1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(二十二)复数代数形式的加、减运算及其几何意义一、选择题(每小题3分，共18分)1.(2014昆明高二检测)实数x，y满足z1=y+xi，z2=yi-x，且z1-z2=2，则xy的值是()A.1B.2C.-2D.-1【解析】选A.z1-z2=x+y+(x-y)i=2xy=1.2.在复平面内，向量对应的复数是2+i，则向量对应的复数在第_象限()A.一B.二C.三D.四【解析】选C.向量对应的复数为-2-i，所以向量对应的复数在第三象限.3.(2014西宁高二检
2、测)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3+i，-1+3i，则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i【解析】选D.依题意有=-，而(3+i)-(-1+3i)=4-2i，即对应的复数为4-2i.【变式训练】在复平面内，向量对应的复数是2+i，向量对应的复数是-1-3i，则向量对应的复数为()A.1-2iB.-1+2iC.3+4iD.-3-4i【解析】选D.向量对应的复数是2+i，则对应的复数为-2-i，因为=+.所以对应的复数为(-1-3i)+(-2-i)=-3-4i.4.(2014广州高二检测)已知复数z对应的向量如图所示，
3、则复数z+1所对应的向量正确的是()【解析】选A.由图可知z=-2+i，所以z+1=-1+i，则复数z+1所对应的向量的坐标为(-1，1).故A正确.5.复数z1=1+icos，z2=sin-i，则|z1-z2|的最大值为()A.3-2B.-1C.3+2D.+1【解析】选D.|z1-z2|=|(1+icos)-(sin-i)|=+1.6.(2014丽江高二检测)A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1+z2|=|z1-z2|，则三角形AOB一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.根据复数加(减)法的几何意义，知以，为邻边所作的
4、平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形OAB为直角三角形.二、填空题(每小题4分，共12分)7.若复数z满足z=|z|-3-4i，则z=_.【解析】设复数z=a+bi(a，bR)，则所以所以z=-4i.答案：-4i8.(2014成都高二检测)已知|z|=3，且z+3i是纯虚数，则z=_.【解析】设z=a+bi(a，bR)，因为|z|=3，所以a2+b2=9.又w=z+3i=a+bi+3i=a+(b+3)i为纯虚数，所以即又a2+b2=9，所以a=0，b=3，所以z=3i.答案：3i9.(2014重庆高二检测)已知z1=(3x+y)+(y-4x)i(x，yR)，z2=(4y-2x
5、)-(5x+3y)i(x，yR).设z=z1-z2，且z=13-2i，则z1=_，z2=_.【解析】z=z1-z2=(3x+y)+(y-4x)i-(4y-2x)-(5x+3y)i=(5x-3y)+(x+4y)i，又z=13-2i，故解得于是，z1=(32-1)+(-1-42)i=5-9i，z2=(-4-22)-(52-31)i=-8-7i.答案：5-9i-8-7i三、解答题(每小题10分，共20分)10.设mR，复数z=(2+i)m2-3(1+i)m-2(1-i).(1)若z为实数，求m的值.(2)若z为纯虚数，求m的值.【解题指南】根据复数z为实数及纯虚数的概念，利用它们的充要条件可分别求出
6、相应的m值.利用概念解题时，要看准实部与虚部.【解析】z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)若z为实数，则m2-3m+2=0，所以m=1或2.(2)若z为纯虚数，则解得m=-.【变式训练】实数k为何值时，复数(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)满足下列条件，(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数.【解析】(1+i)k2-(3+5i)k-2(2+3i)=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i.(1)当k2-5k-6=0，即k=6或k=-1时，该复数为实数.(2)当k2-5k-60，即k6且k-1时，该复数为虚数.(3)当即k=4时，该复数为纯虚数.11.(2014
7、太原高二检测)已知：复平面上的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数-5-2i，-4+5i，2，求点D对应的复数.【解析】因为=，所以zA-zB=zD-zC，所以zD=zA-zB+zC=(-5-2i)-(-4+5i)+2=1-7i.即点D对应的复数为1-7i.用相同的方法可求得另两种情况下点D对应的复数z.图中点D对应的复数为3+7i，图中点D对应的复数为-11+3i.故点D对应的复数为1-7i或3+7i或-11+3i.【误区警示】四个点A，B，C，D构成平行四边形，并不仅有ABCD一种情况，应该还有ABDC和ACBD两种情况.【变式训练】已知平行四边形ABCD中，与对应的
