1、高考资源网（） 您身边的高考专家4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数学 习 目 标核 心 素 养1掌握一元二次函数的图象和性质(重点)2体会用平移的方法研究一元二次函数的图象，并能迁移到对其他函数的图象的研究之中(难点、易混点)1通过一元二次函数的图象学习，培养直观想象素养2借助一元二次函数性质的应用，培养逻辑推理素养1一元二次函数的三种形式(1)一般式：yax2bxc(a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)；(3)两根式：ya(xx1)(xx2)(a0)；思考1：如何把二次函数的一般式化成顶点式？提示：yax2bxcacax22x()2()2cacaca(x)22一元二次
2、函数的图象二次函数ya(xh)2k(a0)，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左、右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上、下平移，而且“k正上移，k负下移”思考2：(1)能否仅通过平移函数yx2的图象得到y的图象？(2)二次函数ya(xh)2k(a0)的参数a对其图象的开口大小与方向有什么影响？提示： (1)不能，平移只改变图象的位置，不改变其形状，而二者形状不同(2)当a0时，图象开口向上，a值越大，开口越小；当a0时，图象开口向下，a值越大，开口越大3一元二次函数的性质解析式yax2bxcyax2bxc图象定义域R值域最值yminymax增减
3、性在上递减在上递增在上递增在上递减对称性关于直线x对称1二次函数yx2的图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图象的二次函数是()Ayx22By2x2Cyx2 Dyx22答案B2将二次函数的图象向下、向右各平移2个单位长度得到图象的解析式为yx2，则原二次函数的解析式是()Ay(x2)22 By(x2)22Cy(x2)22 Dy(x2)22B将函数yx2的图象进行逆变换，即将yx2的图象向左平移2个单位，可得y(x2)2的图象，然后再将其向上平移2个单位可得y(x2)22的图象，即原函数的图象3将函数y2(x1)22向_平移_个单位，再向_平移_个单位可得到函数y2x2的图象右1上2通过y
4、2x2y2(x1)22反向分析，也可借助顶点分析4对于二次函数yx24x3，(1)指出图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；(2)说明其图象是由yx2的图象经过怎样的平移得来解(1)y(x2)27，函数图像开口向下；对称轴为直线x2；顶点坐标为(2，7)；(2)先将yx2的图象向右平移2个单位，然后再向上平移7个单位，即可得到yx24x3的图象二次函数的图象及应用【例1】在同一坐标系中作出下列函数的图象(1)yx2；(2)yx22；(3)y2x24x.并分析如何把yx2的图象变换成y2x24x的图象解列表：x3210123yx29410149yx227212127y2x24x301660206描点
5、、连线即得相应函数的图象，如图所示由图象可知由yx2到y2x24x的变化过程如下法一：先把yx2的图象向右平移1个单位长度得到y(x1)2的图象，然后把y(x1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y2(x1)2的图象，最后把y2(x1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y2x24x的图象法二：先把yx2的图象向下平移1个单位长度得到yx21的图象，然后再把yx21的图象向右平移1个单位长度得到y(x1)21的图象，最后把y(x1)21的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，便可得到y2(x1)22，即y2x24x的图象任意二次函数yax2bxc都可转化为ya(xh)2k的形式，都
6、可由yax2图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示：上述平移规律为：“h正左移，h负右移”；“k正上移，k负下移”1如何把y2x24x的图象变换成yx2的图象？解y2x24x2(x1)22，故可先把y2x24x的图象向上平移2个单位长度得到y2(x1)2的图象，然后再把y2(x1)2的图象向左平移1个单位长度，得到y2x2的图象，最后把y2x2的图象纵坐标变为原来的，便可得到yx2的图象二次函数的性质及应用【例2】已知二次函数y3x22x1.(1)求其顶点坐标；(2)判断其在区间上是增加的还是减小的；(3)当x取何值时，y0.思路点拨 通过配方，将其化成顶点式来求解解(1)配方得y3x
7、22x13，所以其顶点坐标为.(2)由于该函数在区间上是减小的，且，所以该函数在区间上也是减小的(3)y0，即3x22x10，解得x1或，所以，当x1或时，y0.二次函数的性质可以通过图象直观地表示出来因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图象、利用数形结合的思想方法来解决问题2已知二次函数y3x24x6.(1)求其顶点坐标；(2)判断其在区间(2，1)上是增加的还是减小的；(3)若当x时，y0，则当x时，y的值是多少？解(1)配方得y3x24x63，所以其顶点坐标为.(2)由于该函数在区间上是增加的，又(2，1)，所以该函数在区间(2，1)上是增加的(3)由对称性知，y0.求二次函数
8、的解析式【例3】已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线yx1上，并且图象经过点(3，1)，求二次函数的解析式思路点拨由题目中所给出的条件：最大值及顶点位置，可以将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数a.解二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，顶点的纵坐标为2.又顶点在直线yx1上，所以，2x1，x1.顶点坐标是(1，2).设该二次函数的解析式为ya(x1)22(a0)，二次函数的图象经过点(3，1)，1a(31)22，解得a.二次函数的解析式为y(x1)22.确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件
9、灵活选择二次函数的解析式可设成如下三种形式：给出三点坐标可利用一般式来求；给出两点，且其中一点为顶点时可利用顶点式来求；给出三点，其中两点为与x轴的两个交点(x1，0)，(x2，0)时可利用交点式来求3已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式解设该二次函数为yax2bxc(a0).由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得解得 a2，b12，c8.所以，所求的二次函数为y2x212x8.1确定二次函数的解析式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的解析式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择2对于二次函数yax2bxc，要掌握下列数形
10、之间的对应关系：(1)a的正负决定了抛物线的开口方向；a的绝对值决定了抛物线的开口大小；(2)顶点决定了抛物线的位置；(3)判别式b24ac相对于0的大小决定了抛物线与x轴是否相交这是我们用数形结合思想求解二次函数问题的切入点1思考辨析(正确的画“”，错误的画“”)(1)yax2bxc是二次函数()(2)函数yax2bxc的图象一定与y轴相交()(3)二次函数y2x2与y2x2的图象开口大小相同，开口方向相反()(4)把函数yx2图象上的每一点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到函数y2x2的图象()答案(1)(2)(3)(4)2函数y(x1)24的图象的顶点坐标是()A(1，4)B(1
11、，4)C(1，4) D(1，4)答案D3已知某二次函数的图象与x轴交于A(2，0)，B(1，0)，且过点C(2，4)，则该二次函数的表达式为_答案yx2x24求二次函数y3x26x1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值(或最小值)，并指出当x取何值时，y随x的增大而增大(或减小)？并画出该函数的图象解y3x26x13(x1)24，函数图象的开口向下；对称轴是直线x1；顶点坐标为(1，4)；当x1时，函数y取最大值y4；当x1时，y随着x的增大而增大；当x1时，y随着x的增大而减小；采用描点法画图，选顶点A(1，4)，与x轴交于点B(，0)和C(，0)，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象如图所示- 8 - 版权所有高考资源网