1、第二章 函数、导数及其应用第五节 指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景2理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4知道指数函数是一类重要的函数模型主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一指数与指数幂的运算1根式(1)根式的概念：根式符号表示备注如果_，那么 x 叫做 a 的 n 次方根n1 且 nN当 n 为奇数时，正数的 n 次方根是一个_数，负数的 n 次方根是一个_数n a零的 n 次方根是_当 n 为偶数时，正数的 n 次方根有_个，它们互为_n a(a0)_没有偶次方根(2)两个重要
2、公式：(n a)n_(n1，且 nN)n an n为奇数，|a|n为偶数.2有理指数幂(1)分数指数幂的含义：正分数指数幂a1n a0，amn a0，m，nN，且mn为既约分数.负分数指数幂a mn _(a0，m，nN，且mn为既约分数)0 的 正 分 数 指 数 幂 等 于 _，0 的 负 分 数 指 数 幂_(2)有理指数幂的运算法则：设 a0，b0，对任意有理数，有以下运算法则aa_，(a)_，(ab)_.上述有理指数幂的运算性质，对于无理指数幂也适用答案1(1)xna 正 负 零 两 相反数 负数(2)a a2(1)n a(n a)m n am 1amn 0 没有意义(2)a a ab
3、1判断正误(1)(4 2)42.()(2)n ana.()答案：1.(1)(2)2化简(2)612(1)0 的结果为()A9 B7C10 D9解析：(2)612(1)0(26)12 1817.答案：B3若 xx13，则 x2x2_.解析：由(xx1)2x2x229，得 x2x27.又(xx1)2x22x25，所以 xx1 5，所以 x2x2(xx1)(xx1)3 5.答案：3 5知识点二指数函数的图象与性质yaxa10a0 时，_；x0 时，_；x1 0y1 0y1 增函数 减函数4函数 y112x的定义域为_解析：要使函数有意义，需 112x0，即12x1，x0，即定义域为0，)答案：0，)
4、5函数 yax2 0122 011(a0 且 a1)的图象恒过定点_解析：yax(a0 且 a1)恒过定点(0,1)，yax2 0122 011恒过定点(2 012，2 012)答案：(2 012,2 012)6(2016新课标全国卷)已知则()AbacBabcCbcaDca1，b1，b0C0a0D0a1，b0(2)若曲线|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 的取值范围是_【解析】(1)由 f(x)axb 的图象可以观察出，函数 f(x)axb 在定义域上单调递减，所以 0a1.函数 f(x)axb 的图象是在f(x)ax 的基础上向左平移得到的，所以 b0，故选 D.(2)曲线|y
5、|2x1 与直线 yb 的图象如图所示，由图象可知：如果|y|2x1 与直线 yb 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b1,1【答案】(1)D(2)1,1【总结反思】(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论.1若将本例(2)中“|y|2x1”改为“y|2x1|”，且与直线 yb 有两个公共点，求 b 的取值范围解：曲线 y|2x1|与直线 yb 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线
6、y|2x1|与直线 yb 有两个公共点，则 b 的取值范围是(0,1)2若将本例(2)改为：函数 y|2x1|在(，k上单调递减，则 k 的取值范围是什么？解：因为函数 y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即 k 的取值范围为(，0(1)函数 f(x)1e|x|的图象大致是()(2)已知函数 f(x)|2x1|，abf(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()Aa0，b0，c0 Ba0C2a2cD2a2c2解析：(1)将函数解析式与图象对比分析，因为函数 f(x)1e|x|是偶函数，且值域是(，0，只有 A 满足上述两个性质(2)作 出 函 数 f(x)|2x 1|的 图 象，如
7、 图，abf(c)f(b)，结合图象知 0f(a)1，a0，02a1.f(a)|2a1|12a1，f(c)1，0c1.12cf(c)，12a2c1，2a2c2，故选 D.答案：(1)A(2)D热点三指数函数的性质及应用考向 1 比较大小 AcabBabcCbacDcb012a164a1，解得 a1，即当 f(x)有最大值 3 时，a 的值等于 1.考向 3 指数函数的综合应用【例 5】已知函数 f(x)ax1ax1(a0 且 a1)(1)求 f(x)的定义域和值域(2)讨论 f(x)的奇偶性(3)讨论 f(x)的单调性【解】(1)f(x)的定义域是 R，令 yax1ax1，得 axy1y1.因
8、为 ax0，所以y1y10，解得1y1，所以 f(x)的值域为y|1y1(2)因为 f(x)ax1ax11ax1axf(x)，且定义域关于原点对称，所以 f(x)是奇函数【总结反思】(1)比较大小问题，常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1)法(2)指数函数的综合问题要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论.(1)设 a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，则 a，b，c 的大小关系是()AabcBacbCbacDbca(2)若 xlog521，则函数 y4x2x13 的最小值为()A4 B3C1 D0解析：(1)函数 y0.6x 单调递减，所以 b0.61.5a0.60.61，所以 ba1 和 0a1 两种情况温示提馨请 做：课时作业 8（点击进入）