1、数学 第3节 三角函数的图象与性质 数学 最新考纲 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在0,2 上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交点等),理解正切函数在(-2,2)内的单调性.数学 知识链条完善 考点专项突破 易混易错辨析 数学 知识链条完善 把散落的知识连起来 1.所有的周期函数都有最小正周期吗?提示:不是所有的周期函数都有最小正周期.如函数f(x)=c(c为常数)的周期为任意非零实数,但没有最小正周期.2.正切函数y=tan x在定义域是增函数吗?提示:不是,正切函数 y=tan x 在每
2、一个区间(k-2,k+2)kZ 上都是增函数,但在定义域内不是单调函数.数学 知识梳理 函数 y=sin x y=cos x y=tan x 图象 定义域 R R xx 2+k,kZ 值域-1,1-1,1 R 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 数学 单调性 在2,2 22kk(kZ)上单调递增;在32,2 22kk(kZ)上单调递减 在2k-,2k (kZ)上单调递增;在2k,2k+(kZ)上单调递减 在,22kk(kZ)上 单调递增 最值 x=2 2kkZ 时,ymax=1;x=2k-2(kZ)时,ymin=-1 x=时,ymax=1;x=2k+(kZ)时,ymin=-1 无最值 奇
3、偶性 对称中心 对称中心,02k(kZ)对称中心 ,02k(kZ)对称性 对称轴 l:2xkkZ 对称轴 l:x=k (kZ)周期 2 2 2k(kZ)奇函数 偶函数 奇函数 (k,0)(kZ)数学【重要结论】对称与周期:(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 14周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期.数学 夯基自测 解析:由正余弦函数周期求解公式可知 y=sin 2x,y=cos 2x 的周期为,y=cos2x,y=sin2x 的周期为 4,其中 y=cos 2x 是偶函数.1.(2015 三明模拟)下列函数
4、中,以 为周期的偶函数是()(A)y=sin 2x(B)y=cos2x (C)y=sin 2x (D)y=cos 2x D 数学 解析:对于函数 f(x)=sin(x-4),令 x-4=2+kx=k+34,所以当 k=-1 时,函数的一条对称轴为 x=-4.2.(2016 东北四校联考)函数 f(x)=sin(x-4)的图象的一条对称轴是()(A)x=4 (B)x=2 (C)x=-4 (D)x=-2 C 数学 解析:由 x0,2得 2x-4-4,32,所以 sin(2x-4)-22,1.即函数 f(x)在0,2上的最小值为-22.3.函数 f(x)=sin(2x-4)在区间0,2上的最小值为(
5、)(A)-1(B)-22 (C)22 (D)0 B 数学 解析:因为函数 y=tan x 在区间-4,3上为增函数,所以当 x=-4时有最小值为-1,当 x=3时有最大值为3,所以其值域为-1,3.4.(2015 临沂八校联考)函数 y=tan x(x-4,3)的值域是 .答案:-1,3 数学 解析:令-2+2k2x+3 2+2k,kZ,得-512+kx 12+k,kZ,所以函数 y=sin(2x+3)的单调递增区间为-512+k,12+k,kZ.5.函数 y=sin(2x+3)的单调递增区间为 .答案:-512+k,12+k,kZ 数学 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一 三角函数的定义
6、域与简单的三角不等式 解析:(1)要使函数有意义,必须使 sin x-cos x0.利用图象,在同一坐标系中画出0,2上 y=sin x 和 y=cos x 的图象,如图所示.在0,2内,满足 sin x=cos x 的 x 为 4,54,再结合正弦、余弦函数的周期是 2,所以定义域为x 4+2kx 54+2k,kZ.【例 1】(1)(2015 深圳模拟)函数 y=sincosxx的定义域为 .答案:(1)x 4+2k x 54+2k,kZ 数学(2)不等式2sin x-10的解集为 .解析:(2)不等式 2sin x-10.即 sin x 12.如图所示,作出函数 y=sin x 在区间0,
