1、5.1.2数列中的递推学 习 任 务核 心 素 养1理解递推公式的含义(重点)2掌握递推公式的应用(难点)3会利用an与Sn的关系求数列的通项公式(易错点)1通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养2借助递推公式的应用学习，提升数学运算的素养古希腊的毕达哥拉斯学派将1，3，6，10等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列an问题：a2与a1，a3与a2，a4与a3之间分别存在怎样的等量关系？提示a2a12，a3a23，a4a34知识点1数列的递推公式如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都
2、可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式)拓展：数列递推公式与通项公式的关系递推公式通项公式区别表示an与它的前一项an1(或前几项)之间的关系表示an与n之间的关系联系(1)都是表示数列的一种方法；(2)由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式(1)与“不一定所有数列都有通项公式”一样，并不是所有的数列都有递推公式(2)用递推公式给出一个数列，必须给出：“基础”数列an的首项(或前几项)；递推关系1(1)(对接教材P9例1)数列1，的递推公式可以是()AanBanCan1anDan12an(2)已知数列an中，a1，an11，则a2_(1)C(2)3(1)
3、由题意可知C选项符合，故选C(2)因为a1，an11，所以a21123知识点2数列的前n项和(1)一般地，给定数列an，称Sna1a2a3an为数列an的前n项和(2)Sn与an的关系an2已知数列an的前n项和Snn2，则a2_3a2S2S1413 类型1由递推关系写出数列的项【例1】(1)已知数列an满足关系anan11an1(nN)且a2 0202，则a2 021()ABCD(2)已知数列an满足a11，an2an6，则a11的值为()A31 B32 C61 D62(1)B(2)A(1)由anan11an1，得an1，又a2 0202，a2 021，故选B(2)数列an满足a11，an2
4、an6，a3617，a56713，a761319，a961925，a1162531，故选A由递推公式写出数列的项的方法(1)根据递推公式写出数列的前几项，首先要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可(2)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式，如an2an11(3)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式，如an1跟进训练1已知数列an的第1项a11，以后的各项由公式an1给出，试写出这个数列的前5项解a11，an1，a2，a3，a4，a5故该数列的前5项为1， 类型2已知Sn求通项公式an【例2】(对接教材P12例3)已知数列an的前n项
5、和为Sn，求an的通项公式：(1)Sn2n23n；(2)Sn3n2思路点拨应用anSnSn1(n2)求解，注意检验n1时a1是否满足an(n2)解(1)当n1时，a1S1231；当n2时，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5(*)当n1时，a1满足(*)式，故an4n5(2)当n1时，a1S1321当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1(*)当n1时，a1不满足(*)式，故an(变条件)若把本例(1)中的Sn换为Sn2n23n1，再求an的通项公式解当n1时，a1S12310，当n2时，anSnSn14n5(*)显然n1不满足(*)式，故an已知数列an的前n项
6、和公式Sn，求通项公式an的步骤：(1)当n1时，a1S1.(2)当n2时，根据Sn写出Sn1，化简anSnSn1.(3)如果a1也满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为anSnSn1；,如果a1不满足当n2时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式要分段表示为an跟进训练2已知数列an的前n项和为Sn，且Sn4n210n，则a2a6()A52B68C96D108B由题意，数列an满足Sn4n210n，可得当n2时，可得anSnSn14n210n4(n1)210(n1)8n14，所以a2a6(8214)(8614)68故选B 类型3数列的递推公式与通项公式的
7、关系1在数列an中，a13，2，照此递推关系，你能写出an任何相邻两项满足的关系吗？若将这些关系式两边分别相乘，你能得到什么结论？提示按照2可得2，2，2，2(n2)，将这些式子两边分别相乘可得222则2n1，所以an32n1(nN)2在数列an中，若a13，an1an2，照此递推关系试写出前n项中，任何相邻两项的关系，将这些式子两边分别相加，你能得到什么结论？提示由an1an2得a2a12，a3a22，a4a32，anan12(n2，nN)，将这些式子两边分别相加得：a2a1a3a2a4a3anan12(n1)，即ana12(n1)，所以有an2(n1)a12n1(nN)【例3】设数列an是
8、首项为1的正项数列，且an1an(nN)，求数列的通项公式思路点拨由递推公式，分别令n1，2，3，得a2，a3，a4，由前4项观察规律，可归纳出它的通项公式；或利用an1an反复迭代；或将an1an变形为进行累乘；或将an1an变形为1，构造数列nan为常数列解法一：(归纳猜想法)因为an1an，a11，a21，a3，a4，猜想an法二：(迭代法)因为an1an，所以anan1an2a1，从而an法三：(累乘法)因为an1an，所以，则，所以an法四：(转化法)因为an1an，所以1，故数列nan是常数列，nana11，所以an由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为an1anf(n)或an
