1、平面解析几何一、单选题1（2021山东枣庄市高三二模）已知点在抛物线：上，则的焦点到其准线的距离为（ ）ABC1D2【答案】B【解析】由点在抛物线上，求得参数，焦点到其准线的距离即为.【详解】由点在抛物线上，易知，故焦点到其准线的距离为.故选：B.2（2021全国高三专题练习（理）圆截直线所得的最短弦长为（ ）ABCD2【答案】A【解析】直线过定点，在圆内，利用圆的几何性质，结合勾股定理求得最短弦长.【详解】直线过定点，圆可化为，故圆心为，半径为.，所以点在圆内，和的距离为，根据圆的几何性质可知，圆截直线所得的最短弦长为.故选：A3（2021山东青岛市高三一模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为
2、，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD2【答案】C【解析】根据一条渐近线的倾斜角为，由求得，再由求解.【详解】因为双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，故选：C4（2021山东淄博市高三一模）实轴长与焦距之比为黄金数的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线是黄金双曲线，则等于（ ）ABCD【答案】A【解析】根据题意知，平方后利用化简即可求出.【详解】由题意，所以，解得，故选：A5（2021河北张家口市高三一模）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，右顶点为B，若的平分线分别交x轴于点，且，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD【答案】C【解析】由余弦定理求出，即可得到，即，从而，即可得到方程，解得即可；【详解】
3、解：如下图所示：因为，所以由余弦定理得，又，所以因为分别为的平分线，所以，所以由题意可知，点，则由，可得，即，在等式的两边同时除以，可得，解得或因为，所以故选：C6（2021广东湛江市高三一模）已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆C于A，B两点，若=0，且BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由向量知识得出，再由等差数列的性质、勾股定理、椭圆的定义得出，最后由离心率公式得出答案.【详解】因为，所以由BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设在中，解得即由椭圆的定义得的周长为即在直角三角形中，则，故即故选：A7（
4、2021广东湛江市高三一模）已知抛物线C：x2=-2py(p0)的焦点为F，点M是C上的一点，M到直线y=2p的距离是M到C的准线距离的2倍，且MF|=6，则p=（ ）A4B6C8D10【答案】A【解析】利用已知条件结合抛物线的定义求解即可【详解】设，则，解得故选：A8（2021山东济宁市高三一模）已知、是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线上的任意一点（不是顶点），过作角平分线的垂线，垂足为，是坐标原点若，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】先根据题意结合图象判断是的中点， ，再利用中位线定理、双曲线的定义和题中条件求得，即求得，即得渐近线方程.【详解】依题意，延长交于Q，由是
5、的角平分线，可知，是的中点， .又O是的中点，故是的中位线，所以，故，即，故，所以双曲线的渐近线方程为.故选：D.9（2021广东肇庆市高三二模）已知，分别为双曲线：（，）的左、右焦点，为坐标原点，在双曲线存在点，使得，设的面积为.若，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】由，得，再利用勾股定理和结合已知条件及双曲线的定义可得，从而可求出双曲线的离心率【详解】由，得.设，.由，得，即.又，即，所以，所以，故选：A.10（2021山东青岛市高三一模）在抛物线第一象限内一点处的切线与轴交点横坐标记为，其中，已知，为的前项和，若恒成立，则的最小值为（ ）A16B32C64D128【答案
6、】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到与的关系，从而判断出是以为公比的等比数列，再根据等比数列前项和公式求出，得到的范围,即可求出.【详解】因为，所以切线：令，则，有是以为公比的等比数列,，而，恒成立,即的最小值为128.故选：D11（2021河南高三月考（理）已知抛物线的焦点为F，P为C在第一象限上一点，若的中点到y轴的距离为3，则直线的斜率为（ ）ABC2D4【答案】B【解析】由的中点到y轴的距离为3可求得，得出点坐标，即可求出斜率.【详解】的中点到y轴的距离为3，即，解得，代入抛物线方程可得，因为F点的坐标为，所以直线的斜率为故选：B.12（2021浙江高一单元测试）已知直
