1、一元函数导数及其应用一、单选题1（2021广东肇庆市高三二模）曲线在处的切线方程为（ ）ABCD【答案】A【解析】求出导函数，计算出为切线斜率，再求得，由点斜式写出直线方程，并整理【详解】，故切线方程为，即.故选：A.2（2021山东菏泽市高三一模）函数的图象大致为（ ）ABCD【答案】B【解析】判断函数的奇偶性，再判断函数值的正负，从而排除错误选项，得正确选项【详解】因为所以得，所以为奇函数排除C;在，设， ，单调递增，因此，故在 上恒成立，排除AD故选：B.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函
2、数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.3（2021辽宁沈阳市高三一模）已知函数分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数有唯一零点，则正实数的值为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先利用方程组的方法分别求函数和的解析式，令，利用导数分析函数的单调性，以及极值点，利用函数有唯一的零点，可知极小值，利用平移可知，求正实数的值.【详解】由已知条件可知由函数奇偶性易知令，为偶函数.当时，单调递增，当时，单调递减，仅有一个极小值点图象右移一个单位，所以仅在处有极小值，则函数只有一个零点，即，解得，故选：A4（2021全国高三专题
3、练习（文）已知函数在定义域上单调递增，且关于x的方程恰有一个实数根，则实数a的取值范围为（ ）ABCD(0，1)【答案】C【解析】由递增，先求出的范围，再根据恰有一个实数根，通过数形结合进一步缩小范围.【详解】在定义域上单调增，在处切线为，即，又故与没有公共点与有且仅有一个公共点且为在处的切线的斜率必须大于等于1，综上：故选：C.5（2021山东高三专题练习）已知是定义在上的奇函数，其导函数为且当时，则不等式的解集为（ ）ABCD【答案】B【解析】构造新函数，利用导数确定的单调性，从而可得时的正负，利用奇函数性质得出时的正负，然后分类讨论解不等式【详解】设，则，所以在上递增，又，所以时，此时，
4、所以，时，此时，所以，所以时，因为是奇函数，所以时，由得或，所以或故选：B6（2021湖南岳阳市高三一模）对于函数，若存在，使，则点与点均称为函数的“先享点”已知函数且函数存在5个“先享点”，则实数a的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】首先根据题中所给的条件，判断出“先享点”的特征，之后根据存在5个“先享点”，等价于函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，构造函数利用导数求得结果.【详解】依题意，存在5个“先享点”，原点是一个，其余还有两对，即函数关于原点对称的图象恰好与函数有两个交点，而函数关于原点对称的函数为，即有两个正根，令，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，且
5、，并且当和时，所以实数a的取值范围为，故选：A.7（2021辽宁高三二模（理）已知函数，若成立，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】令，得到关于t的函数式，进而可得关于t的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求的最小值.【详解】令，则，即，若，则，有，当时，单调递减；当时，单调递增；，即的最小值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：令确定关于t的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值.8（2021江苏省天一中学高三二模）若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数，则实数的取值范围是ABCD【答案】C【解析】由题可知，设函数，根据导数求出的极值点，得出单调性，根据在区间内的解集
6、中有且仅有三个整数，转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数，结合图象，可求出实数的取值范围.【详解】设函数，因为，所以，或，因为 时，或时，其图象如下：当时，至多一个整数根；当时，在内的解集中仅有三个整数，只需，所以.故选：C.二、多选题9（2021江苏高三专题练习）对于函数，下列说法正确的是（ ）A在处取得极大值B有两个不同的零点CD若在上恒成立，则【答案】ACD【解析】对求导，利用导函数的符号判断的单调性即可得极值，可判断选项A；由的单调性以及函数值的符号可判断选项B；利用得单调性以及函数值与的关系可判断选项C；分离可得，计算的最大值可判断选项D，进而可得正确选项.【详解】对于选项A：函数
7、定义域为，令可得，令可得，所以在单调递增，在单调递减，所以在时取得极大值，故选项A正确对于选项B：令，可得，因此只有一个零点，故选项B不正确；对于选项C：显然，在单调递减，可得，因为，即，故选项C正确；对于选项D：由题意知：在上恒成立，令则 ，因为易知当时.，当时，所以在时取得极大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，则，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的极值的步骤：写定义域，对函数求导；在定义域内，解不等式和得到单调性；利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.10（2021广东湛江市高三一模）已知函数f(x)=x3-3lnx-1，则（ ）Af(x)的极大值为0
