1、课时作业13抛物线的简单几何性质|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1过点(2,4)作直线l，与抛物线y28x只有一个公共点，这样的直线l有()A1条B2条C3条 D4条解析：可知点(2,4)在抛物线y28x上，过点(2,4)与抛物线y28x只有一个公共点的直线有两条，一条是抛物线的切线，另一条与抛物线的对称轴平行答案：B2过抛物线x24y的焦点，作直线l交抛物线于P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点，若y1y26，则|P1P2|()A5 B6C8 D10解析：抛物线x24y的准线为y1，因为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点是过抛物线焦点的直线l与
2、抛物线的交点，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点到准线的距离分别是y11，y21，所以|P1P2|y1y228.答案：C3设O为坐标原点，F为抛物线y24x的焦点，A为抛物线上一点，若4，则点A的坐标为()A(2，2) B(1，2)C(1,2) D(2,2)解析：设A(x，y)，则y24x，又(x，y)，(1x，y)，所以xx2y24.由可解得x1，y2.答案：B4直线yxb交抛物线yx2于A，B两点，O为抛物线顶点，OAOB，则b的值为()A1 B0C1 D2解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，将yxb代入yx2，化简可得x22x2b0，故x1x22，x1x22b，所以y
3、1y2x1x2b(x1x2)b2b2.又OAOB，所以x1x2y1y20，即2bb20，则b2或b0，经检验b0时，不满足OAOB，故b2.答案：D5设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B.C. D.解析：易知抛物线中p，焦点F，直线AB的斜率k，故直线AB的方程为y，代入抛物线方程y23x，整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2.由抛物线的定义可得弦长|AB|x1x2p12，结合图象可得O到直线AB的距离dsin30，所以OAB的面积S|AB|d.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)
4、6过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为_解析：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.由抛物线的定义知|AB|AF|BF|x1x2x1x2p，即x1x227，得x1x25，于是弦AB的中点M的横坐标为.因此，点M到抛物线准线的距离为1.答案：7如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_解析：如图，分别过A，B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，因为|BC|
5、2|BF|，所以|BC|2|BB1|，所以BCB130，所以AFx60，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l于x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，所以抛物线方程为y23x.答案：y23x8过抛物线x22py(p0)的焦点F作倾斜角为30的直线，与抛物线分别交于A，B两点(点A在y轴左侧)，则_.解析：由题意可得焦点F，故直线AB的方程为yx，与x22py联立得A，B两点的横坐标为xAp，xBp，故A，B，所以|AF|p，|BF|2p，所以.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9等腰直角三角形的直角顶点位于坐标原点，另外两
6、个顶点在抛物线y22px(p0)上若该三角形的斜边长为4，求抛物线的方程解析：如图，设等腰直角三角形OAB的顶点A，B在抛物线上根据抛物线的性质知A，B关于x轴对称由题意得A(2,2)在抛物线y22px上，所以p1，抛物线的方程为y22x.10已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一弦，使它恰在点P被平分，求这条弦所在的直线方程解析：设弦的两个端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)P1，P2在抛物线上，y6x1，y6x2.两式相减得(y1y2)(y1y2)6(x1x2)y1y22，代入得k3.直线的方程为y13(x4)，即3xy110.|能力提升|(20分钟，40分)11已知直线yk(x
7、2)(k0)与抛物线C：y28x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|2|FB|，则k的值为()A. B.C. D.解析：设抛物线C：y28x的准线为l：x2，直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)，如图过A，B分别作AMl于M，BNl于N，由|FA|2|FB|，则|AM|2|BN|，点B为AP的中点，连接OB，则|OB|FA|，所以|OB|BF|，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)，把B点坐标代入直线方程得k的值为.答案：C12平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：1(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B. 若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的
8、离心率为_解析：由题意，双曲线的渐近线方程为yx，抛物线的焦点坐标为F.不妨设点A在第一象限，由解得或故A.所以kAF.因为F为OAB的垂心，所以直线AF与另一条渐近线垂直，故kAF()1，即1，整理得b2a2，所以c2a2b2a2，故ca，即e.答案：13已知直线l经过抛物线y24x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若|AF|4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值解析：由y24x，得p2，其准线方程为x1，焦点F(1,0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)由抛物线的定义可知，|AF|x1，从而x1413.代入y24x，解得y12.点A的坐标为(3,2)或(3，2)(2
9、)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)与抛物线方程联立，得消去y，整理得k2x2(2k24)xk20.直线与抛物线相交于A，B两点，则k0，并设其两根为x1，x2，x1x22.由抛物线的定义可知，|AB|x1x2p44.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，2)，此时|AB|4，|AB|4，即线段AB的长的最小值为4.14点M(m,4)(m0)为抛物线x22py(p0)上一点，F为其焦点，已知|FM|5.(1)求m与p的值；(2)以M点为切点作抛物线的切线，交y轴于点N，求FMN的面积解析：(1)由抛物线定义知，|FM|45，所以p2.所以抛物线的方程为x24y，又由M(m,4)在抛物线上，所以m4.故p2，m4.(2)设过M点的切线方程为y4k(x4)，代入抛物线的方程消去y得，x24kx16k160，其判别式16k264(k1)0，所以k2，切线方程为y2x4，切线与y轴的交点为N(0，4)，抛物线的焦点F(0,1)，所以SFMN|FN|m5410.