7、角三角形ABC中，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）ABCD【答案】D【解析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.【详解】以为原点建系，即，故圆的半径为，圆，设中点为，故选：D.13（2021山东烟台市高三一模）已知为抛物线的焦点，直线与交于两点，若中点的横坐标为则（ ）ABCD【答案】C【解析】利用抛物线焦半径的性质，结合中点的横坐标，转化求解即可【详解】解：抛物线的焦点为，直线与抛物线交于，两点，若的中点的横坐标为4，设，则故选：14（2021江苏常州市高三一模）过抛物线上一点P作圆的切线，切点为，则当四边形的面积最小时，P点的坐标是（ ）AB
8、CD【答案】C【解析】利用点在抛物线上设出P点的坐标，求出点P到圆心的距离，对函数求导得出最小值，即四边形的面积最小值，进而可得此时的P点的坐标【详解】由题意可设，当四边形的面积最小时，点P到圆心的距离最小，即，可令，则，则时，此时取得最小值，四边形的面积为，所以故选：C15（2021山东临沂市高三其他模拟）已知双曲线的离心率为，若则的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为（ ）ABCD【答案】C【解析】由离心率求出，再根据焦点到准线的距离，即可求出结果.【详解】因为，所以，而的焦点到渐近线的距离为.所以距离的取值范围为.故选：16（2021辽宁高三二模）已知点，分别是双曲线：的左，右焦点，为坐标
9、原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据，得到为直角三角形，再由，结合双曲线定义得到，然后代入求解.【详解】因为，所以，故为直角三角形，且，.由双曲线定义可得.，.又，整理得.所以.所以，又，所以，所以双曲线的离心率的取值范围为.故选：B17（2021辽宁高三二模）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年325年)，大约100年后，阿波罗尼奥更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质，比如：从抛物线的焦点发出的光线或声波在经过抛物线反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴
10、的光线，经抛物线反射后，反射光线经过抛物线的焦点.设抛物线：，一束平行于抛物线对称轴的光线经过，被抛物线反射后，又射到抛物线上的点，则点的坐标为（ ）ABCD【答案】D【解析】求出入射光线与抛物线的交点坐标，再根据抛物线的光学性质，利用斜率相等列式可解得结果.【详解】设从点沿平行于抛物线对称轴的方向射出的直线与抛物线交于点，易知，将代入抛物线方程得，即，设焦点为，则，设，由，三点共线，有，化简得，解得或(舍)，即.故选：D18（2021辽宁高三二模（理）双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线上一点，轴，则双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】由题设可得，由结合已知，得到齐次方程求a
11、、b的数量关系，写出渐近线方程即可.【详解】由题设，由轴，知，又，得，又，得，又渐近线方程为，即等价于.故选：C.19（2021辽宁高三其他模拟）已知双曲线的右顶点为，右焦点为，是双曲线的一条渐近线上两个不同点，满足，都垂直于轴，过作，垂足为，若四边形的面积是三角形面积的4倍，则双曲线的离心率（ ）AB2C3D【答案】C【解析】依题意得四边形的面积为，三角形面积为，则，即可得离心率【详解】设渐近线，则，又因为，故四边形的面积为三角形面积为，则有，即，离心率故选：C20（2021湖南永州市高三二模）抛物线：的焦点为，是其上一动点，点，直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ）A的最小值是2
12、B动点到点的距离最小值为3C存在直线，使得，两点关于直线对称D与抛物线分别相切于两点的两条切线交于点，若直线过定点，则点在抛物线的准线上【答案】A【解析】A中利用三点共线判断线段和最小值；B中利用两点距离公式转为二次函数最值处理；C中设直线联立方程组结合韦达定理，得中点坐标代入求解即可；D中分别求得方程，进而得直线方程，将点代入求解判断即可.【详解】A选项：对于抛物线：，当时，故点在内部又因为等于到准线的距离，故作到准线的垂线为， 为垂足，当P与三点共线时，取得最小值为，故A正确；B选项：设，则 当时，B错；C选项：设，与交点为 因为，两点关于直线对称，令方程为 因为在抛物线上，联立抛物线得，
