1、第四节空间中的垂直关系1直线与平面垂直(1)定义：直线l与平面内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直(2)判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直l性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行ab2.直线和平面所成的角(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角(2)范围：3平面与平面垂直(1)二面角的有关概念：二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角
2、：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角(2)平面和平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直l1.判定定理的理解若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面ab，ab.2性质定理性质定理2如果两个平面互相垂直，那么过第一个平面内的一点且垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内，P，P
3、QPQ性质定理3如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么它们的交线必垂直于第三个平面l，l1(基础知识：面面垂直性质)下列命题中不正确的是()A如果平面平面，且直线l平面，则直线l平面B如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面C如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面D如果平面平面，平面平面，l，那么l答案：A2(基本方法：线面垂直性质)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为()Ab BbCb或b Db与相交答案：C3(基本方法：判断线面垂直)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则m的一个充分条件是()A且m Bmn且nC且m Dmn且n答案：B4
4、(基本应用：空间垂直关系的转化与认识)如图所示，在三棱锥VABC中，VABVACABC90，则构成三棱锥的四个三角形中，直角三角形的个数为_答案：45(基本应用：与射影结合)在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.若PAPBPC，则点O是ABC的_心答案：外题型一线面垂直的判定与性质 典例剖析典例(1)(2021河南商丘模拟)如图所示，PA圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E、F分别是A在PB、PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AE平面PBC.其中正确命题的序号是_解析：由PA平面ABC，BC平面ABC，可得PABC，又AB是圆O的直径，C
5、是圆O上一点，则有BCAC，又PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，故正确；因为AFPC，PCBCC，所以AF平面PBC，又PB平面PBC，所以AFPB，故正确；因为AEPB，AFPB，AEAFA，所以PB平面AEF，又EF平面AEF，所以PBEF，故正确；由于AF平面PBC，AFAEA，所以AE不与平面PBC垂直，故错误综上可知正确命题的序号为.答案：(2)(2020新高考山东卷节选)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.证明：l平面PDC.证明：因为PD底面ABCD，所以PDAD.又底面ABCD为正方形，所以A
6、DDC，所以AD平面PDC.因为ADBC，AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.由已知得lAD，因此l平面PDC.(3)如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点求证：CDAE；PD平面ABE.证明：在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD底面ABCD，PACD.又ACCD，且PAACA，CD平面PAC.AE平面PAC，CDAE.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.由知AECD，且PCCDC，AE平面PCD.PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB
7、.又ABAD，且PAADA，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，PD平面ABE.方法总结证明直线与平面垂直的常用方法(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直”(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线对点训练如图所示，S是RtABC所在平面外一点，且SASBSC，D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在
8、RtABC中，D，E分别为AC，AB的中点DEBC，DEAB.SASB，SEAB.又SEDEE，AB平面SDE.又SD平面SDE，ABSD.在SAC中，SASC，D为AC的中点，SDAC.又ACABA，SD平面ABC.(2)ABBC，BDAC，由(1)可知，SD平面ABC，又BD平面ABC，SDBD.又SDACD，BD平面SAC.题型二平面与平面垂直的判定与性质1.(2020高考全国卷)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，APC90.(1)证明：平面PAB平面PAC；(2)设DO，圆锥的侧面积为，求三棱锥PABC的体积解析：(1)证明：由题设可
9、知，PAPBPC.由ABC是正三角形，可得PACPAB，PACPBC.又APC90，故APB90，BPC90.从而PBPA，PBPC，PAPCP，故PB平面PAC，又PB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.(2)设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题设可得rl，l2r22，解得r1，l.从而AB.由(1)可得PA2PB2AB2，故PAPBPC，所以三棱锥PABC的体积为PAPBPC.2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，PAPD，E，F分别为AD，PB的中点(1)求证：PEBC；(2)求证：平面PAB平面PCD.证明：(1)在PAD中，PAP
10、D，E是AD的中点，PEAD.平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PE平面PAD，PE平面ABCD.又BC平面ABCD，PEBC.(2)底面ABCD为矩形，ADCD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，CD平面PAD.又PA平面PAD，CDPA.又PAPD，CD、PD平面PCD，CDPDD，PA平面PCD.又PA平面PAB，平面PAB平面PCD.方法总结 1证明面面垂直的两种常用方法：(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化
