1、第二章 函数、导数及其应用第三节 函数的奇偶性与周期性1.了解函数奇偶性的含义2了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性3会运用函数图象理解和研究函数的性质主干知识整合 01 课前热身稳固根基知识点一函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有_，那么函数 f(x)就叫做奇函数关于_对称答案f(x)f(x)y 轴 f(x)f(x)原点1(必修P39 习题 1.3B 组第 3 题改编)下列函数中，在其定义域内既是奇函数
2、又是减函数的是()Ayx3，xRBysinx，xRCyx，xRDy12x，xR解析：选项 B 在其定义域内是奇函数但不是减函数；选项 C在其定义域内既是奇函数又是增函数；选项 D 在其定义域内不是奇函数，是减函数故选 A.答案：A2已知 f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，那么 ab 的值是()A13B.13C.12D12解析：f(x)ax2bx 是定义在a1,2a上的偶函数，a12a0，a13.又 f(x)f(x)，b0，ab13.答案：B3(必修P39A 组第 6 题改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)x21x，则 f(1)等于()A2
3、B0C1 D2解析：f(1)f(1)(11)2.答案：A知识点二周期性1周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有_，那么就称函数 yf(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期2最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期答案1f(xT)f(x)2.最小 最小正数4判断正误(1)函数 f(x)在定义域上满足 f(xa)f(x)，则 f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(2)函数 f(x)为 R 上的奇函数，且 f(x2)f(x)，则 f(2 014)0.()答案：(1)(2
4、)5(2016四川卷)已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 0 x0.从而有 f(x)1x2x22 1x2x，这时有 f(x)1x2x 1x2xf(x)，故 f(x)是奇函数已知 f(x)的定义域为(1,1)，其定义域关于原点对称因为 f(x)(x1)1x1x 1x1x，所以 f(x)1x1xf(x)即 f(x)f(x)，所以 f(x)是偶函数【答案】(1)D【总结反思】1判断函数的奇偶性，首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据 f(x)与 f(x)的关系作出判断2分段函数指在定义域的不同子集有不同对应关系的函数分段函数奇偶
5、性的判断，要分别从 x0 或 x0来寻找等式 f(x)f(x)或 f(x)f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性.(1)下列函数为奇函数的是()Af(x)2x 12xBf(x)x3sinxCf(x)2cosx1 Df(x)x22x(2)判断函数 f(x)x2x，x0的奇偶性解析：(1)对于 A 选项，函数的定义域为 R.f(x)2x 12x 12x2xf(x)，故 A 正确；对于 B 选项，函数的定义域为 R，函数 yx3 是奇函数，函数 ysinx 是奇函数，该函数为偶函数；对于 C选项，函数定义域为 R，f(x)2cos(x)12cosx1f(x)，
6、f(x)为偶函数；对于 D 选项，由 f(1)3，f(1)32，f(1)f(1)，f(1)f(1)，知该函数为非奇非偶函数，故选 A.(2)解：方法 1：画出函数 f(x)x2x，x0的图象如图所示，图象关于 y 轴对称，故 f(x)为偶函数方法 2：f(x)还可以写成 f(x)x2|x|(x0)，故 f(x)为偶函数答案：(1)A热点二函数周期性及应用【例 2】设定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且当x0,2)时，f(x)2xx2，则 f(0)f(1)f(2)f(2 016)_.【解析】f(x2)f(x)，函数 f(x)的周期 T2.又当 x0,2)时，f(x)2xx2
7、，所以 f(0)0，f(1)1，所以f(0)f(2)f(4)f(2 016)0.f(1)f(3)f(5)f(2 015)1.故 f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.【答案】1 0081若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)f(x)”，则结论如何？解：f(x1)f(x)，f(x2)f(x1)1f(x1)f(x)故函数 f(x)的周期为 2.由本例可知，f(0)f(1)f(2)f(2 016)1 008.2若将“f(x2)f(x)”改为“f(x1)1fx”，则结论如何？解：f(x1)1fx，f(x2)f(x1)11fx1f(x)故函数 f(x)的周期为 2.由本例可知，f(0)