13、有两解故，得由于， 所以 代入得 ，又因为，故无解，C错；D选项：设， 由于得，所以因为均为切线，设斜率，则方程为，化简得，方程为，化简得因为与交点为 所以，则方程为，由于直线过定点，所以，即，又因为准线方程为，所以点不在抛物线的准线上，D错故选：A21（2021全国高三专题练习（文）双曲线的光学性质为：如图，从双曲线右焦点发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图，其方程为为其左右焦点，若从右焦点发出的光线经双曲线上的点和点反射后，满足，则该双曲线的离心率为（ ）AB
14、CD【答案】C【解析】连接，已知条件为，设，由双曲线定义表示出，用已知正切值求出，再由双曲线定义得，这样可由勾股定理求出（用表示），然后在中，应用勾股定理得出的关系，求得离心率【详解】易知共线，共线，如图，设，则，由得，又，所以，则，所以，由得，因为，故解得，则，在中，即，所以故选：C22（2021全国高三专题练习）已知是圆上的两个动点，为线段的中点，则（ ）ABCD【答案】C【解析】根据是圆上的两个动点，且，得到向量的模和夹角，再由是线段的中点，用表示向量，然后利用平面向量的数量积运算求解.【详解】解：是圆上的两个动点，又，即,即，即，是线段的中点，.故选：C.23（2021广东广州市高三一
15、模）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【解析】根据上，得到点p在线段AB上，其方程为上，又点在直线l上，联立其方程，求得，然后由求解.【详解】将代入得，将代入得，所以A，B不在直线l上，又上，所以点p在线段AB上，直线AB的方程为：，由，解得，直线方程，即为，设直线的倾斜角为，则，因为，所以，则，所以，即，因为，所以，故选：D24（2021山东日照市高三一模）如图所示，单位圆上一定点与坐标原点重合若单位圆从原点出发沿轴正向滚动一周，则点形成的轨迹为（ ）ABCD【答案】A【解析】分析当单位圆向轴正向滚动个单位长度时的纵坐标，由此判断出点形成的轨迹.【详解】
16、如图所示，记为圆上的三个四等分圆周的点，由题意可知：圆是逆时针滚动的，因为圆的周长为，所以，且圆上点的纵坐标最大值为，当圆逆时针滚动单位长度时，此时的相对位置互换，所以的纵坐标为，排除BCD，故选：A.25（2021山东日照市高三一模）函数（，且）的图象恒过定点，若点在椭圆（，）上，则的最小值为（ ）A12B14C16D18【答案】C【解析】求出的坐标代入椭圆方程，再将化为积为定值的形式，利用基本不等式可求得结果.【详解】由，即，得，所以，因为点在椭圆上，所以（，），所以，当且仅当时，等号成立.故选：C26（2021河北邯郸市高三一模）设是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，点在C的左支上，且，则
17、的面积为（ ）A8BC4D【答案】A【解析】根据已知条件可以求出，由双曲线的可得点在以为直径的圆上，利用时直角三角形，利用勾股定理以及双曲线的定义即可求出，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】由，不妨设，所以，所以点在以为直径的圆上，即是以为直角顶点的直角三角形，故，即又，所以，解得：，所以故选：A27（2021聊城市山东聊城一中高三一模）若双曲线：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线的离心率为（ ）ABC2D【答案】C【解析】已知圆圆心为，半径为，根据圆的相交弦长公式，求出圆心到渐近线的距离，由点到直线的距离公式，建立关系，进而得出关系，即可求解.【详解】双曲线的渐近线方程为，由对称
18、性，不妨取，即又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为 圆心到渐近线的距离，又由点到直线的距离公式，可得，所以.故选：C28（2021全国高三专题练习）设、是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，若上存在点，使得，且，则此双曲线的离心率为（ABCD【答案】A【解析】设，利用余弦定理结合双曲线的定义得出，推导出，利用平面向量数量积的计算可得出与的等量关系，利用双曲线的离心率公式可求得结果.【详解】设，在中，由，得，则，由于，可得，所以，即，可得，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.29（2021江苏盐城市高三二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点作倾斜角为的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限，且
