1、3.1 多项式的因式分解 课程讲授 新知导入 随堂练习 课堂小结 第3章 因式分解 知识要点 因式分解及相关概念 新知导入 看一看：观察下图中图形的构成，试着用多种方法表示出长方形的面积.nbadc(a+b+c)(n+d)an+bn+cn+ad+bd+cd方法一：方法二：（a+b+c)(n+d）=an+bn+cn+ad+bd+cd课程讲授 1 因式分解及相关概念 问题1：（1）21等于3乘那个数？（2）x2-1等于x+1乘哪个多项式？21=37.因为(x+1)(x-1)=x2-1，所以x2-1=(x+1)(x-1).课程讲授 1 因式分解及相关概念 对于整数21于3，有整数7，使得21=37，
2、我们把3叫做21的一个因数，同理7也是21的一个因数.类似地，对于多项式x2-1与x+1，由整式的乘法有多项式x-1使得x2-1=(x+1)(x-1)成立，我们把多项式x+1叫做x2-1的一个因式.同理，x-1也是x2-1的一个因式.课程讲授 1 因式分解及相关概念 定义：一般地，对于两个多项 f 与 g，如果有多项式 h 使得 f=gh，那么我们把 g 叫作 f 的一个因式，此时，h 也是 f 的一个因式 课程讲授 1 因式分解及相关概念 问题2：完成下列题目：x(x-2)=_；(x+y)(x-y)=_；(x+1)2=_.x2-2xx2-y2x2+2x+1根据左空，解决下列问题：x2-2x=
3、()()；x2-y2=()()；x2+2x+1=()2.xx-2x+yx-yx+1课程讲授 1 因式分解及相关概念 问题1：观察同一行中，左右两边的等式有什么区别和联系？定义：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解.联系：左右两式是同一多项式的不同表现形式.区别：左边一栏是多项式的乘法，右边一栏是把多项式化成了几个整式的积，他们的运算是相反的.课程讲授 1 因式分解及相关概念 为什么要把一个多项式因式分解呢？万里长城是由砖砌成的，不少房子也是用砖砌成的，因此，砖是基本建筑块之一.在数学中也经常要寻找那些“基本建筑块”，例如，在正整数集中，像2，3，5，7，
4、11，13，17，这些大于1的数，它的因数只有1和它自身，称这样的正整数为质数或素数，素数就是正整数集中的“基本建筑块”：每一个正整数都能表示成若干素数的乘积的形式课程讲授 1 因式分解及相关概念 122 2 3 302 3 5 有了式和式，就容易求出12和30的最大公因数为2 36 进而很容易把分数约分：分子与分母同除以6，得1230122305例如同样地，在系数为有理数（或系数为实数）的多项式组成的集合中，也有一些多项式起着“基本建筑块”的作用：每一个多项式可以表示成若干个这种多项式的乘积的形式，从而为许多问题的解决架起了桥梁课程讲授 1 因式分解及相关概念 例1 下列各式由左边到右边的边
5、形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？（1）a2+2ab+b2=(a+b)2；（2）m2+m-4=(m+3)(m-2)+2.解：（1）是.因为从左边到右边是把多项式a2+2ab+b2表示成了a+b与a+b乘积的形式.（2）不是.因为(m+3)(m-2)+2不是几个多项式乘积的形式.课程讲授 1 因式分解及相关概念 练一练：下列变形属于因式分解的是（）A.a(b+c)=ab+acB.a2-4a+3=a(a-4)+3C.10a2-5a=5a(2a-1)D.2a2b3=2aab2C课程讲授 1 因式分解及相关概念 例2 检验下列因式分解是否正确.（1）x2+xy=x(x+y)；（2）a2-5a+6=
6、(a-2)(a-3)；（3）2m2-n2=(2m-n)(2m+n).解：（1）因为x(x+y)=x2+xy，所以（1）正确；（2）因为(a-2)(a-3)=a2-5a+6，所以（2）正确；（3）因为(2m-n)(2m+n)=4m2-n22m2-n2，所以（3）不正确.课程讲授 1 因式分解及相关概念 x2-1 (x+1)(x-1)因式分解整式乘法是互为相反的变形，即 想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？课程讲授 1 因式分解及相关概念 归纳：因式分解与整式乘法是互逆运算，二者是一个式子的两种不同表现形式因式分解的等号右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的等号右边是多项式的形式 随堂练习 1
7、.下列各式中从左到右的变形属于分解因式的是（）A.a(a+b-1)=a2+ab-aB.a2-a-2=a(a-1)-2C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b)D.2x+1=x(2+)C1x随堂练习 2.把x2+3x+c分解因式得x2+3x+c=(x+1)(x+2)，则c的值为（）A.2 B.3 C.-2 D.-3A3.已知x2-2x-3=0，则2x2-4x的值为（）A.-6B.6C.-2或6D.-2或30B随堂练习 4.把多项式x2+4mx+5因式分解得(x+5)(x+n)，求m+n的值.解：由题意，得x2+4mx+5=(x+5)(x+n)=x2+(n+5)x+5n，5n=5，4m=n+5解得n=1，m=，m+n=1+=.523232课堂小结 因式分解 把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.其中，每个整式叫做这个多项式的因式 定义