1、数列一、单选题1（2021聊城市山东聊城一中高三一模）九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲乙丙丁戊五人分5钱，甲乙两人所得之和与丙丁戊三人所得之和相同，且甲乙丙丁戊所得依次为等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位).这个问题中戊所得为（ ）A钱B钱C钱D钱【答案】D【解析】由题意，设丙所得为钱，公差为，结合等差数列的性质，有求，进而求戊所得.【详解】由甲乙丙丁戊所得依次为等差数列，设丙所得为钱，公差为，则：甲乙丁戊分别的，由题意，得，戊所得为钱.故选：D.2（2021山东高三专题练习）随着我国
2、新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产经统计，年月份到月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中月份的产量为吨，月份的产量为吨，则月到月这四个月的产量之和为（ ）A吨B吨C吨D吨【答案】C【解析】利用等差数列下标和的性质可求得结果.【详解】设年的产量为，由题意可知，数列是等差数列，则，则月到月这四个月的产量之和为吨.故选：C.3（2021辽宁高三一模（理）某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一二三车间抽取的口罩数分别为且构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（ ）个.ABCD【答案】C【解析】
3、根据等差数列的性质求得的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.【详解】由题意，从一二三车间抽取的口罩数分别为且构成等差数列，可得，则第二车间生产的口罩数为个.故选：C.4（2021湖南岳阳市高三一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列所有项中，中间项的值为（ ）A992B1022C1007D1037【答案】C【解析】由题可得，可判断共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】解：由题意可知，既是3的倍数，又是5的倍数，所以是
4、15的倍数，即，所以，当时，当时，故，数列共有135项，因此数列中间项为第68项，且故中间项的值为1007故选：C5（2021山东青岛市高三一模）在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）A16B32C64D128【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.【详解】因为，所以切线：令，则，有是以为公比的等比数列,，而，恒成立,即的最小值为128.故选：D6（2021广东深圳市高三一模）在数列中，若，则（ ）A10B9C8D7【答
5、案】B【解析】令，由可得，可得是等差数列，利用等差数列求和公式即可求解.【详解】令，由可得，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，整理可得：，解得：或（舍）故选：B.7（2021山东菏泽市高三一模）在等比数列中，若则（ ）ABCD【答案】B【解析】根据的取值分类讨论，得出的范围后判断各选项【详解】当时，不满足题意;当时，等式左边，所以，等式右边，不满足题意，所以，则中奇数项为正，偶数项为负故选B.8（2021全国高三专题练习（文）已知等差数列中，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据等差数列的性质计算【详解】因为是等差数列，所以，所以故选：C9（2021山东德州市高三一模）英国著名物理学
6、家牛顿用“作切线”的方法求函数零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛，若数列满足，则称数列为牛顿数列如果函数，数列为牛顿数列，设且， 数列的前项和为，则（ ）ABCD【答案】A【解析】得到，计算，然后计算，最后可得数列为等比数列，最后根据公式计算即可.【详解】由题可知：，所以，则两边取对数可得，即所以数列是以1为首项2为公比的等比数列，所以故选：A【点睛】关键点点睛：依据计算得到是解决本题的关键.10（2021全国高三专题练习（理）（文）我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还
7、迎驽马，九日后二马相逢.问：齐去长安多少里？（ ）ABCD【答案】A【解析】由题意可知，良马每日行的距离以及驽马每日行的距离均为等差数列，确定这两个数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意可知，良马每日行的距离成等差数列，记为，其中，公差.驽马每日行的距离成等差数列，记为，其中，公差.设长安至齐为里，则，即，解得.故选：A.二、多选题11（2021湖南衡阳市高三一模）设数列的前项和为，若为常数，则称数列为“吉祥数列”.则下列数列为“吉祥数列”的有（ ）ABCD【答案】BC【解析】按照求和方法对各个选项逐一求和验证即可得出结论.【详解】对于A，所以不为常数，故A不正确；
8、对于B，由并项求和法知：，故B正确；对于C，所以，故C正确；对于D，所以不为常数，故D错误；故选：BC.12（2021全国高三专题练习）南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”“三角垛”的最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，设各层球数构成一个数列，则（ ）ABCD【答案】BC【解析】根据示意图，结合题意找到各层球的数量与层数的关系，可得，即可判断各项的正误.【详解】由题意知：，故，故A错误；，故B正确；，故C正确；，显然，故D错误；故选：BC13（2021山东滨州市高三一模）已知是数列的前项和，且，则下列结论正确的是（ ）A数列为等比数列B数列为等比
