1、第9讲函数模型及其应用考纲解读1.了解指数函数、对数函数及幂函数的增长特征，掌握求解函数应用题的步骤(重点)2了解函数模型及拟合函数模型；在同一坐标系中能对不同函数的图象进行比较3建立函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的)，要正确地确定实际背景下的定义域，将数学问题还原为实际问题(难点)考向预测从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个冷考点预测2021年高考将主要考查现实生活中的生产经营、工程建设、企业的赢利与亏损等热点问题中的增长或减少问题，以一次函数、二次函数、指数、对数型函数及对勾函数模型为主，考查考生建模能力和分析解决问题的能力.1.七类常见函数模型
2、函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数且k0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)幂函数模型f(x)axnb(a，b为常数，a0)“对勾”函数模型f(x)x(a0)2指数、对数、幂函数模型的性质 函数性质 yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x
3、的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxn1)的增长速度会超过并远远大于yx(0)的增长速度()(2)指数函数模型，一般用于解决变化较快，短时间内变化量较大的实际问题()(3)对数函数增长模型比较适合于描述增长速度平缓的变化规律()答案(1)(2)(3)2小题热身(1)(2019湖北八校联考)有一组试验数据如表所示：x2.0134.015.16.12y38.011523.836.04则最能体现这组数据关系的函数模型是()Ay2x11 Byx21Cy2log2x Dyx3答案B解析根据表中数据可知，能体现这组数据关系的函数模型是yx21.(2
4、)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，某部门为尽快稳定菜价，提出四种绿色运输方案据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是()答案B解析B中，Q的值随t的变化越来越快故选B.(3)某市出租汽车的车费计算方式如下：路程在3 km以内(含3 km)为8.00元；达到3 km后，每增加1 km加收1.40元；达到8 km后，每增加1 km加收2.10元增加不足1 km按四舍五入计算某乘客乘坐该种出租车交了44.4元车费，则此乘客乘该出租车行驶的路程可以是()A22 km B2
5、4 km C26 km D28 km答案A解析设乘客坐车行驶了x km，根据题意，得8(83)1.4(x8)2.144.4.872.1x16.844.4.21x46.2，x22.所以，此乘客乘该出租车行驶的路程是22 km.(4)有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为_ m2.(围墙厚度不计)答案2500解析设围成的矩形的长为x m，则宽为 m，则Sx(x2200x)(x100)22500.当x100时，Smax2500 m2.题型 一用函数图象刻画变化过程1高为H，满
6、缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数vf(h)的大致图象是()答案B解析当hH时，体积为V，故排除A，C；由H0过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减少的越来越快到越来越慢，故选B.2如图，矩形ABCD的周长为8，设ABx(1x3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN1，当N沿ADCBA在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数yf(x)的图象大致为()答案D解析由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形因为矩形ABCD的周长为8，ABx，则AD
7、4x，所以yx(4x)(x2)24(1x3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x2时，y4(3,4)，故选D.判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象如举例说明2.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案如举例说明1. 1(2019安阳模拟)如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系图，若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是
8、()答案C解析根据图象可知在第一段时间张大爷离家距离随时间的增加而增加，在第二段时间内，张大爷离家的距离不变，第三段时间内，张大爷离家的距离随时间的增加而减少，最后回到始点位置，对比各选项，只有C正确2一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示给出以下3个论断：0点到3点只进水不出水；3点到4点不进水只出水；4点到6点不进水不出水，则一定正确的是()A B C D答案A解析由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一
9、个出水口出水，一定正确的是.题型 二已知函数模型的实际问题某校学生研究学习小组发现，学生上课的注意力指标随着听课时间的变化而变化，老师讲课开始时，学生的兴趣激增；接下来学生的兴趣将保持较理想的状态一段时间，随后学生的注意力开始分散设f(t)表示学生注意力指标该小组发现f(t)随时间t(分钟)的变化规律(f(t)越大，表明学生的注意力越集中)如下：f(t)(a0且a1)若上课后第5分钟时的注意力指标为140，回答下列问题：(1)求a的值；(2)上课后第5分钟和下课前第5分钟比较，哪个时间注意力更集中？并请说明理由；(3)在一节课中，学生的注意力指标至少达到140的时间能保持多长？解(1)由题意得