11、为证明平面角为直角的问题2已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面3应用面面垂直时，其性质定理的条件必须具备，缺一不可 题型三空间垂直关系的探索与转化 典例剖析类型 1探索条件(开放性问题)例1如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，若G为AD的中点(1)求证：BG平面PAD；(2)求证：ADPB；(3)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找
12、到一点F，使平面DEF平面ABCD？并证明你的结论解析：(1)证明：在菱形ABCD中，DAB60，G为AD的中点，所以BGAD.又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，所以BG平面PAD.(2)证明：如图，连接PG，因为PAD为正三角形，G为AD的中点，所以PGAD.由(1)知BGAD，又PGBGG，所以AD平面PGB.因为PB平面PGB，所以ADPB.(3)当F为PC的中点时，满足平面DEF平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF.在PBC中，FEPB，在菱形ABCD中，GBDE.而FE平面DEF，DE平面DEF，EFDEE，PB平面PGB，GB平面PGB，PB
13、GBB，所以平面DEF平面PGB.因为BG平面PAD，PG平面PAD，所以BGPG.又因为PGAD，ADBGG，所以PG平面ABCD.又PG平面PGB，所以平面PGB平面ABCD，所以平面DEF平面ABCD.类型 2探索结论(创新问题)例2如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2a，2a，A，B，C，D分别是其四条边的中点现将其沿图中虚线折起，使得P1，P2，P3，P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体下列关于该多面体的命题，正确的是_(写出所有正确命题的序号)该多面体是三棱锥；平面BAD平面BCD；平面BAC平面ACD；该多面体外接球的表面积为5a2.解析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故正确
14、；APBP，APCP，BPCPP，AP平面BCD.又AP平面ABD，平面BAD平面BCD，故正确；同理可证平面BAC平面ACD，故正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径Ra，所以该多面体外接球的表面积为5a2，故正确综上，正确命题的序号为.答案：方法总结探索垂直关系，常采用逆向思维一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直(2)矩形的相邻边垂直(3)直径所对的圆周角的两边垂直(4)菱形的对角线垂直(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路题组突破1如图所示，在四边形ABCD中，ABADCD1
15、，BD，BDCD.将四边形ABCD沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD平面BCD，则下列结论中，正确的结论个数是()ACBD；BAC90；CA与平面ABD所成的角为30；四面体ABCD的体积为.A0 B1C2 D3解析：ABADCD1，BD，ABAD.平面ABD平面BCD，BDCD，平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，取BD的中点O，连接OA，OC(图略)，ABAD，AOBD.又平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，AO平面ABD，AO平面BCD.BDCD，OC不垂直于BD.假设ACBD，OC为AC在平面BCD内的射影，OCBD，矛盾，故错误；CDBD，平面ABD平面B
16、CD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，AB平面ABD，CDAB.ABAD1，BD，ABAD.又CDADD，CD，AD平面ACD，AB平面ACD.又AC平面ACD，ABAC，故正确；CAD为直线CA与平面ABD所成的角，CAD45，故错误；VABCDVCABDSABDCD，故错误答案：B2(2020甘肃诊断)已知长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1，AB4，若在棱AB上存在点P，使得D1PPC，则AD的取值范围是()A(0，1B(0，2C(1， D1，4)解析：连接DP(图略)，由D1PPC，DD1PC，且D1P，DD1是平面DD1P上两条相交直线，得PC平面DD1P，PCDP
17、，即点P在以CD为直径的圆上，又点P在AB上，则AB与圆有公共点，即0ADCD2.答案：B1.(2019高考全国卷)如图，点N为正方形ABCD的中心，ECD为正三角形，平面ECD平面ABCD，M是线段ED的中点，则()ABMEN，且直线BM，EN是相交直线BBMEN，且直线BM，EN是相交直线CBMEN，且直线BM，EN是异面直线DBMEN，且直线BM，EN是异面直线解析：如图，取CD的中点F，DF的中点G，连接EF，FN，MG，GB.ECD是正三角形，EFCD.平面ECD平面ABCD，EF平面ABCD.EFFN.不妨设AB2，则FN1，EF，EN2.EMMD，DGGF，MGEF且MGEF，M
18、G平面ABCD，MGBG.MGEF，BG，BM.BMEN.连接BD，BE，点N是正方形ABCD的中心，点N在BD上，且BNDN，BM，EN是DBE的中线，BM，EN必相交答案：B2(2020高考全国卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面，在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40，则晷针与点A处的水平面所成角为()A20 B40C50 D90解析：如图所示，O为赤道平面，O1为A点处的日晷的晷面所
19、在的平面，由点A处的纬度为北纬40可知OAO140，又点A处的水平面与OA垂直，晷针AC与O1所在的面垂直，则晷针AC与水平面所成角为40.答案：B3(2019高考全国卷)已知ACB90，P为平面ABC外一点，PC2，点P到ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为_解析：如图，过点P作PO平面ABC于O，则PO为P到平面ABC的距离再过O作OEAC于E，OFBC于F，连接PC，PE，PF，则PEAC，PFBC.又PEPF，所以OEOF，所以CO为ACB的平分线，即ACO45.在RtPEC中，PC2，PE，所以CE1，所以OE1，所以PO.答案：如图，已知三棱柱ABCA1B1C
20、1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.(1)证明：AA1MN，且平面A1AMN平面EB1C1F；(2)设O为A1B1C1的中心若AOAB6，AO平面EB1C1F，且MPN，求四棱锥BEB1C1F的体积解析：(1)证明：因为M，N分别为BC，B1C1的中点，所以MNCC1.又由已知得AA1CC1，故AA1MN.因为A1B1C1是正三角形，所以B1C1A1N.又B1C1MN，故B1C1平面A1AMN，所以平面A1AMN平面EB1C1F.(2)因为AO平面EB1C1F，AO 平面A1AMN，平面A1AMN平面EB1C1FPN，故AOPN.又APON，故四边形APNO是平行四边形，所以PNAO6，APONAM，PMAM2，EFBC2.因为BC平面EB1C1F，所以四棱锥BEB1C1F的顶点B到底面EB1C1F的距离等于点M到底面EB1C1F的距离如图所示，作MTPN，垂足为T，则由(1)知，MT平面EB1C1F，故MTPM sin MPN3.底面EB1C1F的面积为(B1C1EF)PN(62)624，所以四棱锥BEB1C1F的体积为24324.