8、复数分别是3+2i与1+4i，两对角线AC与BD相交于O点.(1)求对应的复数.(2)求对应的复数.(3)求AOB的面积.【解析】(1)由于四边形ABCD是平行四边形，所以=+，于是=-，而(1+4i)-(3+2i)=-2+2i，即对应的复数是-2+2i.(2)由于=-，而(3+2i)-(-2+2i)=5，即对应的复数是5.(3)由于=-=，=.即=，=，于是=-，而|=，|=，所以cosAOB=-，因此cosAOB=-，故sinAOB=，故SAOB=|sinAOB=.即AOB的面积为.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014福州高二检测)已知复数z1=-3ai，z2=a+i，若z1+
9、z2是纯虚数，那么实数a的值为()A.1B.2C.-2D.-2或1【解析】选C.由z1+z2=a2-2+a+i是纯虚数，得a=-2.2.(2014南昌高二检测)如图，设向量，所对应的复数为z1，z2，z3，那么()A.z1-z2-z3=0B.z1+z2+z3=0C.z2-z1-z3=0D.z1+z2-z3=0【解题指南】利用向量三角形法则，判断复数间的关系.【解析】选D.由复数的向量意义及几何意义可得z1+z2=+=z3.3.已知z1，z2C，|z1+z2|=2，|z1|=2，|z2|=2，则|z1-z2|为()A.1B.C.2D.2【解析】选D.由复数加法、减法的几何意义知，以复平面上对应z
10、1，z2的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1-z2|=2.【变式训练】若|z1|=|z2|=1，且|z1+z2|=，求|z1-z2|.【解析】|z1+z2|和|z1-z2|是以和为两邻边的平行四边形的两条对角线的长.如图所示，由|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=，知四边形为正方形，所以另一条对角线的长|z1-z2|=.【拓展延伸】复数运算几何意义的应用(1)已知复数z1，z2，z1+z2在复平面内分别对应点A，B，C，O为原点，且|z1+z2|=|z1-z2|，把关系式|z1+z2|=|z1-z2|给予几何解释为：平行四边形两对角线长相等，故四边形OACB为矩形.(2)因为z1，
11、z2，z1-z2(或z1+z2)构成了三角形的三边(Z1，Z2，O三点不共线)，所以可用解三角形来处理边与角的问题.4.(2014沈阳高二检测)复数2+i与复数-i在复平面上的对应点分别是A，B，则AOB等于()A.B.C.D.【解析】选B.因为点A，B对应的复数分别是2+i与复数-i，所以A(2，1)，B，所以tanxOA=，tanxOB=，所以tanBOA=tan(xOA+xOB)=1，则BOA=.二、填空题(每小题5分，共10分)5.在复平面内，O是原点，表示的复数分别为-2+i，3+2i，1+5i，那么表示的复数为_.【解题指南】用向量，表示出向量，再利用向量与复数的对应进行运算.【解
12、析】由=-=-=3+2i-(-2+i)-(1+5i)=4-4i.答案：4-4i6.(2014启东高二检测)设f(z)=z-3i+|z|，若z1=-2+4i，z2=5-i，则f(z1+z2)=_.【解析】因为z1=-2+4i，z2=5-i，所以z1+z2=(-2+4i)+(5-i)=3+3i.于是f(z1+z2)=f(3+3i)=(3+3i)-3i+|3+3i|=3+3.答案：3+3【变式训练】设f(z)=z，z1=3+4i，z2=-2-i，则f(z1-z2)=()A. 1-3iB.11i-2C.i-2D.5+5i【解析】选D.因为z1-z2=(3+4i)-(-2-i)=5+5i，又f(z)=z
13、，所以f(z1-z2)=f(5+5i)=5+5i.三、解答题(每小题12分，共24分)7.已知复数6+5i和-3+4i.(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量和.(2)写出向量和表示的复数.【解析】(1)在复平面上作出与这两个复数对应的向量和，如图：(2)=-=-3+4i-(6+5i)=-9-i.=-=6+5i-(-3+4i)=9+i.8.(2014杭州高二检测)已知|z|=2，求|z+1+i|的最大值和最小值.【解题指南】先思考|z|=2与|z+1+i|的几何意义，再利用几何图形求|z+1+i|的最大值和最小值.【解析】设z=x+yi(x，yR)，则由|z|=2知x2+y2=4，故z对应
14、的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z+1+i|表示点(x，y)到点(-1，-)的距离.又因为点(-1，-)在圆x2+y2=4上，所以圆上的点到点(-1，-)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z+1+i|的最大值和最小值分别为4和0.【拓展延伸】数形结合求解复数问题因为复数拥有实部与虚部“两条腿”，进而与复平面上的点建立了一一对应，又与以原点为起点的向量建立一一对应.所以思考复数问题时关键是从数与形两个角度思考.【变式训练】已知|z1|=|z2|=1，z1+z2=+i，求复数z1，z2.【解析】因为|z1|=|z2|=1，|z1+z2|=1，所以z1+z2对应向量，其中COA=60，如图1所示.设对应复数z1，对应复数z2，则四边形AOBC是菱形，且AOC和BOC都是等边三角形，于是z1=1，z2=+i或z1=+i，z2=1.如图2和图3所示.关闭Word文档返回原板块