19、若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【解析】由双曲线的定义，可得，在中，由余弦定理可得，再由，即可得解.【详解】由双曲线的定义知，因为，即，所以，在中，由余弦定理知，所以，所以，因为，所以，解得或（舍去）所以双曲线的离心率为2，故选：D.30（2021辽宁高三二模（理）已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，则实数的值为（ ）ABCD【答案】D【解析】根据向量关系可得，即为等边三角形，由此可得圆心到直线距离为，建立方程求得结果.【详解】由得：，又为圆的圆心，则，所以，所以，即，所以，所以为等边三角形，则到直线的距离为：，即 ，故选：D.31（2021河北唐山市高三二模）已知为双曲线的右焦
20、点，为双曲线右支上一点，且位于轴上方，为渐近线上一点，为坐标原点若四边形为菱形，则双曲线的离心率（ ）ABCD【答案】D【解析】设，由，求得，再设，代入双曲线的方程，求得，利用，和双曲线的离心率的定义，即可求解.【详解】由题意，双曲线的焦点，且渐近线方程，因为四边形为菱形，如图所示，设，因为，解得，可得，设，代入双曲线的方程，可得，即，又由，可得，可得，所以双曲线的离心率为.故选：D.32（2021山东枣庄市高三二模）已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据向量数量积为零
21、对应的垂直关系结合双曲线的定义求解出的长度，再根据焦点坐标求解出椭圆的方程，联立直线与椭圆方程可求解出的纵坐标，通过用表示出，则的值可求.【详解】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，由双曲线定义可知：，又因为，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以椭圆方程为，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，故选：A.33（2021全国）已知双曲线的左右顶点分别是，右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的渐近线方程为（ ）ABCD【答案】C【解析】设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积
22、取得最小值，也等价于 取得最大值，利用两角的正切公式知，再利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】根据双曲线的对称性不妨设点的坐标为，由于 为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于 取得最大值， ，当且仅当，即当 时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入，可得 ，即，即 所以双曲线的渐近线方程为：故选：C34（2021全国高三专题练习）抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A2BCD【答案】B【解析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线P
23、A与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，整理可得，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，所以的最大值为：，故选：B二、多选题35（2021全国高三专题练习）已知双曲线的左，右焦点分别为，一条渐近线方程为，为上一点，则以下说法正确的是（ ）A的实轴长为B的离心率为CD的焦距为【答案】AD【解析】根据双曲线方程及一条渐近线求出，写出双曲线方程，
24、根据双曲线的定义、性质即可判断各项的正误.【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为，而一条渐近线方程为，故，双曲线：实轴长，离心率为，由于可能在不同分支上则有，焦距为.A、D正确，B、C错误.故选：AD36（2021广东深圳市高三一模）设、分别是双曲线的左、右焦点，且，则下列结论正确的有（ ）AB当时，C的离心率是2C到渐近线的距离随着n的增大而减小D当时，C的实轴长是虚轴长的两倍【答案】AC【解析】由已知条件值，根据，可计算的值，进而可判断选项A；直接计算可判断选项B；计算到渐近线的距离用表示，即可判断选项C；当时求出得值，可得的关系可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：由双曲线的
25、方程可得，所以，因为，所以，所以，可得：，故选项A正确；对于选项B：当时，双曲线，此时，所以离心率，故选项B不正确；对于选项C：中，由选项A知：，的渐近线方程为，不妨取焦点，则到渐近线的距离，所以到渐近线的距离随着n的增大而减小，故选项C正确；对于选项D：当时，所以实轴长为，虚轴长为，不满足C的实轴长是虚轴长的两倍，故选项D不正确；故选：AC37（2021山东青岛市高三一模）已知圆：，下列说法正确的是（ ）A的取值范围是B若，过的直线与圆相交所得弦长为，方程为C若，圆与圆相交D若，直线恒过圆的圆心，则恒成立【答案】ACD【解析】根据圆的一般方程可判断A；利用点到直线的距离为可判断B；利用两圆心
