1、结 束 首 页 末 页下一页上一页预习课本 P4547，思考并完成下列问题(1)定积分的概念是什么？几何意义又是什么？(2)定积分的计算有哪些性质？15.3 定积分的概念结 束 首 页 末 页下一页上一页新知初探1定积分的概念与几何意义(1)定积分的概念：一般地，设函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点 ax0 x1xi1xixnb 将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间xi1，xi上任取一点 i(i1,2，n)，作和式i1nf(i)x ，i1n ban f(i)结 束 首 页 末 页下一页上一页当 n时，上述和式无限接近某个，这个叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作 ，即
2、abf(x)dx，这里，a 与 b 分别叫做积分下限与，区间a，b叫做积分区间，函数 f(x)叫做，x 叫做，f(x)dx 叫做被积式常数常数abf(x)dxi1n ban f(i)积分上限被积函数积分变量结 束 首 页 末 页下一页上一页(2)定积分的几何意义：如果在区间a，b上函数连续且恒有，那么定积分abf(x)dx 表示由直线 xa，xb(ab)，和曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积(如图中的阴影部分的面积)f(x)0y0结 束 首 页 末 页下一页上一页点睛 利用定积分的几何意义求定积分的关注点(1)当 f(x)0 时，abf(x)dx 等于由直线 xa，xb，y0 与曲线 yf
3、(x)围成曲边梯形的面积，这是定积分的几何意义(2)计算abf(x)dx 时，先明确积分区间a，b，从而确定曲边梯形的三条直边 xa，xb，y0，再明确被积函数 f(x)，从而确定曲边梯形的曲边，这样就可以通过求曲边梯形的面积 S而得到定积分的值：当 f(x)0 时，abf(x)dxS；当 f(x)0 时，abf(x)dxS.结 束 首 页 末 页下一页上一页2定积分的性质(1)abkf(x)dx(k 为常数)(2)abf1(x)f2(x)dx .(3)abf(x)dxacf(x)dx_(其中 acb)kab f(x)dxab f1(x)dxab f2(x)dxcb f(x)dx结 束 首 页
4、 末 页下一页上一页小试身手1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)02x2dx1.()(2)ab f(x)dx 的值一定是一个正数()(3)ab(x22x)dxab x2dxab2xdx.()结 束 首 页 末 页下一页上一页2.02 xdx 的值为()A1 B12 C2 D2答案：C结 束 首 页 末 页下一页上一页3已知02 f(x)dx8，则()A01 f(x)dx4B02 f(x)dx4C01 f(x)dx12 f(x)dx8D以上答案都不对答案：C结 束 首 页 末 页下一页上一页4已知0txdx2，则 t0 xdx_.答案：2结 束 首 页 末 页下一页上一页利用定义求定积分典
5、例 利用定义求定积分03x2dx.解 令 f(x)x2，(1)分割：在区间0,3上等间隔地插入 n1 个点，把区间0,3分成 n 等份，其分点为 xi3in(i1,2，n1)，这样每个小区间xi1，xi的长度 x3n(i1,2，n)结 束 首 页 末 页下一页上一页(2)近似代替、求和：令 ixi3in(i1,2，n)，于是有和式：i1nf(i)xi1n3in23n27n3i1ni227n316n(n1)(2n1)9211n 21n.(3)取极限：根据定积分的定义，有03x2dx i1nf(i)x 9211n 21n 9.结 束 首 页 末 页下一页上一页用定义求定积分的一般步骤(1)分割：n
6、 等分区间a，b；(2)近似代替：取点 ixi1，xi，可取 ixi1 或 ixi；(3)求和：i1nf(i)ban；(4)取极限：ab f(x)i1nf(i)ban.结 束 首 页 末 页下一页上一页活学活用利用定积分的定义计算12(x22x)dx 的值解：令 f(x)x22x.(1)分割在区间1,2上等间隔地插入 n1 个分点，把区间1,2等分为n 个小区间1i1n，1in(i1,2，n)，每个小区间的长度为 x1n.结 束 首 页 末 页下一页上一页(2)近似代替、求和取 i1in(i1,2，n)，则Sni1nf1in xi1n1in221in 1n 1n3(n1)2(n2)2(n3)2
7、(2n)2 2n2(n1)(n2)(n3)2n 1n32n2n14n16nn12n16 2n2nn12n21321n 41n 1611n 21n 31n.结 束 首 页 末 页下一页上一页(3)取极限12(x22x)dx 1321n 41n 1611n21n 31n23.Sn结 束 首 页 末 页下一页上一页用定积分的性质求定积分典例(1)f(x)x1，0 x1，2x2，1x2.则02f(x)dx()A.02(x1)dxB.022x2dxC.01(x1)dx122x2dxD.012xdx12(x1)dx结 束 首 页 末 页下一页上一页(2)已知0exdxe22，0ex2dxe33，求下列定积
8、分的值：0e(2xx2)dx；0e(2x2x1)dx.解析(1)由定积分的几何性质得：02f(x)dx01(x1)dx122x2dx.答案：C(2)解：0e(2xx2)dx20exdx0ex2dx2e22e33e2e33.结 束 首 页 末 页下一页上一页0e(2x2x1)dx0e2x2dx0exdx0e1dx，因为已知0exdxe22，0ex2dxe33，又由定积分的几何意义知：0e1dx 等于直线 x0，xe，y0，y1 所围成的图形的面积，所以0e1dx1ee，故0e(2x2x1)dx2e33e22e23e312e2e.结 束 首 页 末 页下一页上一页利用定积分的性质计算定积分的步骤(
9、1)如果被积函数是几个简单函数的和的形式，利用定积分的线性性质进行计算，可以简化计算(2)如果被积函数含有绝对值或被积函数为分段函数，一般利用积分区间的连续可加性计算 结 束 首 页 末 页下一页上一页活学活用若f(x)2x1，1x0，ex，0 x1.且10(2x1)dx2，01exdx1e1，求10 f(x)dx.解：对于分段函数的定积分，通常利用积分区间可加性来计算，即11 f(x)dx10 f(x)dx01 f(x)dx10(2x1)dx01exdx21e1(e11).结 束 首 页 末 页下一页上一页用定积分的几何意义求定积分典例 求定积分：02(4x22x)dx.解 024x22dx
10、 表示圆心在(2,0)，半径等于 2 的圆的面积的14，即024x22dx1422.02xdx 表示底和高都为 2 的直角三角形的面积，即02xdx12222.原式024x22dx02xdx2.结 束 首 页 末 页下一页上一页当被积函数的几何意义明显时，可利用定积分的几何意义求定积分，但要注意定积分的符号 结 束 首 页 末 页下一页上一页活学活用计算33(9x2x3)dx的值解：如图所示，由定积分的几何意义得339x2dx32292，33x3dx0，由定积分性质得33(9x2x3)dx339x2dx33x3dx92.结 束 首 页 末 页下一页上一页 “多练提能熟生巧”见“课时跟踪检测(十)”(单击进入电子文档)