7、2内的图象,其中直线 y=12与曲线 y=sin x,x0,2的交点 M,M的横坐标分别是 6,56.观察图象可知,在0,2内满足 sin x 12的 x的集合为x 6x 56,所以在 xR 上,使 sin x 12成立的 x 的集合为 x2k+6x2k+56,kZ.答案:(2)x2k+6x2k+56,kZ数学 反思归纳 (1)三角函数定义域的求法 应用正切函数y=tan x的定义域求函数y=Atan(x+)的定义域.转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域.(2)简单三角不等式的解法 利用三角函数的图象求解.利用三角函数线求解.数学【即时训练】(1)函数 y=lg(2sin x-1)+1
8、2cos x的定义域为 .解析:(1)要使函数 y=lg(2sin x-1)+12cos x有意义,则2sin1 0,12cos0,xx 即1sin,21cos.2xx解之得 2k+3x0,则21,35,abab 解得126 3,2312 3.ab 若 a0,则25,31,abab 解得126 3,1912 3.ab 数学 反思归纳 三角函数值域的三种求法 直接法:利用sin x,cos x的值域.化一法:化为y=Asin(x+)+k的形式逐步分析x+的范围,根据正弦函数单调性写出函数的值域.换元法:把sin x或cos x看作一个整体,可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题.数学【即时训
9、练】(1)函数 y=1tan x(-4x 4且 x0)的值域是()(A)-1,1 (B)(-,-1)(1,+)(C)(-,1(D)-1,+)解析:(1)当-4x0 时,-1tan x0,所以1tan x-1.当 0 x 4时,0tan x1.所以当 x(-4,0)(0,4)时,函数 y=1tan x的值域为(-,-1)(1,+).答案:(1)B 数学(2)(2015 成都模拟)函数 y=cos2x-2sin x 在 x 56,76 上的值域为 .解析:(2)因为 y=cos2 x-2sin x=-sin2 x-2sin x+1.令 t=sin x,则 t-12,12,y=-t2-2t+1=-(
10、t+1)2+2,所以 ymax=74,ymin=-14,故函数的值域是-14,74.答案:(2)-14,74数学 三角函数的性质 解析:(1)y=sin(2x+2)=cos 2x 是最小正周期为的偶函数;y=cos(2x+2)=-sin 2x 是最小正周期为的奇函数;y=sin 2x+cos 2x=2 sin(2x+4)是最小正周期为的非奇非偶函数;y=sin x+cos x=2 sin(x+4)是最小正周期为 2的非奇非偶函数.故选 B.考点三 考查角度1:三角函数的奇偶性与周期性.高考扫描:2014高考新课标全国卷【例3】(1)(2015高考四川卷)下列函数中,最小正周期为 的奇函数是()
11、(A)y=sin(2x+)(B)y=cos(2x+)(C)y=sin 2x+cos 2x(D)y=sin x+cos x 数学 解析:(2)y=2cos2(x-4)-1=cos 2(x-4)=cos(2x-2)=cos(2-2x)=sin 2x.则函数为最小正周期为的奇函数.故选 A.(2)(2015 吉林模拟)函数 y=2cos2(x-4)-1 是()(A)最小正周期为 的奇函数 (B)最小正周期为 的偶函数(C)最小正周期为 2的奇函数 (D)最小正周期为 2的偶函数 数学 反思归纳 奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性:由正、余弦函数的奇偶性可判断y=Asin x和y=Acos x分别为
12、奇函数和偶函数(2)周期性:利用函数 y=Asin(x+),y=Acos(x+)(0)的周期为2,函数 y=Atan(x+)(0)的周期为 求解.数学【例 4】(1)函数 y=tan(2x-3)的单调区间是 .考查角度2:三角函数的单调性.解析:(1)k-22x-3k+2(kZ)得 k-62xk+56(kZ),即 2k-12x0)在区间-2,23上是增函数,则 的取值范围是 .解析:(2)法一 由 2k-2x2k+2,kZ,得 f(x)的增区间是 2 k-,2 k+2,kZ.因为 f(x)在-2,23上是增函数,所以-2,23-2,2.所以-2-2且 23 2,所以(0,34.数学(教师备用)