26、的距离与两圆半径之间的关系可判断C；利用基本不等式可判断D.【详解】对于A，方程表示圆可得，解得，故A正确；对于B，若，可得圆方程：，过的直线与圆相交所得弦长为，则圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，满足条件，故B不正确；对于C，圆心，半径， 圆，圆心为，半径，两圆心的距离为，两圆相交，故C正确；对于D，直线恒过圆的圆心，可得.，当且仅当时取等号，故D正确.故选：ACD.38（2021全国高三专题练习）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（ ）A为的一个焦点B双曲线的离心率为C过点作直线与交于两点，则满足的直线有且只有两条D设为上三点且关于原点对称，则斜率存在时其乘积为【答案】BD【解析】依
27、题意求出双曲线方程，即可判断AB；再由双曲线的对称性判断C；设，利用点差法求出；【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得，所以双曲线，所以，所以则其焦点为、，离心率，故A错误，B正确；过点作直线与交于两点，因为为双曲线的焦点坐标，当直线的斜率不存在时，当直线的斜率为时，所以由双曲线的对称性得，满足的直线有4条，故C错误；设，所以，因为在双曲线上，所以，两式相减得，所以，故D正确；故选：BD39（2021全国高三专题练习）已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则（ ）ABC的面积为D线段的中点到直线的距离为2【答案】AC【解析】先判断直线过焦点，联立方程组结合韦达定理得两根关系，
28、再根据选项一一判断即可【详解】设，抛物线，则 ，焦点为，则直线过焦点；联立方程组 消去得， 则，所以 ，故A正确；由，所以与不垂直，B错；原点到直线的距离为 ，所以的面积为 ，则C正确；因为线段的中点到直线的距离为，故D错故选：AC40（2021江苏省天一中学高三二模）已知点P是双曲线的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A点P的横坐标为B的周长为C大于D的内切圆半径为【答案】ABD【解析】设的内心为，连接，设，利用的面积为20，可求得P点坐标；的周长为，借助P点坐标，可得解；利用，可求得，可研究范围；可求得内切圆半径r.【详解】设的内心为，连接，双曲线：
29、中的，不妨设，由的面积为20，可得，即，由，可得，故A符合题意；由，且，则，则的周长为，故B符合题意；可得，则，则，故C不符合题意；设的内切圆半径为，可得，可得，解得，故D符合题意故选：ABD41（2021全国高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别是，左、右顶点分别是，点是椭圆上异于，的任意一点，则下列说法正确的是（ ）AB直线与直线的斜率之积为C存在点满足D若的面积为，则点的横坐标为【答案】BD【解析】根据椭圆的定义判断A，设，计算斜率之积，判断B，求出当是短轴端点时的后可判断C，由三角形面积求得点坐标后可判断D【详解】由题意，短轴一个顶点，A错；设，则，所以，B正确；因为，所以，从而，而是
30、椭圆上任一点时，当是短轴端点时最大，因此不存在点满足，C错；，则，D正确故选：BD42（2021山东德州市高三一模）已知双曲线，、分别为双曲线的左、右顶点，、为左、右焦点，且，成等比数列，点是双曲线的右支上异于点的任意一点，记，的斜率分别为，则下列说法正确的是（ ）A当轴时，B双曲线的离心率C为定值D若为的内心，满足，则【答案】BCD【解析】对于A求出点，再求的值即可判断；对于B由，解出e的值即可；对于C，写出，利用点 在双曲线上化简即可求解；对于D，设圆I的半径为r，可推出，再结合双曲线的定义，即可得解【详解】a，b，c成等比数列，b2ac，如图，对于A，当PF2x轴时，点P为,，显然 ，即
31、选项A错误；对于B，e2e10，解得（舍负），即选项B正确；对于C,设，则，所以 ，由点在双曲线上可得，代入，故C正确；对于D，设圆I的半径为r，即， 由双曲线的定义知，即， 故选项D正确；故选：BCD43（2021山东高三专题练习）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（ ）A四边形为平行四边形BC直线的斜率为D【答案】AC【解析】利用关于原点对称，可判断A，利用趋近于0时点的位置，得出大于，从而判断B设，计算斜率可判断C，由三角形外角定理得，从而可判断D【详解】双曲线关于原点对称，又直线过原点，所以关于原点对称，由得四