10、，当t5时，f(t)140，即100a60140，解得a4.(2)因为f(5)140，f(35)1535640115，所以f(5)f(35)，故上课后第5分钟时比下课前第5分钟时注意力更集中(3)当0t10时，由(1)知，f(t)100460140，解得5t10；当10140恒成立；当20t40时，f(t)15t640140，解得20200，两边同时取对数，得n1，又3.8，则n4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.3已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用PAlg nA来记录A菌个数
11、的资料，其中nA为A菌的个数，现有以下几种说法：PA1；若今天的PA值比昨天的PA值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5PA5.5(注：lg 20.3)则正确的说法为_(写出所有正确说法的序号)答案解析当nA1时，PA0，故错误；若PA1，则nA10，若PA2，则nA100，故错误；设B菌的个数为nB5104，nA2105，PAlg nAlg 25.又lg 20.3，PA5.3，则5PA0，解得x2.3，x为整数，3x6，xZ.当x6时，y503(x6)x1153x268x115.令3x268x1150，有3x268x1150，结合x为整数
12、得6x20，xZ.y(2)对于y50x115(3x6，xZ)，显然当x6时，ymax185；对于y3x268x11532(6185，当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多角度4构造yx(a0)型函数5某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单
13、位：平方米)之间的函数关系是C(x)(x0，k为常数)记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和(1)试解释C(0)的实际意义，并建立y关于x的函数关系式并化简；(2)当x为多少平方米时，y取得最小值，最小值是多少万元？解(1)C(0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，C(0)4，k1000，y0.2x40.2x(x0)(2)y0.2(x5)1217，当0.2(x5)，即x15时，ymin7，故当x为15平方米时，y取得最小值7万元1解函数应用题的一般步骤第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立
14、相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性2建模的基本原则(1)在实际问题中，若两个变量之间的关系是直线上升或直线下降或图象为直线(或其一部分)，一般构建一次函数模型，利用一次函数的图象与性质求解(2)实际问题中的如面积问题、利润问题、产量问题或其图象为抛物线(或抛物线的一部分)等一般选用二次函数模型，根据已知条件确定二次函数解析式结合二次函数的图象、最值求法、单调性、零点等知识将实际问题解决(3)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个
15、关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车计价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解 1国家对某行业征税的规定如下：年收入在280万元及以下部分的税率为p%，超过280万元的部分按(p2)%征税有一公司的实际缴税比例为(p0.25)%，则该公司的年收入是()A560万元 B420万元C350万元 D320万元答案D解析设该公司的年收入为x万元，纳税额为y万元，则由题意得y依题有(p0.25)%，解得x320.故选D.2(2019福建三明联考)用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据：lg 20.3010)()A3 B4 C5 D6答案B解
16、析设至少要洗x次，则x，x3.322，因此至少需要洗4次，故选B.3某人准备购置一块占地1800平方米的矩形地块，中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中ab12，若要使S最大，则y_.答案45解析由题可得，xy1800，b2a，则yab33a3，S(x2)a(x3)b(3x8)a(3x8)18083xy.解法一：S18083x1808(x0)，1808218082401568.当且仅当3x，即x40时取等号，S取得最大值此时y45.所以当x40，y45时，S取得最大值解法二：设Sf(x)1808(x0)，f(x)3，令f(x)0得x
17、40，当0x0，当x40时，f(x)0.所以当x40时，S取得最大值此时y45，所以当x40，y45时，S取得最大值组基础关1某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y与投放市场的月数x之间关系的是()Ay100x By50x250x100Cy502x Dy100log2x100答案C解析对于A中的函数，当x3或4时，误差较大对于B中的函数，当x4时误差较大对于C中的函数，当x1,2,3时，误差为0，x4时，误差为10，误差很小对于D中的函数，当x4时，据函数式得到的结果为300，与实际值79
18、0相差很远综上，只有C中的函数误差最小2据统计，每年到鄱阳湖国家湿地公园越冬的白鹤数量y(只)与时间x(年)近似地满足关系yalog3(x2)，观察发现2014年(作为第1年)到该湿地公园越冬的白鹤数量为3000只，估计到2020年到该湿地公园越冬的白鹤的数量为()A4000只 B5000只 C6000只 D7000只答案C解析当x1时，由3000alog3(12)，得a3000，所以到2020年冬，即第7年，y3000log3(72)6000，故选C.3如图所示的四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的