8、f(1)f(2)f(2 016)1 008.【总结反思】(1)判断函数的周期只需证明 f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为 T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若 T 是函数的周期，则 kT(kZ 且 k0)也是函数的周期.(1)(2017晋中模拟)已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)2，且对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)成立，则 f(2 017)_.(2)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间1,1上，f(x)ax1，1x0，bx2x
9、1，0 x1，其中 a，bR.若 f12 f32，则 a3b的值为_解析：(1)f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，又对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)，当 x3 时，有 f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，所以有 f(x6)f(x)，周期为 6.故 f(2 017)f(1)2.(2)因为 f(x)是定义在 R 上且周期为 2 的函数，所以 f32 f12，且 f(1)f(1)，故 f12 f12，所以12b212112a1，即 3a2b2.由 f(1)f(1)，得a1b22，即 b2a.由得 a2，b4，从而 a3b10.答案：(1)2(2)10热点三函数奇偶
10、性的应用考向 1 利用奇偶性求值【例 3】已知 f(x)22x1sinx，则 f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)的值是_.【解析】因为 f(x)112x12xsinx 是奇函数，所以 f(x)1f(x)11f(x)，故 f(x)f(x)2，且 f(0)1，所以f(4)f(3)f(2)f(1)f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(4)f(4)f(3)f(3)f(2)f(2)f(1)f(1)f(0)2419.【答案】9考向 2 奇偶性与单调性的结合【例 4】(2017新疆乌鲁木齐诊断)已知偶函数 f(x)在区间0，)单调递增，则满足 f(2x1)f13
11、的 x 的取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23【解析】f(x)是偶函数，f(x)f(|x|)，f(|2x1|)f13，再根据 f(x)的单调性，得|2x1|13，解得13x0)在区间8,8上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的值为()A8 B8C0 D4【解析】f(x4)f(x)，f(x8)f(x)，函数 f(x)是以 8 为周期的周期函数，又由 f(x4)f(x)可得 f(x2)f(x6)f(x2)，因为 f(x)是奇函数，所以 f(x2)f(x2)f(2x)，所以 f(x)的图象关于 x2 对称，结合在0,2上为增函数，可得函数的大致
12、图象如图，由图看出，四个交点中的左边两个交点的横坐标之和为 2(6)，另两个交点的横坐标之和为 22，所以 x1x2x3x48.故选 B.【答案】B【总结反思】函数性质综合应用问题的常见类型及解题策略(1)函数单调性与奇偶性结合注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性结合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)周期性、奇偶性与单调性结合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.(1)(2017山东青岛模拟)奇函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x1
13、)为偶函数，且 f(1)2，则 f(4)f(5)的值为()A2 B1 C1 D2(2)设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对任意的 xR 恒有 f(x1)f(x1)，已知当 x0,1时，f(x)121x，则下列命题：2 是函数 f(x)的周期；函数 f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；函数 f(x)的最大值是 1，最小值是 0；当 x(3,4)时，f(x)12x3.其中正确命题的序号是_解析：(1)f(x1)为偶函数，f(x)是奇函数，f(x1)f(x1)，f(x)f(x)，f(0)0，f(x1)f(x1)f(x1)，f(x2)f(x)，f(x4)f(x22)f(x2)f(
14、x)，则 f(4)f(0)0，f(5)f(1)2.f(4)f(5)022，故选 A.(2)由已知条件得 f(x2)f(x)，则 f(x)是以 2 为周期的周期函数，正确当1x0 时，0 x1.f(x)f(x)121x，函数 yf(x)的图象如图所示，由图象知正确，不正确当 3x4 时，1x40，f(x)f(x4)12x3，因此正确答案：(1)A(2)1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2判断函数 f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一个 x，均有f(x)f(x)，而不能说存在 x0 使 f(x0)f(x0)对于偶函数的判断以此类推3若对于函数 f(x)的定义域内任一个自变量的值 x 都有 f(xa)f(x)或 f(xa)1fx或 f(xa)1fx(a 是常数且 a0)，则 f(x)是一个周期为 2a 的周期函数温示提馨请 做：课时作业 6（点击进入）