32、边形为平行四边形，A正确；当，点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有，B错设，则，由轴知，而，C正确；中，因此，D错；故选：AC44（2021全国高三专题练习）已知O为坐标原点，分别为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（ ）A若，则双曲线的离心率B若是面积为的正三角形，则C若为双曲线的右顶点，轴，则D若射线与双曲线的一条渐近线交于点Q，则【答案】AB【解析】对选项A，由题意列式得，即可求得；对选项B，利用等边三角形的性质求解得，即可得；对选项C，可得，即可判断，对选项D，举出反例即可判断.【详解】由题意，对于选项A，因为，所以的中垂线与双曲线有交点，即有，解得，故
33、选项A正确；对于选项B，因为，解得，所以，所以，故选项B正确；对于选项C，由题意可得显然不等，故选项C错误；对于选项D，若为右顶点时，则为坐标原点，此时，故选项D错误.故选：AB.45（2021全国高三专题练习）已知抛物线：（），过其准线上的点作的两条切线，切点分别为、，下列说法正确的是（ ）ABC直线的斜率为D线段中点的横坐标为1【答案】BCD【解析】选项A：由点在准线上，可求出，从而可判断；选项B：设直线与抛物线方程联立，由韦达定理可判断；选项C：设，分别求出，方程，根据方程结构可判断；选项D：由点差法可判断.【详解】易知准线方程为，：，故选项A不正确.设直线，代入，得，当直线与相切时，有
34、，即，设，斜率分别为，易知，是上述方程两根，故，故.故选项B正确.设，其中，.则：，即.代入点，得，同理可得，故：，故. 故选项C正确.由，得，即中点横坐标为1. 故选项D正确.故选：BCD46（2021全国高三专题练习）曲率半径是用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度的量，已知对于曲线上点处的曲率半径公式为，则下列说法正确的是（ ）A对于半径为的圆，其圆上任一点的曲率半径均为B椭圆上一点处的曲率半径的最大值为C椭圆上一点处的曲率半径的最小值为D对于椭圆上点处的曲率半径随着的增大而碱小【答案】AC【解析】利用曲率半径公式的定义，A中有圆上任一点；B、C中由椭圆在， 处分别是最大、最小处，结合公式
35、求得曲率半径的范围；D中由公式得，构造，利用导数研究其单调性即可，进而可确定正确选项.【详解】A：由题设知：圆的方程可写为，所以圆上任一点曲率半径为，正确；B、C：由弯曲最大处为，最小处为，所以在处有，在处有，即，故B错误，C正确；D：由题意，处的曲率半径，而，所以，令，则在上有恒成立，故在上随着的增大而增大，错误；故选：AC.三、填空题47（2021河北张家口市高三一模）若为抛物线上一点，抛物线C的焦点为F，则_【答案】5【解析】先把点的坐标代入抛物线方程中求出，再由抛物线的定义可求得的值【详解】由为抛物线上一点，得，可得，则故答案为：548（2021广东汕头市高三一模）写一个焦点在轴上且离
36、心率为的双曲线方程_【答案】（答案不唯一，符合要求就可以）【解析】取，可求得、的值，结合双曲线的焦点位置可得出结果.【详解】取，则，可得，因此，符合条件的双曲线方程为.故答案为：（答案不唯一，符合要求就可以）.49（2021湖南永州市高三二模）已知为坐标原点，双曲线：的离心率为，从双曲线的右焦点引渐近线的垂线，垂足为，若的面积为，则双曲线的方程为_.【答案】【解析】利用数形结合，计算，然后根据面积以及离心率进行计算可得结果.【详解】如图双曲线的一条渐近线方程为：则，所以所以又，所以由得：故双曲线方程为：故答案为：50（2021全国高三专题练习）已知抛物线的焦点为，准线为，点在抛物线上，垂直于点
37、，与轴交于点为坐标原点，且，则_【答案】【解析】依题意，即可得到为的中点，从而求出的纵坐标，再代入抛物线方程求出的横坐标，最后根据焦半径公式计算可得；【详解】解：依题意可得，根据抛物线的定义可知，设与轴相交于点，因为，又，所以，所以为的中点，所以即的纵坐标为，在中令，得，所以，所以故答案为：51（2021山东淄博市高三一模）若抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，则等于_.【答案】【解析】根据抛物线的定义列方程，化简求得的值.【详解】抛物线开口向右，准线为，将的坐标代入抛物线方程得，由于抛物线上的点到其焦点的距离是点到轴距离的3倍，根据抛物线的定义有，所以.故答案为：52（2021广东
38、肇庆市高三二模）已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到抛物线的准线的距离之和的最小值为_.【答案】【解析】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，根据抛物线的定义可得，再根据三角形的性质：即可求解.【详解】设点在抛物线的准线的投影为点，抛物线的焦点为，则.依抛物线的定义，知点到该抛物线的准线的距离为，则点到点的距离与到该抛物线的准线的距离之和.故答案为：.53（2021山东高三专题练习）设F为抛物线的焦点，过F作倾斜角为的直线交C于A，B两点，若，则_.【答案】8【解析】由抛物线的定义可得，设直线的方程为，然后直线方程与椭圆方程联立成方程组，消去得，再由根与系数的关系可得，结合前