8、B曲线y=f(x)在（1，f(1)处的切线为x轴Cf(x)的最小值为0Df(x)在定义域内单调【答案】BC【解析】直接对f(x)=x3-3lnx-1，求出导函数，利用列表法可以验证A、C、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可.【详解】f(x)=x3-3lnx-1的定义域为，令，得，列表得：x(0,1)1(1,+)-0+f(x)单减单增所以f(x)的极小值，也是最小值为f(1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C正确，A、D错误；对于B:由f(1)=0及，所以y=f(x)在（1，f(1)处的切线方程，即.故B正确.故选：BC【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2
9、）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；（3）利用导数求参数的取值范围.11（2021山东济宁市高三一模）已知函数，其中是自然对数的底数，下列说法中正确的是（ ）A函数的周期为B在区间上是减函数C是奇函数D在区间上有且仅有一个极值点【答案】ACD【解析】选项A：利用周期函数的概念判断即可；选项B：求导，利用导函数求解单调区间即可；选项C：设，利用奇偶性的定义以及两角和与差的正弦余弦公式即可判断；选项D：当时，对函数二次求导，先利用导函数求解单调区间，再利用零点存在定理判断零点即可；当时，利用即可判断.【详解】对于选项A：，故选项A正确；对于选项B：由，得，当时，所以在区间上是增函数，故选
10、项B不正确；对于选项C：，设，则 ，所以函数即是奇函数；故选项C正确；对于选项D：由，得，而，（1）当时，所以，即在区间单调递减，又，所以在区间上存在唯一零点；（2）当时，又，则，则在区间上无零点，综上可得：在区间上有且仅有一个极值点；故选项D正确；故选：ACD.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数的定义域；求导函数，由（或）解出相应的的范围，对应的区间为的增区间（或减区间）；（2）确定函数的定义域；求导函数，解方程，利用的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论的正负，由符号确定在子区间上的单调性.12（2021山东滨州市高三一模）若， 为自然对数的底数
11、，则下列结论错误的是（ ）ABCD【答案】ACD【解析】分别取函数与，通过求导判断其单调性，即可得出结果【详解】令，由，当时，故在上递减，所以，则A错，B正确；令，由，当时有，当时有，所以存在，有，所以在上不单调，在C中，化为，因为，故C错，在D，化为，则D错，故选：ACD13（2021河北邯郸市高三一模）已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（ ）ABC0D2【答案】BC【解析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而令，则，因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增又，所以，
12、即的取值范围是，故选：BC【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.14（2021山东日照市高三一模）已知函数对于任意，均满足.当时，若函数，下列结论正确的为（ ）A若，则恰有两个零点B若，则有三个零点C若，则恰有四个零点D不存在使得恰有四个零点【答案】ABC【解析】设，作出函数的图象，求出直线与曲线相切以及直线过点时对应的实数的值，数形结合可判断各选项的正误.【详解】由可知函数的图象关于直线对称.令，即，作出函数的图象如下图所示：令，则函数的零点个数为函数、的图象的交点个数，的定义域为，且，则函数为偶函数，且函数的图象恒过定点，当函
13、数的图象过点时，有，解得.过点作函数的图象的切线，设切点为，对函数求导得，所以，函数的图象在点处的切线方程为，切线过点，所以，解得，则切线斜率为，即当时，函数的图象与函数的图象相切.若函数恰有两个零点，由图可得或，A选项正确；若函数恰有三个零点，由图可得，B选项正确；若函数恰有四个零点，由图可得，C选项正确，D选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（
14、2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.15（2021山东高三专题练习）函数，则下列说法正确的是（ ）ABC若有两个不相等的实根，则D若均为正数，则【答案】BD【解析】求出导函数，由导数确定函数日单调性，极值，函数的变化趋势，然后根据函数的性质判断各选项由对数函数的单调性及指数函数单调性判断A，由函数性质判断BC，设，且均为正数，求得，再由函数性质判断D【详解】由得：令得，当x变化时，变化如下表：x0单调递增极大值单调递减故，在上递增，在上递减，是极大值也是最大值，时，时，且时，时，A，故A错B，且
15、在单调递增，故：B正确C有两个不相等的零点不妨设要证：，即要证：在单调递增，只需证：即：只需证：令，则当时，在单调递增，即：这与矛盾，故C错D设，且均为正数，则且，故D正确故选：BD16（2021河北唐山市高三二模）若直线与曲线相交于不同两点，曲线在A，点处切线交于点，则（ ）ABCD存在，使得【答案】ABC【解析】对于A：求出过原点的切线的斜率为，根据直线与曲线有两个不同的交点，可得出和范围；对于B：由已知得，不妨设，则，分别求出在点A，点B处的切线方程，由两切线方程求得交点的横坐标，可得结论；对于C：要证，即证，即证，因为，所以需证.构造函数，求导，分析导函数的正负，得出所构造的函数的单调
