方程可变为 3x20m2x01(10 x02x20)i，由复数相等定义，得：3x20m2x010，10 x02x200，解得x02，m11或x052，m715，因此，当 m11 时，原方程的实根为 x2；当 m715 时，原方程的实根为 x52.结 束 首 页 末 页下一页上一页复数相等问题的解题技巧(1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解(2)根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现(3)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的 结 束 首 页 末 页下一页上一页 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(十八)”(单击进入电子文档)