39、面的式子可求出的值，从而可得答案【详解】解：设（），则，直线的方程为，由，得，所以，所以，因为，所以，所以，故答案为：854（2021江苏省天一中学高三二模）过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1x26，则|AB|_【答案】8【解析】先确定抛物线中，焦点F(1，0)，再利用定义计算，即得结果.【详解】抛物线y24x中，焦点F(1，0)，而直线AB过焦点F(1，0)，故根据抛物线定义可知.故答案为：8.55（2021山东滨州市高三一模）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，以为圆心的圆与双曲线的一条渐近线相切于第一象限内的一点若直线的斜率为，则双曲线的离
40、心率为_【答案】【解析】由相切求得点坐标，再由直线斜率得出的关系，从而可得离心率【详解】，由题意设，则，解得，即，所以，解得或（舍去）故答案为：56（2021山东德州市高三一模）已知抛物线，点、在抛物线上，且分别位于轴的上、下两侧，若，则直线过定点_【答案】【解析】假设直线方程，然后与抛物线方程联立并使用韦达定理，最后根据得到，简单判断即可.【详解】设直线方程，则，则，且又，所以则或（舍），故直线方程，所以直线过定点故答案为：57（2021湖南岳阳市高三一模）设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为_.【答案】【解析】在中，利用正弦定理：，求得，设
41、，再利用余弦定理求得，然后由求解.【详解】椭圆的焦点为，在中，由正弦定理得：，解得，设，在中，由余弦定理得：，解得，所以，又，所以，整理得，即，解得或（舍去）故答案为：58（2021江苏盐城市高三二模）已知椭圆的右顶点为右焦点为以为圆心，为半径的圆与椭圆相交于两点，若直线过点则的值为_【答案】【解析】由对称性得弦是椭圆的通径，由通径长可得关系式，从而求得【详解】由已知，因为过焦点，所以由对称性知轴，所以，所以故答案为：59（2021辽宁高三二模）过圆：外一点引直线与圆相交于，两点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于，则的值为_.【答案】【解析】利用三角形的面积公式可知，当时，的面积取最大值，再
42、利用点到直线的距离公式可求得结果.【详解】，当时，的面积最大，此时圆心到直线的距离，设直线方程为，则，所以，再将代入，求得.故答案为：60（2021辽宁高三其他模拟）直线与抛物线交于，两点，设抛物线的焦点为，若，则_.【答案】【解析】先联立方程，得，再结合和，建立方程后解方程即可.【详解】联立方程，消去得，则，且.即且，.由题意知.即，即，解得.故答案为：.61（2021山东菏泽市高三一模）在抛物线上任取一点(不为原点)，为抛物线的焦点，连接并延长交抛物线于另一点过分别作准线的垂线，垂足分别为记线段的中点为则面积的最小值为_【答案】【解析】取的中点为，连接，可变形为用表示，设直线方程为，与抛物
43、线方程联立，消元后应用韦达定理得，代入，再由基本不等式可得最小值【详解】焦点为，设直线方程为，由取的中点为，连接，则，故时面积最小为.故答案为：462（2021广东广州市高三一模）已知圆与双曲线的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为，且，则的离心率为_.【答案】【解析】由对称性知关于轴对称，关于轴对称，设得渐近线方程，设，由可得，渐近线方程与圆方程联立消元后由韦达定理得，结合可求得，从而可得离心率【详解】设，渐近线方程是，如图，由对称性可设，则，所以，由，得，代入得，代入得，解得，所以故答案为：63（2021山东济宁市高三一模）实数、满足，则的取值范围是_【答案】【解析】设，可知直线与
44、圆有公共点，利用圆心到直线的距离不大于圆的半径可得出关于的不等式，由此可解得的取值范围，即为所求.【详解】圆的圆心坐标为，该圆的半径为，设，可知直线与圆有公共点，所以，即，解得.因此，的取值范围是.故答案为：.64（2021河北唐山市高三二模）设抛物线的焦点为，直线与交于，与轴交于，若，则_【答案】【解析】由题设知直线必过F点，且在，之间，联立抛物线和直线方程整理并结合韦达定理有，而由抛物线定义可得，即可列方程求，进而求.【详解】由题设知：，而直线过点，又，在，之间，且，即，联立抛物线与直线方程，整理得且，若，则，而，可得，即.故答案为：.65（2021山东日照市高三一模）已知，分别为双曲线:
