1、双曲线 231 双曲线及其标准方程预习课本 P5255，思考并完成以下问题1平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？2什么是双曲线的标准方程？新知初探1双曲线的定义把平面内与两个定点 F1，F2 的距离的等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线这叫做双曲线的焦点，叫做双曲线的焦距点睛 平面内到两定点 F1，F2 的距离的差的绝对值为非零常数，即|MF1|MF2|2a，关键词“平面内”当 2a|F1F2|时，轨迹不存在差的绝对值两个定点两焦点间的距离2双曲线的标准方程焦点在 x 轴上焦点在 y 轴上标准方程_(a0，b0)_(a0，b0)焦点坐标a，b，c
2、 的关系c2x2a2y2b21y2a2x2b21F1(c,0)，F2(c,0)F1(c,0)，F2(c,0)a2b2点睛(1)标准方程的代数特征：方程右边是 1，左边是关于 x，y 的平方差，并且分母大小关系不确定(2)a，b，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数 a 和 b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里 b2c2a2，与椭圆中 b2a2c2 相区别，且椭圆中 ab0，而双曲线中，a，b 大小不确定小试身手1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线()(2)在双曲线标准方程x2a2y2
3、b21 中，a0，b0 且 ab()(3)双曲线标准方程中，a，b 的大小关系是 ab()答案：(1)(2)(3)2已知 F1(3,3)，F2(3,3)，动点 P 满足|PF1|PF2|4，则 P点的轨迹是()A双曲线 B双曲线的一支C不存在D一条射线答案：B答案：x225y2241 或y225x22413已知双曲线的 a5，c7，则该双曲线的标准方程为_双曲线标准方程的认识典例 已知方程 x2k5y2|k|21 对应的图形是双曲线，那么 k 的取值范围是()Ak5 Bk5 或2k2 或 k2D2k0即k50，|k|20，或k50，|k|25 或2k2答案 B将双曲线的方程化为标准方程的形式，
4、假如双曲线的方程为x2my2n1，则当 mn0，n0，则方程表示焦点在 x 轴上的双曲线；若m0，则方程表示焦点在 y 轴上的双曲线活学活用若 k1，则关于 x，y 的方程(1k)x2y2k21 所表示的曲线是()A焦点在 x 轴上的椭圆B焦点在 y 轴上的椭圆C焦点在 y 轴上的双曲线D焦点在 x 轴上的双曲线解析：选 C 原方程化为 y2k21 x2k11，k1，k210，k10方程所表示的曲线为焦点在 y 轴上的双曲线求双曲线的标准方程典例 求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)a4，经过点 A1，4 103；(2)经过点(3,0)，(6，3)解(1)当焦点在 x 轴上时，设所求标准方程
5、为x216y2b21(b0)，把 A 点的坐标代入，得 b216151609 0)，把 A 点的坐标代入，得 b29，所求双曲线的标准方程为y216x29 1(2)设双曲线的方程为 mx2ny21(mn0)，双曲线经过点(3,0)，(6，3)，9m01，36m9n1，解得m19，n13，所求双曲线的标准方程为x29 y2311双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的 a，b，c，再写出双曲线的标准方程(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x2a2y2b21 或y2a2x2b21(a，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可2求双曲线标准方程的两个关注点(
6、1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定 a2，b2 的具体数值，常根据条件列方程求解根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)与椭圆x227y2361 有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c 6，经过点(5,2)，焦点在 x 轴上活学活用解：(1)椭圆x227y2361 的焦点坐标为 F1(0，3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为y2a2x2b21由题意，知a2b29，42a2 152b21，解得a24，b25.故双曲线的方程为y24x25 1(2)焦点在 x 轴上，c 6，设所求双曲
7、线方程为x2 y261(其中 06)双曲线经过点(5,2)，25 461，5 或 30(舍去)所求双曲线方程是x25 y21双曲线定义的应用解 因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF2|PF1|6，两边平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36，所以|PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100在F1PF2 中，由余弦定理，得 cosF1PF2|PF1|2|PF2|2|F1F2|22|PF1|PF2|1001002|PF1|PF2|0，所以F1PF290，所以 SF1PF212|PF1|PF2|123216典例 已知 F1，F2 分别是双曲线x29 y2161
8、的左、右焦点，若 P是双曲线左支上的点，且|PF1|PF2|32试求F1PF2 的面积一题多变1变条件，变设问 若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点 P 到焦点 F1 的距离为 10求点 P 到 F2 的距离解：由双曲线的标准方程x29 y2161，得 a3，b4，c5由双曲线定义得|PF1|PF2|2a6，|10|PF2|6，解得|PF2|4 或|PF2|162变条件 若本例条件“|PF1|PF2|32”改成“|PF1|PF2|25”其它条件不变，求F1PF2 的面积解：由|PF1|PF2|25，|PF2|PF1|6，可知|PF2|10，|PF1|4，SF1PF21244 68 6在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件|PF1|PF2|2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”(单击进入电子文档)