1、4.数列、不等式 第四篇 回归教材，纠错例析，帮你减少高考失分点 要点回扣 易错警示 查缺补漏 栏目索引 要点回扣 1.已 知 前 n 项 和 Sn a1 a2 a3 an，则 an S1 n1SnSn1n2.由 Sn 求 an 时，易忽略 n1 的情况.问题1 已知数列an的前n项和Snn21，则an_.2，n12n1，n2(3)等差数列的前 n 项和：Snna1an2，Snna1nn12d.2.等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法an1and(d为常数)或an1ananan1(n2).(2)等差数列的通项：ana1(n1)d或anam(nm)d.当公差 d0 时，等差数
2、列的通项公式 ana1(n1)ddna1d 是关于 n 的一次函数，且斜率为公差 d；前 n 项和Snna1nn12dd2n2(a1d2)n是关于n的二次函数且常数项为 0.(4)等差数列的性质 若公差d0，则为递增等差数列；若公差dB.(5)等比数列的性质当 mnpq 时，则有 amanapaq，特别地，当 mn2p 时，则有 amana2p.问题3(1)在等比数列an中，a3a8124，a4a7512，公比q是整数，则a10_.(2)各项均为正数的等比数列an中，若a5a69，则log3a1log3a2log3a10_.51210如：1nn11n 1n1；1nnk1k1n 1nk.4.数列
3、求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式；(2)分组求和法；(3)倒序相加法；(4)错位相减法；(5)裂项法；问题 4 数列an满足 anan112(nN，n1)，若 a21，Sn 是an的前 n 项和，则 S21 的值为_.(6)并项法.数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法.925.在求不等式的解集时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示.问题5 不等式3x25x20的解集为_.23，16.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负.两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行.问题6 已知a，b，c，d为正实数，且cd
4、，则“ab”是“acbd”的_条件.充分不必要7.基本不等式：ab2 ab(a，b0)(1)推广：a2b22ab2 ab 21a1b(a，b0).(2)用法：已知x，y都是正数，则若积 xy 是定值 p，则当 xy 时，和 xy 有最小值 2 p；若和 xy 是定值 s，则当 xy 时，积 xy 有最大值14s2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件.问题 7 已知 a0，b0，ab1，则 y1a4b的最小值是_.9问题 8 设定点 A(0,1)，动点 P(x，y)的坐标满足条件x0，yx，则|PA|的最小值是_.8.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目
5、标函数中y的系数的正负；注意最优整数解.22易错点1 an与Sn关系不清易错警示 例1 已知数列an的前n项和为Snn2n1，则数列an的通项公式为_.错因分析 没有注意到anSnSn1成立的条件：n2，忽视对n的分类讨论.an 3，n1，2n，n2.解析 当n1时，a1S13；当n2时，ann2n1(n1)2(n1)12n，答案 an3，n1，2n，n2错因分析 没有考虑等比数列求和公式 Sna11qn1q中q1 的条件，本题中 q1 恰好符合题目条件.易错点2 忽视等比数列中q的范围例2 设等比数列an的前n项和为Sn，若S3S6S9，则数列an的公比q_.得a11q31qa11q61qa
6、11q91q.解析 当q1时，S3S69a1，S99a1，S3S6S9成立.当q1时，由S3S6S9，q9q6q310，即(q31)(q61)0.q1，q310，q61，q1.答案 1或1 例 3 已知数列an的通项公式为 an(n2)(910)n(nN*)，则数列an的最大项是()易错点3 数列最值问题忽略n的限制A.第6项或第7项B.第7项或第8项 C.第8项或第9项D.第7项 错因分析 求解数列an的前n项和Sn的最值，无论是利用Sn还是利用an来求，都要注意n的取值的限制，因为数列中可能出现零项，所以在利用不等式(组)求解时，不能漏掉不等式(组)中的等号，避免造成无解或漏解的失误.解析
7、 因为 an1an(n3)(910)n1(n2)(910)n(910)n7n10，当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an；当n7时，an1an0，即an1an.故a1a2a7a8a9a10，所以此数列的最大项是第7项或第8项，故选B.答案 B例 4 在数列an中，an 1n1 2n1 nn1，又 bn1anan1，则数列bn的前 n 项和为()易错点4 裂项法求和搞错剩余项A.n2B.nn1 C.2nn1D.4nn1错因分析 裂项相消后搞错剩余项，导致求和错误：一般情况下剩余的项是对称的，即前面剩余的项和后面剩余的项是对应的.解析 由已知得 an 1n1 2
8、n1 nn1 1n1(12n)n2，从而 bn1anan11n2n124(1n 1n1)，所以数列bn的前 n 项和为 Sn4(112)(1213)(1314)(1n 1n1)4(1 1n1)4nn1.故选 D.答案 D 例 5 解不等式3x5x22x32.易错点5 解不等式时变形不同解错因分析 本题易出现的问题有两个方面：一是错用不等式的性质直接把不等式化为3x52(x22x3)求解；二是同解变形过程中忽视分母不为零的限制条件，导致增解.解 原不等式可化为3x5x22x320，即2x2x1x22x3 0.整理得2x1x1x1x3 0，不等式等价于2x1x1x1x30，x1x30，解得3x1
