1、第十节 导数在研究函数中的应用 考点探究挑战高考 考向瞭望把脉高考 第十节 导数在研究函数中的应用 双基研习面对高考 1函数的单调性与导数基础梳理 双基研习面对高考 思考感悟1若函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，这种说法是否正确？提示：不正确，函数f(x)在区间a，b内单调递增，则f(x)0，此处f(x)0，并不是指x在a，b内处处有f(x)0，可能只在某些具体的点处f(x)0，即f(x)不恒等于0.2函数的极值(1)函数的极值的概念：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小，f(a)0；而且在点xa附近的左侧_，右侧_，则点a叫做函数yf(x)
2、的_，f(a)叫做函数yf(x)的_f(x)0f(x)0极小值点极小值函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，f(b)0；而且在点xb附近的左侧_，右侧_，则点b叫做函数yf(x)的_，f(b)叫做函数yf(x)的_极小值点、极大值点统称为_，极大值和极小值统称为_(2)求函数极值的步骤：求导数f(x)；求方程f(x)0的根；检查方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取_，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取_f(x)0f(x)0极大值点极大值极值点极值极大值极小值思考感悟2方程f(x)0的根就是函数yf(x)的极值点是否正确？提示：不正
3、确，方程f(x)0的根未必都是极值点3函数的最大值与最小值在闭区间a，b上连续，在(a，b)内可导，f(x)在a，b上求最大值与最小值的步骤：(1)_；(2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是_，最小的一个是_求f(x)在(a，b)内的极值最大值最小值4生活中的优化问题利用导数解决实际问题中的最值问题应注意：(1)在求实际问题中的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际问题的值应舍去(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f(x)0的情形，那么不与端点值比较，也可知道这就是最大(小)值(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的自
4、变量的函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义区间1函数f(x)xlnx的单调区间是_答案：(0,1)2函数y2x33x212x5在0,3上的最大值，最小值分别是_答案：5，15课前热身 3f(x)x33x23x的极值点的个数是_答案：04函数yax3x在(，)上是减函数，则a的取值范围是_答案：(，0考点探究挑战高考 考点突破 导数与函数的单调性 利用导数判断函数单调性的步骤(1)求导数f(x)；(2)在函数f(x)的定义域内解不等式f(x)0或f(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；当 x(1，)时，g(x)0，函数 f(x)单调递增()当 a0 时，由 f(x)
5、0，即 ax2x1a0，解得 x11，x21a1.当 a12时，x1x2，g(x)0 恒成立，此时f(x)0，函数 f(x)在(0，)上单调递减当 0a1，x(0,1)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(1，1a1)时，g(x)0，函数 f(x)单调递增；x(1a1，)时，g(x)0，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减当 a0 时，由于1a10，此时 f(x)0，函数 f(x)单调递减；x(1，)时，g(x)0，函数 f(x)单调递增综上所述，当 a0 时，函数 f(x)在(0,1)上单调递减；在(1，)上单调递增；当 a12时，函数 f(x)在(0，)上单调递
6、减；当 0a12时，函数 f(x)在(0,1)、(1a1，)上单调递减；在(1，1a1)上单调递增【名师点评】常见的分类讨论原因有函数的类型不确定及求的根大小不确定等，与求导后所得的函数类型有关，讨论的关键是要理清线索，做到不重不漏变式训练1 设函数f(x)x3ax29x1(a0)若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求：(1)a的值；(2)函数f(x)的单调区间解：(1)因为 f(x)x3ax29x1，所以 f(x)3x22ax93(xa3)29a23.即当 xa3时，f(x)取得最小值9a23.因为斜率最小的切线与 12xy6 平行，即该切线的斜率为12，所以9a23 12
7、，即 a29.解得 a3，由题设知 a0，故 f(x)在(，1)上为增函数；当 x(1,3)时，f(x)0，故 f(x)在(3，)上为增函数由此可见，函数 f(x)的单调递增区间为(，1)，(3，)；单调递减区间为(1,3)已知函数 f(x)x2aln x.(1)当 a2 时，求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若 g(x)f(x)2x在1，)上是单调增函数，求实数 a 的取值范围例2【解】(1)由题意得 f(x)的定义域为(0，)，当 a2 时，f(x)2x1x1x，令 f(x)0，得 x1 或 x1(舍去)，当 0 x1 时，f(x)0；当 x1 时，f(x)0；所以 f(x)的递减区
