1、1.1.2余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及其变形形式.2.会用余弦定理解三角形.3.能利用正、余弦定理解决三角形的有关问题知识链接1以下问题不能用余弦定理求解的是 (1)已知两边和其中一边的对角，解三角形(2)已知两角和一边，求其他角和边(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角(4)已知一个三角形的三条边，解三角形答案(2)2利用余弦定理判断三角形的形状，正确的是 (1)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为直角三角形(2)在ABC中，若a2b2c2，则ABC为钝角三角形答案(1)(3)预习导引1正弦定理及其变形(1)2R(R为ABC外接圆半径)(2)a2Rsin A，
2、b2Rsin B，c2Rsin C.2余弦定理及其推论(1)a2b2c22bccos A，b2c2a22cacos B，c2a2b22abcos C.(2)cos A，cos B，cos C.(3)在ABC中，c2a2b2C为直角；c2a2b2C为钝角；c20)则有cos C.2在ABC中，若2cos Bsin Asin C，则ABC的形状一定是 ()A等腰直角三角形 B直角三角形C等腰三角形D等边三角形答案C解析2cos Bsin Asin C，2ac，ab.故ABC为等腰三角形3在ABC中，若a2c2b2ac，则角B的值为 答案解析根据余弦定理，cos B，又B(0，)，所以B.4在ABC
3、中，若B30，AB2，AC2，则满足条件的三角形有几个？解设BCa，ACb，ABc，由余弦定理，得b2a2c22accos B，22a2(2)22a2cos 30，即a26a80，解得a2或a4.当a2时，三边为2,2,2可组成三角形；当a4时，三边为4,2,2也可组成三角形满足条件的三角形有两个1已知两边及其中一边的对角，解三角形，一般情况下，利用正弦定理求出另一边所对的角，再求其他的边或角，要注意进行讨论如果采用余弦定理来解，只需解一个一元二次方程，即可求出边来，比较两种方法，采用余弦定理较简单2根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径(1)化边为角，并利用三角恒等变形进行化简；(2)
4、化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换. 3在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一4利用余弦定理求三角形的边长时容易出现增解，原因是余弦定理中涉及的是边长的平方，通常转化为一元二次方程求正实数因此解题时需特别注意三角形三边长度所应满足的基本条件一、基础达标1若三条线段的长分别为5,6,7，则用这三条线段()A能组成直角三角形 B能组成锐角三角形C能组成钝角三角形 D不能组成三角形答案B 解析因三角形最大边对应的角的余弦值cos 0，所以能组成锐角三角形2在ABC中，AB5，AC3，BC7，则等于()A. B C. D15答案B解析cos A，|cosBAC5
5、3()，故选B.3如果将直角三角形的三边增加同样的长度，则新三角形的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D由增加的长度确定答案A解析设直角三角形三边为a，b，c，且a2b2c2，则(ax)2(bx)2(cx)2a2b22x22(ab)xc22cxx22(abc)xx20，cx所对的最大角变为锐角4已知a，b，c为ABC的三边，B120，则a2c2acb2等于()A0 B1 C1 D2答案A 解析b2a2c22accos Ba2c22accos 120a2c2ac.原式为0.5在ABC中，若a2b2bc，sin C2sin B，则A .答案30解析由sin C2sin B，根据正弦
6、定理，得c2b，代入a2b2bc，得a2b26b2，即a27b2.由余弦定理得cos A，又0A0，0Aa，cb，角C最大由余弦定理，得c2a2b22abcos C，即3791624cos C，cos C.0C0，a，最大边为2a1.三角形为钝角三角形，a2(2a1)2(2a1)2化简得0a2a1，a2，2a8.11ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75，b2，求a，c.解(1)由正弦定理，得a2c2acb2，由余弦定理得b2a2c22accos B，故cos B，又0B180，因此B45.(2)sin Asi
7、n(3045).故a1，c2.12在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C.(1)求sin C的值；(2)当a2,2sin Asin C时，求b及c的长解(1)cos2C12sin2C，0C，sin C.(2)当a2,2sin Asin C时，由正弦定理，得c4.由cos 2C2cos2C1及0C0)，解得b或2，或三、探究与创新13在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求A的大小；(2)若sin Bsin C1，试判断ABC的形状解(1)由已知，由正弦定理，得2a2(2bc)b(2cb)c，即a2b2c2bc.由余弦定理a2b2c22bccos A，故cos A.又A(0，)，A.(2)由(1)中a2b2c2bc及正弦定理，可得sin2Asin2Bsin2Csin Bsin C，即()2sin2Bsin2Csin Bsin C，又sin Bsin C1，得sin Bsin C.又0B，C，BC，ABC为等腰的钝角三角形