9、1g(n)an，则可以分别通过累加或累乘法求得通项公式，即：(1)累加法：当anan1f(n)时，常用an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1求通项公式(2)累乘法：当g(n)时，常用ana1求通项公式跟进训练3已知数列an中，a12，an1an3(nN)，写出这个数列的前5项，猜想an并加以证明解a12，a2a135，a3a238，a4a3311，a5a4314，猜想：an3n1证明如下：由an1an3得a2a13，a3a23，a4a33，anan13将上面的(n1)个式子相加，得ana13(n1)，所以an23(n1)3n11数列1，3，6，10，15，的递推公式是()Aan1a
10、nn，nNBanan1n，nN，n2Can1an(n1)，nNDanan1(n1)，nN，n2C由题意知a2a12，a3a23，a4a34，an1ann1，nN，故选C2数列an的前n项和Sn3n22n1，则数列an的通项公式an为()Aan6n5BanCan6n1DanB当n1时，a1S13212当n2时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5(*)又n1时，不满足(*)式，an故选B3已知数列an满足a12，an1an10(nN)，则数列an的通项公式为()Aann21Bann1Can1nDan3nDan1an1，当n2时，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2
11、(1)(n1)3n当n1时，也满足，故an3n(nN)4已知非零数列an的递推公式为a11，anan1(n2)，则a4_4依次对递推公式中的n赋值，当n2时，a22；当n3时，a3a23；当n4时，a4a345古代的商人在堆放物品时，为了节约空间，常把物品垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫作“三角垛”在一个“三角垛”中，自上而下的第一层摆放1个，第二层摆放12个，第三层摆放123个，以此类推13世纪，我国数学家杨辉在详解九章算法中介绍了计算“三角垛”物体总个数的方法：记“三角垛”的层数为n，“三角垛”的物体总数为Sn，则Snn(n1)(n2)由上述材料可知层数为9的“三角垛”的第四层
12、物体数为_，物体总数为_10165由题意该“三角垛”的第四层物体数为123410，物体总数为S991011165故答案为：10；165回顾本节知识，自我完成以下问题：1利用an与Sn的关系求通项公式时，需要注意哪些问题？提示因为anSnSn1只有当n2时才有意义，所以由Sn求通项公式anf(n)时，要分n1和n2两种情况分别计算，然后验证两种情况可否用同一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示2数列的通项公式与递推公式有何区别？提示通项公式直接反映an和n之间的关系，即an是n的函数，知道任意一个具体的n值，就可以求出该项的值an；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个
13、)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出an神奇的斐波那契数列与黄金分割“斐波那契数列(Fibonacci)”的发明者，是意大利数学家列昂纳多斐波那契(Leonardo Fibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨)1202年，他撰写了珠算原理一书他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学他还曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学一、斐波那契数列及其特点：斐波那契数列通项公式：斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8
14、、13、21、菲波纳契数列既谓神奇数字，上述数字自有神奇之处，其特点包括：1、从第三项起，任何一个数字均是其前两个数字的和数，例如112；123；235；358；5813；81321；132134等2、任何两个相隔的数字彼此顺序相除或倒转相除，所得数字分别接近0.382及2.618接近0.382比率，例如：8210.381；13340.382；21550.382等接近2.618比率，例如：2182.625；34132.615；55212.619等3、除首四个数字(1、1、2、3)外，两个相邻数字彼此相除，所得数字分别接近0.618及1.618比率接近0.618比率，例如：580.625；813
15、0.615；13210.619等接近1.618比率，例如：851.6；1381.625；21131.615等二、斐波那契数列与黄金分割数值的密切联系以及在自然界的神奇应用随着数列项数的增加，斐波那契数列前一项与后一项之比越来越逼近黄金分割的数值0.6180339887(黄金分割是指把一线段分为两部分，使得原来线段的长跟较长的那部分的比为黄金分割的点两个这样的点，约等于0.6181)黄金分割与人类的演化和人体正常发育密切相关人的进化过程中，骨骼方面以头骨和腿骨变化最大，躯体外形由于近似黄金而矩形变化最小，人体结构中有许多比例关系接近0.618，近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中
16、有14个“黄金点”(物体短段与长段之比值为0.618)，12个“黄金矩形”(宽与长比值为0.618的长方形)和2个“黄金指数”(两物体间的比例关系为0.618)例如肚脐是头顶足底之分割点；咽喉是头顶肚脐之分割点；膝关节是肚脐足底之分割点；肘关节是肩并节中指尖之分割点等等神奇的0.618黄金分割律，与我们的生活息息相关，也是中老年人养生长寿的密码最佳睡眠时间：从子时到午时共12小时，乘以0.618，约为7.5小时黄金分割是我们在生活中接触得比较多的数学美学问题，有了它生活的色彩就更显多彩：建筑师们早就懂得使用黄金分割比了在公元前3000年建成的埃及法老胡夫的金字塔和公元前432年建成的雅典帕特农神庙就采用了这个神奇之比，因此它的整个结构以及它与外界的配合是那样的和谐美观我们现在的窗户大小，一般都按黄金分割比制成在艺术领域里更是神奇众所周知的维纳斯女神像，她优美的身段可说是完美无缺，而她上下身的比正是黄金分割比芭蕾舞演员顶起脚尖，正是为了使人体的上下身之比更符合黄金比在1483年左右完成的“圣久劳姆”画，作画的外框长方形也符合这个出色的黄金分割比像二胡，提琴这样的弦乐器，当乐师们把它们的码子放在黄金分割比的分点上时，乐器发出的声音是最动人美丽的