8、间为(0,1)，递增区间为(1，)，极小值为 f(1)1，无极大值(2)由 g(x)x2alnx2x，得 g(x)2xax 2x2，若函数 g(x)为1，)上的单调递增函数，则 g(x)0 在1，)上恒成立即 a2x2x2 在1，)上恒成立，令 h(x)2x2x2，则 h(x)2x24x0，所以 h(x)在1，)上为减函数，因此 h(x)有最大值 h(1)0，所以 a 的取值范围是0，)【名师点评】在解决已知函数单调区间求参数值或范围时，要注意两种题型的区别，一是已知f(x)单调区间为D，求参数范围，二是已知f(x)在D上单调，求参数范围解 析：由 题 意 知，f(x)2x 2 ax 2x22
9、xax，f(x)在区间(0,1上恒为单调函数，f(x)在区间(0,1上恒大于等于 0或恒小于等于 0，变式训练2 已知f(x)x22xalnx，若f(x)在区间(0,1上恒为单调函数，则实数a的取值范围为_2x22xa0或2x22xa0在区间(0,1上恒成立，即a(2x22x)或a(2x22x)，而函数y2x22x在区间(0,1的值域为4,0)，a0或a4.答案：a0或a4导数与函数的极(最)值 利用导数求函数极(最)值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，
10、那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值已知函数 f(x)ax33x213a(aR且 a0)，试求函数 f(x)的极大值与极小值例3【思路分析】先求出函数f(x)的导函数f(x)，再令导函数f(x)0，并求出其根，然后对a分a0、a0 时，随 x 的变化，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，0)0(0，2a)2a(2a，)f(x)00f(x)极大值极小值f(x)极大值f(0)13a，f(x)极小值f(2a)4a23a1.当 a0 时，随 x 的变化，f(x)与 f(x)的变化情况如下：x(，2a)2a(2a，0)0(0，)f(x)00f(x)极小值极大值
11、f(x)极大值f(0)13a，f(x)极小值f(2a)4a23a1.综上，当 aR，且 a0 时，f(x)极大值f(0)13a，f(x)极小值f(2a)4a23a1.【名师点评】本题是三次函数的极值点问题，三次函数求导后，导函数为二次函数，因而讨论时可结合二次函数的知识，尤其是二次函数的图象来研究变式训练3(2010年高考重庆卷)已知函数f(x)ax3x2bx(其中常数a，bR)，g(x)f(x)f(x)是奇函数(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值与最小值解：(1)由题意得 f(x)3ax22xb.因此 g(x)f(x)f(x)ax3(3a1
12、)x2(b2)xb.因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(x)g(x)，即对任意实数 x，有 a(x)3(3a1)(x)2(b2)(x)bax3(3a1)x2(b2)xb，从而 3a10，b0，解得 a13，b0，因此 f(x)的解析表达式为 f(x)13x3x2.(2)由(1)知 g(x)13x32x，所以 g(x)x22，令 g(x)0，解得 x1 2，x2 2，则当 x 2时，g(x)0，从而 g(x)在区间(，2，2，)上是减函数；当 2x0，从而 g(x)在区间 2，2上是增函数由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在 x1，2，2 时取得，而 g(1)53，g(2
13、)4 23，g(2)43.因此 g(x)在区间1,2上的最大值为 g(2)4 23，最小值为 g(2)43.导数在实际生活中的应用(1)分析实际问题中各变量之间的关系，建立实际问题的数学模型，写出相应的函数关系式yf(x)；(2)求导数f(x)，解方程f(x)0；(3)判断使f(x)0的点是极大值还是极小值点；(4)确定函数的最大值或最小值，还原到实际问题中作答一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点(2011年泰州高三联考)甲、乙两水池某时段的蓄水量随时间变化而变化，甲水池蓄水量(百吨)与时间t(小时)的关系是：f(t)2sint，t0,12，乙水池蓄水
14、量(百吨)与时间t(小时)的关系是：g(t)5|t6|，t0,12问：何时甲、乙两水池蓄水量之和达到最大值？最大值为多少？(参考数据：sin60.279)例4【思路分析】建立甲、乙两水池蓄水量之和与关于t的函数关系，利用导数求解模型【解】设甲、乙两水池蓄水量之和为H(t)f(t)g(t)，当t0,6时，H(t)f(t)g(t)2sint5(6t)sintt1，H(t)cost10，所以H(t)在t0,6上单调递增，所以H(t)maxH(6)7sin66.721；当t(6,12时，H(t)f(t)g(t)2sint5(t6)sintt13，H(t)cost10，所以H(t)在t(6,12上单调递
15、减，所以H(t)6.721；故当t6 h时，甲、乙两水池蓄水量之和H(t)达到最大值，最大值约为6.721百吨【名师点评】实际应用问题中的导数模型，主要是利用导数求最值，一旦在题中建立了函数关系，就转化成了函数求导问题，因而准确建立函数关系是解题的关键变式训练4如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处，AB20 km，BC10 km.为了处理三家工厂的污水，现要在该矩形区域上(含边界)，且与A、B等距离的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、PO.设排污管道的总长度为y km.(1)按下列要求建立函数关系：()设BAO(rad),将y表示