45、的左、右焦点，为双曲线的右顶点，过的直线与双曲线的右支交于，两点（其中点在第一象限），设，分别为，的内心，则的取值范围是_.【答案】【解析】根据圆的切线长定理和双曲线的定义可推得，的内切圆与轴切于双曲线的右顶点，设直线的倾斜角为，可用表示，根据两点都在右支上得到的范围，利用的范围可求得的取值范围.【详解】如图：设的内切圆与分别切于，所以，所以，又，所以，又，所以与重合，所以的横坐标为，同理可得的横坐标也为，设直线的倾斜角为.则，当时，当时，由题知，.因为两点在双曲线的右支上，且，所以或，.且，综上所述，.故答案为：66（2021山东烟台市高三一模）已知点为直线上一点，且位于第一象限，点，以为直
46、径的圆与交于点(异于)，若，则点的横坐标的取值范围为_.【答案】【解析】根据题意求出圆的方程，进而求出点坐标，根据圆的几何性质，结合锐角三角函数定义及性质进行求解即可.【详解】由题意设，设的中点为，由中点坐标公式可得：，所以以为直径的圆的方程为：，把代入得：，所以，因为是直径，所以，因此，因为，所以，即，化简得：，而，解得.故答案为：67（2021辽宁高三二模（理）在学习推理和证明的课堂上，老师给出两个曲线方程；，老师问同学们：你想到了什么?能得到哪些结论?下面是四位同学的回答：甲：曲线关于对称；乙：曲线关于原点对称；丙：曲线与坐标轴在第一象限围成的图形面积；丁：曲线与坐标轴在第一象限围成的图
47、形面积；四位同学回答正确的有_（选填“甲、乙、丙、丁”）.【答案】甲、乙、丙【解析】在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断甲的正误；在曲线上任取一点，验证点也在曲线上，可判断乙的正误；比较曲线与直线与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丙的正误；曲线与圆与坐标轴在第一象限围成的图形面积的大小，可判断丁的正误.【详解】对于甲的回答，在曲线上任取一点，则，点关于直线的对称点为，且，所以，曲线关于对称，甲的回答正确；对于乙的回答，在曲线上任取一点，则，点关于原点的对称点为，则，所以，曲线关于原点对称，乙的回答正确；对于丙的回答，对于等式，可得，同理可得，当时，当时，在曲线上任取一点，则，
48、即点在直线的下方，如下图所示：直线交轴于点，交轴于点，所以，丙的回答正确；对于丁的回答，在曲线上任取一点，因为，则，则，即点在圆外，如下图所示：圆在第一象限内与两坐标轴围成的区域的面积为，所以，丁的回答错误.故答案为：甲、乙、丙.68（2021山东临沂市高三其他模拟）如图，抛物线的焦点为为抛物线在第一象限内的一点，抛物线在点处的切线与圆相切(切点为)且交轴于点，过点作圆的另一条切线(切点为)交轴于点.若已知，则的最小值为_【答案】【解析】选设出点的坐标，根据导数的几何意义得到切线的斜率，再根据角的互余，得到的正切值，最后再中，由正弦定理可得到的表达式，再通过其表达式求出最小值.【详解】，设，由
49、，则，抛物线，所以，不妨设，则，因为，所以，所以，所以，所以，所以，在中，由正弦定理有当且仅当时，即时，故答案为：五、双空题69（2021湖南长沙市长郡中学高三月考）2021年是中国传统的“牛”年，可以在平面坐标系中用抛物线与圆勾勒出牛的形象已知抛物线：的焦点为，圆：与抛物线在第一象限的交点为，直线：与抛物线的交点为，直线与圆在第一象限的交点为，则_；周长的取值范围为_【答案】2 【解析】联立圆与抛物线的方程即可求得m，然后由分别与抛物线，与圆的方程联立求得A，B的坐标，再结合抛物线的定义求解.【详解】如图所示：由，解得，由，解得，所以由，解得，所以，由抛物线的定义得：，周长，.，故答案为：2
50、，70（2021全国高三专题练习）阿波罗尼期（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点、间的距离为4，动点满足，则动点的轨迹所围成的图形的面积为_；最大值是_.【答案】 【解析】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，求出阿氏圆方程，可得半径，从而得面积由，利用向量数量积的坐标表示求出，结合在圆上可得最大值【详解】以经过，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，如图，则，设，得：，点的轨迹为圆（如图），其面积为.，如图当位于点时，最大，最大值为，故最大值是.故答案为：； .71（2021全国高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，且，则的标准方程为_；若过点的直线与椭圆交于两点，且点关于点对称，则的方程为_.【答案】 【解析】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义，由题中条件，得到；再由勾股定理，根据，求出，得到，即得椭圆方程；设，根据题中条件，由中点坐标公式，得出，再将坐标代入椭圆方程，两式作差整理，求出直线的斜率，即可求出直线方程.【详解】记椭圆的半焦距为，根据椭圆的定义可得，则，又，则，所以，则；所以，因此椭圆的方程为；设，因为点关于点对称，所以；由题意可得，两式作差可得，则，所以直线的方程为，即.故答案为：；.