9、或12x1.所以原不等式的解集为x|3x1 或12x1.例 6 函数 yx 1x1(x1)的值域是_.易错点6 忽视基本不等式中等号成立条件错因分析 本题易出现的错误有两个方面：一是不会“凑”，不能根据函数解析式的特征适当变形凑出两式之积为定值；二是利用基本不等式求最值时，忽视式子的取值范围，直接套用基本不等式求最值.如本题易出现：由 yx 1x1x1 1x112x1 1x113，得出 y3，)这一错误结果.解析 当 x1 时，yx 1x1x1 1x112x1 1x113，当且仅当 x1 1x1，即 x2 时等号成立；当 x1 时，yx 11x1x 11x121x 11x11，即 y1，当且仅
10、当 1x 11x，即 x0 时等号成立.所以原函数的值域为(，13，).答案(，13，)查缺补漏 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 111.(2015重庆)在等差数列an中，若a24，a42，则a6等于()A.1B.0C.1D.6 解析 由等差数列的性质，得a62a4a22240，选B.B1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 112.已知正项等差数列an的前20项和为100，那么a6a15的最大值是()A.25B.50C.100D.不存在 解析 由题意知 S20a1a20220100a1a2025，故a6a15a1a2010，又an为正项数列，所以，a60，a150，所以 a6a1
11、5(a6a152)225.A1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 113.已知数列an是公差不为0的等差数列，bn是等比数列，其中a13，b11，a2b2,3a5b3，若存在常数u，v对任意正整数n都有an3logubnv，则uv等于()A.3B.6C.9D.12 解析 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，则3dq，334dq2，解得 d6，q9，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11所以logu92，v3logu93，解得 uv3，故 uv6.所以an6n3，bn9n1,6n33nlogu9v3logu9对任意正整数n恒成立，答案 B 1 2 3 4 5 6 7 8
12、 9 10 114.已知数列an的通项公式为 anlog3 nn1(nN*)，设其前n 项和为 Sn，则使 Sn4 成立的最小自然数 n 为()A.83B.82C.81D.80 解析 anlog3 nn1log3nlog3(n1)，Snlog31log32log32log33log3nlog3(n1)log3(n1)4，解得n34180.故最小自然数n的值为81.C1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 115.(2015湖南)若变量 x，y 满足约束条件xy1，2xy1，y1，则 z3xy 的最小值为()A.7B.1C.1D.2 解析 不等式组xy1，2xy1，y1表示的平面区域如图，1
13、2 3 4 5 6 7 8 9 10 11平移直线y3xz，过M(2,1)时，zmin3(2)17.故选A.答案 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 116.把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，则第50个括号内各数之和为()A.195B.197C.392D.396 解析 将三个括号作为一组，则由501632，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11又因
14、为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列2n1的第16696项，第50个括号的第一个数应为数列2n1的第98项，即为2981195，第二个数为2991197，故第50个括号内各数之和为195197392.故选C.答案 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 117.设x，yR，且xy0，则(x21y2)(1x24y2)的最小值为_.解析(x21y2)(1x24y2)144x2y2 1x2y2 1424x2y2 1x2y29，当且仅当 4x2y2 1x2y2即|xy|22 时等号成立.91 2 3 4 5 6 7 8 9 10 118.已知函数 f(x)4a2x4x6，ax5
15、x6(a0，a1).数列an满足 anf(n)(nN*)，且an是单调递增数列，则实数 a 的取值范围是_.1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4a20，a1，4a264a2，a1，a4，解析 an是单调递增数列，4a2时，解集为x1,2)k，).1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1111.等比数列an的公比 q1，第 17 项的平方等于第 24 项，求使 a1a2an 1a1 1a2 1an成立的正整数 n 的取值范围.解 由题意，得(a1q16)2a1q23，所以a1q91.又因为数列 1an是以 1a1为首项，以1q为公比的等比数列，要使不等式成立，1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11则需a1qn1q11a111qn11q，把 a21q18 代入上式并整理，得 q18(qn1)q(1 1qn)，即 q18(qn1)qqn1qn，所以qnq19.因为q1，所以n19.故所求正整数n的取值范围是n20，nN*.谢谢观看 更多精彩内容请登录：