16、为的函数；()设POx(km)，将y表示成x的函数(2)请你选用(1)中的一个函数关系，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道的总长度最短 解：(1)()如图，延长 PO 交 AB 于点 Q.由题设可知 BQAQ12AB10，AOBO，PO10OQ.在 RtAQO 中，AO 10cos，OQ10 tan，所以 yAOBOPO 20cos1010 tan.又易知 04，故 y 用 表示的函数为y 20cos10 tan10(04)()由题设可知，在 RtAQO 中，AOAQ2OQ210210 x2，则 yAOBOPOx210210 x2.显然 0 x10，所以 y 用 x 表示的函数为yx2x2
17、20 x200(0 x10)(2)选用(1)中的函数关系y 20cos10tan10(04)，来确定符合要求的污水处理厂的位置因为 y 20cos 10tan10 20cos10sincos10，所以 y20 sincos2 10cos2sin2cos2102sin1cos2.由 y0，得 sin12.因 04，故 6.当 0，6)时，y0；当(6，4时，y0，所以函数 y 在 6时取得极小值，这个极小值就是函数 y 在0，4上的最小值当 6时，AOBO 10cos620 33(km)因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到 A、B两点的距离为20 33km 时，铺设的排污管道的总长度最短方法技巧
18、1利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f(x)0(或f(x)g(x)，通常转化为证明F(x)f(x)g(x)0，也就是证明F(x)min0，因此可利用导数求F(x)min.3函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的函数的极值可以有多有少，但最值只有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值失误防范1利用导数求解函数的单调区间时，忽视定义域常造成单调区间错误2在已知函数的单调性求某些字母的取值范围时，常转化为f(x)0或f
19、(x)0恒成立的问题，此处易忘掉对“”的考虑，即问题考虑不严谨3有关函数f(x)与f(x)的图象，在判断时，f(x)的符号反映f(x)的单调性，易错认为f(x)的图象的单调趋向就是f(x)的单调趋向本部分是历年高考的一个热点，主要考查利用导数判断或论证函数的单调性、函数的极值或最值，在应用题中用导数求函数的最大值和最小值等，属于中高档题以函数为背景，以导数为工具，在函数、不等式及解析几何等知识网络交汇点命题，已成为高考的热点问题考向瞭望把脉高考 考情分析 另外，利用导数处理三次函数问题已成为新高考命题的一大亮点，而三次函数作为高次函数，在高中数学中，主要是以导数为载体进行研究的，因此，利用导数
20、解决三次函数问题已成为高考命题的一个趋势(本题满分 14 分)(2010 年高考陕西卷)已知函数 f(x)x，g(x)alnx，aR.(1)若曲线 yf(x)与曲线 yg(x)相交，且在交点处有相同的切线，求 a 的值及该切线的方程；(2)设函数 h(x)f(x)g(x)，当 h(x)存在最小值时，求其最小值(a)的解析式；(3)对(2)中的(a)，证明：当 a(0，)时，(a)1.例规范解答【解】(1)f(x)12 x，g(x)ax(x0)，2 分由已知得 xalnx，12 xax，解得ae2xe2，两条曲线交点的坐标为(e2，e)切线的斜率为 kf(e2)12e，切线的方程为 ye 12e
21、(xe2).4 分(2)由条件知 h(x)xalnx(x0)，h(x)12 xax x2a2x，6 分当 a0 时，令 h(x)0，解得 x4a2，当 0 x4a2 时，h(x)0，h(x)在(0,4a2)上递减；当 x4a2 时，h(x)0，h(x)在(4a2，)上递增x4a2 是 h(x)在(0，)上的惟一极值点，且是极小值点，从而也是 h(x)的最小值点.8 分最小值(a)h(4a2)2aaln4a22a(1ln2a)当 a0 时，h(x)x2a2x0，h(x)在(0，)上递增，无最小值故 h(x)的最小值(a)的解析式为(a)2a(1ln2a)(a0).10 分(3)证明：由(2)知(
22、a)2a(1ln2lna)，则(a)2ln2a，令(a)0 解得 a12.当 0a12时，(a)0，(a)在(0，12)上递增；当 a12时，(a)0，(a)在(12，)上递减(a)在 a12处取得极大值(12)1.12 分(a)在(0，)上有且只有一个极值点，(12)1 也是(a)的最大值当 a(0，)时，总有(a)1.14 分【名师点评】导数的有关问题的解法基本上是固定不变的，变化的常常是问题与条件的变换，如本题第(3)问是一种恒成立问题，其实质是转化为求(a)的最大值因而，导数题的难点在于是否理解透彻题意，转化为常见的函数求导问题在掌握此类题目时可掌握住通性通法，并了解有关的命题方式解析
23、：y12cosx，由y0，0 x2，即12cosx0，0 x2，得3x53.函数 yx2sinx 在(0,2)内的增区间为(3，53)1函数yx2sinx在(0,2)内的单调增区间为_答案：(3，53)名师预测 解析：f(x)3x22axb，由题意f110，f10，即1aba210，32ab0，得 a4 或 a3.但当 a3 时，b3，f(x)3x26x30，故不存在极值，a4，b11，f(2)18.2已知函数f(x)x3ax2bxa2在x1处取极值10，则f(2)_.答案：183已知函数f(x)x33x29xa(a为常数)，在区间2，2上有最大值20，那么此函数在区间2,2上的最小值为_解析：f(x)3x26x90得x1或x3(舍去)，f(2)2a，f(1)5a，f(2)a22，a2220，a2.故最小值为f(1)7.答案：74设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_解析：yexa0，exa，xln(a)，x0，ln(a)0且a0.a1，即a1.答案：a1本部分内容讲解结束 点此进入课件目录按ESC键退出全屏播放谢谢使用