9、数列CD【答案】ABD【解析】根据已知递推公式进行变形求解判断AB求出数列前几项，验证后判断C，求出前20项和可判断D，【详解】因为，所以，又，所以是等比数列，A正确；同理，而，所以是等比数列，B正确；若，则，但，C错；由A是等比数列，且公比为2，因此数列仍然是等比数列，公比为4，所以，D正确故选：ABD14（2021全国高三专题练习（理）已知数列的前项和为,则下列说法正确的是（ ）A若则是等差数列B若则是等比数列C若是等差数列，则D若是等比数列，且则【答案】BC【解析】由求，根据通项公式可判断AB是否正确，由等差数列的性质可判断C，取时，结合等比数列求和公式作差比较与大小即可判断D.【详解】
10、对于A选项，若，当时，不满足，故A错误；对于B选项，若，则，由于满足，所以是等比数列，故B正确；对于C选项，若是等差数列，则，故C正确.对于D选项，当时，故当时不等式不等式，故不成立，所以D错误.故选：BC15（2021辽宁铁岭市高三一模）设数列满足，对恒成立，则下列说法正确的是（ ）AB是递增数列CD【答案】ABD【解析】设，求出导数，可得在上为单调递增函数，得出，即，由此可依次判断各个选项.【详解】由，设，则，所以当时，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以，即，则，故A正确；由在上为单调递增函数， 所以是递增数列，故B正确；，所以，故C错误；因此，故D正确故选：AB
11、D【点睛】关键点睛：本题考查数列单调性的应用，解题的关键是构造函数，利用导数求出单调性得出.16（2021广东广州市高三一模）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；第次得到数列1，2；记，数列的前项为，则（ ）ABCD【答案】ABD【解析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时第2次得到数列1,4,3,5,2，此时第3次得到数列1,
12、 5,4,7,3,8,5,7,2，此时 第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时第次得到数列1，2 此时所以，故A项正确；结合A项中列出的数列可得： 用等比数列求和可得则 又 所以 ，故B项正确；由B项分析可知即，故C项错误.，故D项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想
13、.三、填空题17（2021辽宁沈阳市高三一模）在正项等比数列中，则_【答案】10【解析】利用等比数列性质，将，转化为求解.【详解】因为，所以，即，因为数列是正项数列，所以，故答案为：.18（2021河北张家口市高三一模）写出一个公差为2且“前3项之和小于第3项”的等差数列_【答案】（答案不唯一）【解析】先根据前3项之和小于第3项确定一组，进而可得.【详解】要满足“前3项之和小于第3项”，则，即则不妨设，则故答案为：.19（2021河北唐山市高三二模）设是首项为的等比数列，是其前项和若，则_【答案】【解析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的求和公式可求出结果.【详解】设等比数列的公
14、比为，则，将代入得，得，所以.故答案为：20（2021山东临沂市高三其他模拟）已知数列的首项，则_【答案】【解析】根据题意，分别求得，得出数列是以为周期的周期数列，结合周期性，即可求解.【详解】由，则，以此类推可知，对任意的，都有，即数列是以为周期的周期数列，因为，所以.故答案为：.21（2021辽宁铁岭市高三一模）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的方式还款银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为，则赵先生每个月所要还款的钱数为_元（精确到元，参考数据）【答案】【解析】本题首先可设每一期所还款数为元，然后结合题意列出每
15、期所还款本金，并根据贷款5000元列出方程，最后借助等比数列前项和公式进行计算即可得出结果.【详解】设每一期所还款数为元，因为贷款的月利率为，所以每期所还款本金依次为、，则，即，小明每个月所要还款约元，故答案为：.22（2021广东肇庆市高三二模）斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，.在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足：，则是斐波那契数列中的第_ 项.【答案】2022【解
16、析】把1改为，然后根据递推关系变形求解【详解】依题意，得，故答案为：202223（2021山东淄博市高三一模）已知等比数列中，首项，公比是，是函数的两个极值点，则数列的前9项和是_.【答案】1022【解析】由，是函数的两个极值点，所以，是函数的两个零点，得，则，故前9项和可求.【详解】由得又因为，是函数的两个极值点所以，是函数的两个零点故 因为所以 故，则前9项和 故答案为：102224（2021辽宁高三一模（理）已知数列的首项，前项和为，且满足，则数列的通项公式_.【答案】【解析】由已知，以替换再作差可得的递推关系，进而可得通项公式.【详解】因为，当时式减式得：，又当时，所以数列是以1为首项，公比为的等比数列，.故答案为: .