13、法二 因为 x-2,23,0,所以x-2,23,又 f(x)在区间-2,23上是增函数,所以-2,23 -2,2,则,222,32 又0,得 00)对任意 x 都有 f(6+x)=f(6-x),则 f(6)等于()(A)2 或 0 (B)-2 或 2 (C)0 (D)-2 或 0 解析:(1)因为函数 f(x)=2sin(x+)对任意 x 都有 f(6+x)=f(6-x),所以该函数图象关于直线 x=6对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,则 f(6)=2.答案:(1)B 数学(2)若函数 f(x)=asin x+bcos x(05,ab0)的图象的一条对称轴方程是 x=4,函数
14、f(x)的图象的一个对称中心是(8,0),则 f(x)的最小正周期是 .解析：(2)由题设,有 f(4)=22ab,即22(a+b)=22ab,由此得到 a=b.又 f(8)=0,所以 a(cos8-sin 8)=0,从而 tan 8=1,8=k+4,kZ,即=8k+2,kZ,而 00)在0,3上单调递增,在区间 3,2 上单调递减,则=.解析:由题意,得 f(x)max=f(3)=sin 3=1,由已知并结合正弦函数图象可知,3=2,解得=32.答案:32 数学 解:f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x=2a sin 2x-cos 2x,由 f(-3)=f(0)得-32
15、2a+12=-1,解得 a=23.因此 f(x)=3 sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6).【例 2】设 aR,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos2(2-x)满足 f(-3)=f(0),求函数 f(x)在 4,1124上的最大值和最小值.数学 当 x 4,3时,2x-6 3,2,f(x)为增函数;当 x 3,1124时,2x-6 2,34,f(x)为减函数,所以 f(x)在 4,1124上的最大值为 f(3)=2.又因为 f(4)=3,f(1124)=2,故 f(x)在 4,1124上的最小值为 f(1124)=2.数学 解:(1)因为 f(x)最小正周期为,
16、所以 22=,解得=1,所以 f(x)=sin(2x+6)+12,所以 f(23)=-12.【例 3】(2015 台州质检)已知函数 f(x)=12+sin(2 x+6)(0)的最小正周期为.(1)求 f(23)的值;数学 解:(2)分别由 2k-22x+62k+2,(kZ),2k+22x+62k+32,(kZ)可得 k-3xk+6,(kZ),k+6xk+23,(kZ).所以,函数 f(x)的单调增区间为 k-3,k+6,(kZ);f(x)的单调减区间为k+6,k+23,(kZ).由 2x+6=k+2,(kZ)得 x=2k+6,(kZ).所以,f(x)图象的对称轴方程为 x=2k+6(kZ).
17、(2)求函数f(x)的单调区间及其图象的对称轴方程.数学 易混易错辨析 用心练就一双慧眼 忽视三角函数范围致误 解析:因为 sin x+sin y=13,所以 sin x=13-sin y.因为-1sin x1,所以11sin1,31sin1.yy 解得-23sin y1.又因为 M=13-sin y-cos2 y=（sin y-12）2-1112,所以当 sin y=-23,sin x=1 时,Mmax=49;当 sin y=12,sin x=-16时,Mmin=-1112.所以最大值与最小值之差为 49-(-1112)=4936.【典例】(2015 长春质检)若 sin x+sin y=13,则 M=sin x-cos2 y 的最大值与最小值之差为 .答案:4936 数学 易错提醒:(1)本题把 M=sin x-cos2 y 转化为二次函数后,容易把 sin y 的范围当作-1,1导致错误.而实质上 sin y 的范围还受限于 sin x+sin y=13,所以要先求 sin y 的范围.(2)在解题思路上,多元问题采用消元处理问题的方法,在转化过程中要保持等价性.数学 点击进入课时训练数学