16、性和最值，可得结论；对于D：设直线AM交轴于C，直线BM交轴于点D，作轴于点E若，则，即，根据正切函数的差角公式和切线的斜率得，【详解】对于A：当时，直线与曲线没有两个不同交点，所以，如图1所示，当直线与曲线相切时，设切点为，则，所以切线方程为：，代入点解得，此时，所以直线与曲线相切，所以当时直线与曲线有两个不同的交点，当时，直线与曲线没有交点，故A正确；对于B：由已知得，不妨设，则，又在点A处的切线方程为：，在点B处的切线方程为，两式相减得，将，代入得，因为，所以，即，故B正确；对于C：要证，即证，即证，因为，所以需证.令，则，令，则点A、B是与的两个交点，令，所以，令，则，所以当时，单调递
17、减，而，所以 ，所以时，所以单调递减，所以，即，又，所以，而，所以当时，单调递增，又，所以，即，故C正确；对于D：设直线AM交轴于C，直线BM交轴于点D，作轴于点E若，则，即，所以，化简得，即，所以，即，令，则，又，所以，而，所以方程无解，所以不存在，使得，故D不正确，故选：ABC三、填空题17（2021全国高三专题练习）曲线在处的切线的倾斜角为，则_.【答案】【解析】对函数求导代入，即可得出，进而可得结果.【详解】则故答案为：18（2021河北邯郸市高三一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为_【答案】3【解析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解.【详解】由，可得因为，所以，即，
18、则，所以，故答案为：3.19（2021辽宁铁岭市高三一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，且曲线在点处的切线斜率为4，则_【答案】【解析】利用奇函数性质，求在时的解析式，根据导数的几何意义有，即可求参数a的值.【详解】当时，则，此时所以，当时，则，解得故答案为：20（2021湖南岳阳市高三一模）已知函数对均有，若恒成立，则实数m的取值范围是_.【答案】【解析】根据条件利用解方程组法求出f（x）的解析式，然后由f（x）lnx恒成立，可得m恒成立，构造函数，求出g（x）的最小值，可进一步求出m的范围【详解】函数f（x）对xR均有f（x）+2f（x）mx6，将x换为x，得f（x）+2f（x）mx6
19、，由，解得f（x）mx2f（x）lnx恒成立，m恒成立，只需m令，则g（x），令g（x）0，则x，g（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，me，m的取值范围为（，e故答案为：（，e21（2021湖南衡阳市高三一模）定义在上的函数满足，的导函数，则_.【答案】【解析】对两边同时求导得,进而得答案.【详解】因为，两边同时求导可得：，故.故答案为：22（2021辽宁高三二模）已知函数，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围是_.【答案】【解析】先研究函数的单调性，再讨论表示的直线与相切时参a的值，结合直线特征确定纵截距使得恒在直线上方，即求得参数的取值范围.【详解】令，则，令，得，当
20、时，单调递减，当时，单调递增.又，则，当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，又，所以，解得此时纵截距为， 故当纵截距时，可以使恒成立，即；当时，若直线与相切时，设切点为，则，解得，又，所以，解得此时纵截距为，故当纵截距时，可以使恒成立，即；由已知对，都有，需.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于确定表示的直线与曲线相切时的临界状态下的纵截距，再结合截距变化确定何时恒在直线上方，即突破难点.23（2021山东德州市高三一模）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为函数的“类对称中心点”，则函数的“类对称中心点”的坐标为_【答案】【解析】先求出，并计算出，
21、然后构造并研究函数的单调性，最后根据“类对称中心点”的定义可得结果.【详解】由题可知：函数定义域为，所以，所以在点的切线方程为：，即，则令，且所以当时，；，所以函数在递减，在递增，不符合在内恒成立当时，；，所以函数在递减，在递增，不符合在内恒成立当时，又，所以在内恒成立故，且所以“类对称中心点”的坐标为故答案为：四、双空题24（2021江苏盐城市高三二模）牛顿选代法又称牛顿拉夫逊方法，它是牛顿在世纪提出的一种在实数集上近似求解方程根的一种方法具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值；过点作曲线的切线，设与轴交点的横坐标
22、为，称为的次近似值一般的，过点作曲线的切线，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值设的零点为，取，则的次近似值为_；设，数列的前项积为若任意恒成立，则整数的最小值为_【答案】 【解析】（1）对函数求导，依次求出切点、斜率、斜线方程，即可得出结果.（2）由（1）可得，进而可得，即可得出结果.【详解】（1），所以当，所以当（2）因为所以，为整数， 故答案为：；2【点睛】关键点点睛：由和，观察得出是本题的关键.本题考查了运算求解能力和逻辑推理能力，属于一般题目.25（2021全国高三专题练习）若对于恒成立，当时，的最小值为_；当时，的最小值是_【答案】1 【解析】令得到，构造函数，则求出，即可求出的最小值；作出的图像，运用函数图像的性质数形结合确定的最小值.【详解】解：时，令，则，令，解得：，且当时，单调递增；当时，单调递减，故的最小值为，的图像如下所示：当时，令，可得，故取得最小值，直线在轴的截距最大，又，结合图像可知：令，可得，则，故.故答案为：1，.