19、关系，其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案C解析将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的增长速度上反映出来，中的增长应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的增长速度是越来越慢的，正确；中的增长速度是先慢后快，正确；中的增长速度是先快后慢，也正确，故正确选C.4汽车的“燃油效率”，是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况下列叙述中正确的是()A消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多C甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10
20、升汽油D某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油答案D解析根据图象知消耗1升汽油，乙车最多行驶里程大于5千米，故A错误；以相同速度行驶时，甲车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故B错误；甲车以80千米/小时的速度行驶时燃油效率为10千米/升，行驶1小时，里程为80千米，消耗8升汽油，故C错误；最高限速80千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故D正确5(2020泸州诊断)某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10
21、%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A略有盈利 B无法判断盈亏情况C没有盈利也没有亏损 D略有亏损答案D解析由题意可得(110%)3(110%)30.9930.971.因此该股民这只股票的盈亏情况为略有亏损6(2019南充模拟)某地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，经过x年后，绿化面积与原绿化面积之比为y，则yf(x)的图象大致为()答案D解析设某地区起始年的绿化面积为a，因为该地区的绿化面积每年平均比上一年增长18%，所以经过x年后，绿化面积g(x)a(118%)x，因为绿化面积与原绿化面积的比值为y，则yf(x)(118%)x1.18x，因为y1.18x为底数大于
22、1的指数函数，故可排除A，C，当x0时，y1，可排除B，故选D.7某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间满足函数关系式y300020x0.1x2(0x240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，所有生产出来的产品都能卖完，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A100台 B120台 C150台 D180台答案C解析设利润为f(x)万元，则f(x)25x(300020x0.1x2)0.1x25x30000，得x150，所以生产者不亏本时的最低产量为150台故选C.8某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为_
23、答案1解析设年平均增长率为x，则(1x)2(1p)(1q)，x1.9在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为_m.答案20解析设矩形花园的宽为y m，则，即y40x，矩形花园的面积Sx(40x)x240x(x20)2400，当x20 m时，面积最大10某地区居民生活用电分高峰和低谷两个时间段进行计价，该地区电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表低谷时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.56850及以下的部分0.288超过50至200的部分
24、0.598超过50至200的部分0.318超过200的部分0.668超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为_元(用数字作答)答案148.4解析据题意有0.568500.5981500.288500.31850148.4(元)组能力关1国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4000元的按超过部分的14%纳税；超过4000元的按全稿酬的11%纳税若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A3000元 B3800元 C3818元 D5600元答案B解析由题意可建
25、立纳税额y关于稿费x的函数解析式为y显然稿费应为800x4000，则0.14(x800)420，解得x3800.2在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作H)和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作OH)的乘积等于常数1014.已知pH值的定义为pHlg H，健康人体血液的pH值保持在7.357.45之间，那么健康人体血液中的可以为(参考数据：lg 20.30，lg 30.48)()A. B. C. D.答案C解析HOH1014，H21014，7.35lg H7.45，107.45H107.35，100.91014H2，lg (100.7)0.7l
26、g 3lg 2，100.732,100.7，200时，y5，不满足公司的要求(2)对于y1.003x，易知满足，但当x538时，y5，不满足公司的要求(3)对于yln x1，易知满足.当x10,1000时，yln 10001.下面证明ln 100015.因为ln 100015ln 10004(ln 10008)(ln 1000ln 2981)0，满足.再证明ln x1x25%，即2ln x4x0.设F(x)2ln x4x，则F(x)10，x10,1000，所以F(x)在10,1000上为减函数，F(x)maxF(10)2ln 104102ln 1062(ln 103)0，满足.综上，奖励模型yln x1能完全符合公司的要求