1、第四章第三讲A组基础巩固一、选择题1(2017内蒙古赤峰二中高三上学期第三次模拟数学试题)已知向量a(k,3)，b(1,4)，c(2,1)，且(2a3b)c，则实数k(C)A B0 C3 D解析(2a3b)c，可得(2a3b)c0，解出即可解： 2a3b(2k3，6)，(2a3b)c，(2a3b)c2(2k3)60，解得k3.故选C2(2016长沙雅礼中学月考)已知a，b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b(B)A1 B0 C1 D2解析由已知得|a|b|1，a，b60，(2ab)b2abb22|a|b|cosa，b|b|2211cos60120，故选B3已知点A(1,1)，B(1,2)，
2、C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为(A)A B C D解析(2,1)，(5,5)，|5，故在上的投影为4(2016湛江模拟)若平面向量a(1,2)与b的夹角是180，且|b|3，则b坐标为(D)A(6，3) B(6,3) C(3,6) D(3，6)解析设b(x，y)，由两个向量的夹角公式得cos1801，x2y15，3，由联立方程组并解得x3，y6，即b(3，6)，故选D简解：由题意可知ba(0)|b|a|即|3，3，即b(3，6)5(2017重庆一中期中)已知向量a(1,2)，b(x，2)，且ab，则|ab|(A)A5 B C4 D解析由ab知ab0，即x40，x4ab(5,
3、0)|ab|5，故选A6(2017甘肃省武威十八中高三上学期第三次月考数学试题)已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)则a与b的夹角为(C)A B C D解析由已知向量垂直得到数量积为0，于是得到非零向量a，b的模与夹角的关系，求出夹角的余弦值解：由已知非零向量a，b满足|b|4|a|，且a(2ab)，设两个非零向量a，b的夹角为，所以a(2ab)0，即2a2|a|b|cos0，所以cos，0，所以；故选C7(2017湖南省示范性高中高三上学期百校联考数学试题)在ABC中，则sinA：sinB：sinC(C)A534 B543C2 D2解析由条件利用两个向量的数量积的定义可得2a
4、22c22b23a23b23c26b26c26a2k，由此求得a、b、c的值，利用正弦定理可得sinA：sinB：sinC的值解：ABC中，即，即bc，即 2a22c22b23a23b23c26b26c26a2，设2a22c22b23a23b23c26b26c26a2k，求得 a25k，b23k，c24k，ak，bk，c2，由正弦定理可得a：b：csinA：sinB：sinC2，故选C点拨本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理，属于中档题8(2017湖南长沙雅礼中学期中)在边长为2的正三角形ABC中，设2，3，则(D)A2 B C D1解析由题意可知()，()()(|2|2)1，故选D二
5、、填空题9(2016全国卷)设向量a(x，x1)，b(1,2)，且ab，则x.解析因为a(x，x1)，b(1,2)，ab，所以x2(x1)0，解得x10(2016北京)已知向量a(1，)，b(，1)，则a与b夹角的大小为.解析ab2，cosa，b，又a，b0，a，b11已知a(1，2)，b(1,1)，且a与ab的夹角为钝角，则实数的取值范围为(，0)(0，).解析a与ab均为非零向量，且夹角为钝角，a(ab)0，即(1，2)(1，2)0当a与ab共线时，存在实数m，使abma，即(1，2)m(1，2)，解得0即当0时，a与ab共线，综上可知，实数的取值范围为(，0)(0，)三、解答题12已知|
6、a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|和|ab|；(3)若a，b，作ABC，求ABC的面积答案(1)120(2)，(3)3解析(1)由(2a3b)(2ab)61，得4|a|24ab3|b|261。|a|4，|b|3，代入上式求得ab6cos又0，180，120(2)可先平方转化为向量的数量积|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，|ab|同理，|ab|(3)先计算a，b夹角的正弦，再用面积公式求值由(1)知BAC120，|a|4，|b|3，SABC，|sinBAC34sin120313(2016南充模拟)在ABC中，角A、B
7、、C所对的边分别为a、b、c，已知向量m(c2b，a)，n(cosA，cosC)且mn.(1)求角A的大小(2)若4求边BC的最小值解析(1)向量m(c2b，a)，n(cosA，cosC)且mn，(c2b)cosAacosC0，sinCcosAsinAcosC2sinBcosA，sin(AC)2sinBcosA，sinB2sinBcosA，cosA.又A为三角形内角，A(2)若 4，即cb8由余弦定理得a2b2c22bccosAb2c2bc2bcbcbc8(当且仅当bc2时取等号)即a2，所以边BC的最小值为2B组能力提升1(2016大连模拟)若两个非零向量a，b满足|ab|ab|2|a|，则
8、向量ab与ab的夹角是(C)A B C D解析|ab|ab|2|a|，a22abb2a22abb24a2，ab，b23a2，cosab，ab，向量ab与ab的夹角是，故选C2(2016四川)在平面内，定点A，B，C，D满足|，2，动点P，M满足|1，则|2的最大值是(B)ABCD解析由|知，D为ABC的外心由知，D为ABC的内心，所以ABC为正三角形，易知其边长为2.取AC的中点E，因为M是PC的中点，所以EMAP，所以|max|BE|，则|，选B3(2017北京市朝阳区高三上学期期末统一考试数学试题)在RtABC中，A90，点D是边BC上的动点，且|3，|4，(0，0)，则当取得最大值时，|
9、的值为(C)A B3 C D解析点D是边BC上的动点，则B，C，D三点共线，满足x，所以x()，即(1x)x，又，所以1，2，当且仅当时，等号成立，此时D为BC的中点，|5，|.故选C4(2016天星大联考)如图所示，平行四边形ABCD中，AB2AD2，BAD60，E为DC的中点，那么与所成角的余弦值为(C)A B C D解析，|2|27；，|2|21.故()()，cos，.故选C另解：如图建立平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，D(，)，E(，)，C(，)，(，)，(，)cos5(2016福建莆田一中月考)已知a(2cosx2sinx,1)，b(y，cosx)，且ab.(1)将y表示成x的函数f(x)，并求f(x)的最小正周期；(2)记f(x)的最大值为M，a，b，c分别为ABC的三个内角A，B，C对应的边长若f()M，且a2，求bc的最大值解析(1)由ab得2cos2x2sinxcosxy0，即y2cos2x2sinxcosxcos2xsin2x12sin(2x)1所以f(x)2sin(2x)1又T，所以函数f(x)的最小正周期为(2)由(1)易得M3，于是由f()M3，即2sin(A)13，得sin(A)1因为A为三角形的内角，故A由余弦定理a2b2c22bccosA，得4b2c2bc2bcbcbc，解得bc4，当且仅当bc2时，bc取最大值4