1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。课时提升作业(十九)抛物线方程及性质的应用(30分钟50分)一、选择题(每小题3分,共18分)1.(2014安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条 C.3条D.4条【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D
2、.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.(2014桂林高二检测)设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为抛物线上不同的三点,点F是ABC的重心,O为坐标原点,OFA,OFB,OFC的面积分别为S1,S2,S3,则+=()A.9B.6C.3D.2【解析】选C.A,B,C在抛物线上,所以设A,B,C,抛物线y2=4x的焦点为(1,0),所以y1+y2+y3=0,=1,所以+=12,所以+=1(+)=3.3.(2014莆田高二检测)若抛物线y2=x上两点A(x1,y1),B(x2,y2)关于直线
3、y=x+b对称,且y1y2=-1,则实数b的值为()A.-3B.3C.2D.-2【解析】选D.因为A,B关于直线y=x+b对称,故kAB=-1,设AB的方程为y=-x+t,与y2=x联立,消去x得y2+y-t=0,所以y1+y2=-1,y1y2=-t=-1,所以t=1,得x1+x2=3.由AB的中点在直线y=x+b上,所以=+b,即-=+b,得b=-2.4.(2013新课标全国卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(
4、x-1)或y=-(x-1)【解析】选C.由题意,可设|BF|=x,则|AF|=3x,设直线l与抛物线的准线相交于点M,则由抛物线的定义可知:=,所以|MB|=2x,所以直线l的倾斜角为60或120,即直线l的斜率为,故选C.【一题多解】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,x1=9x2,所以x1=3,x2=,当x1=3时,=12,所以此时y1=2,若y1=2,则A(3,2),B,此时kAB=,直线方程为y=(x-1).若y1=
5、-2,则A(3,-2),B,此时kAB=-,直线方程为y=-(x-1).5.已知抛物线y2=2px(p0),过焦点F且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为,所以=2,因为A,B在抛物线y2=2px上,所以-得-=2p(x1-x2),所以kAB=,因为kAB=1,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,所以准线的方程为x=-1.【拓展延伸】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平
6、方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0)代入可得,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.6.(2014成都高二检测)已知抛物线C的方程为x2=y,过点A(0,-1)和点B(t,3)的直线与抛物线C没有公共点,则实数t的取值范围是()A.(-,-1)(1,+)B.C.(-,-2)(2,+)D.(-,-)(,+)【解析】选D.据已知可得直线AB的方程为y=x-1,联立直线与抛物线方程,得消元整理,得2x
7、2-x+1=0,由于直线与抛物线无公共点,即方程2x2-x+1=0无解,故有=-8或t-.二、填空题(每小题4分,共12分)7.(2014北京高二检测)已知直线l:y=kx+1与抛物线C:y2=x,则“k0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的条件.【解析】直线l与抛物线C有两个不同交点,即方程组有两组不同的实数解,等价于方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不同的实根,由得k0),而点M(4,-4)在抛物线上,则(-4)2=8p,所以p=2,故所求抛物线方程为y2=4x.(2)由(1)知F(1,0),若直线l垂直于x轴,则A(1,2),B(1,-2),此时|AB|=4,与题设不符;若直
8、线l与x轴不垂直,可设直线l的方程为y=k(x-1),再设A(x1,y1),B(x2,y2),由k2x2-2(k2+2)x+k2=0,于是则|AB|=,令=8,解得k=1,从而,所求直线l的方程为y=(x-1).11.(2013福建高考)如图,抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上,以C为圆心,为半径作圆,设圆C与准线l交于不同的两点M,N.(1)若点C的纵坐标为2,求.(2)若=,求圆C的半径.【解题指南】(1)利用垂径定理求圆的弦长MN.(2)先设C的坐标,写出圆方程,联立方程,然后结合已知条件列式求解.【解析】(1)抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-
9、1,由点C的纵坐标为2,得点C的坐标为(1,2),所以点C到准线l的距离d=2,又|CO|=.所以|MN|=2=2=2.(2)设C,则圆C的方程为+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0.由x=-1,得y2-2y0y+1+=0,设M(-1,y1),N(-1,y2),则:由|AF|2=|AM|AN|,得|y1y2|=4,所以+1=4,解得y0=,此时0,所以圆心C的坐标为或,从而|CO|2=,|CO|=,即圆C的半径为.(30分钟50分)一、选择题(每小题4分,共16分)1.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与该抛物线交于A,B两点,直线l与该抛物线的准线交于点C,且点F
10、为AC的中点,则|AB|等于()A.B.C.4D.2【解析】选B.如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),因为F(1,0)为AC的中点,所以有2=x1-1得x1=3,则直线l的方程可写为y=x-,联立3x2-10x+3=0.由根与系数的关系得,|AB|=x1+x2+p=+2=.2.过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A,B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()A.有且仅有一条B.有且仅有两条C.有无穷多条D.不存在【解析】选B.设过焦点的直线为y=k(x-1)因焦点坐标为(1,0),故k不存在时,A,B横坐标均为1,和为2,不合题意,设A(x1,y1),B(x2,y2)
11、,k2x2-(2k2+4)x+k2=0,其中k0,否则只有一个交点,x1+x2=5,即2+=5,解得k=,故这样的直线有且仅有两条.3.(2013大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=8x与点M,过C的焦点,且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若=0,则k=()A.B. C.D.2【解题指南】先求出抛物线的焦点,列出过焦点的直线方程,与抛物线联立,化简成关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系代入求解.【解析】选D.由题意知,直线AB的方程为y=k(x-2),将其代入到y2=8x得,k2x2-4(k2+2)x+4k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4.又y1+
12、y2=k(x1+x2)-4k,y1y2=k2x1x2-2(x1+x2)+4.因为=0,所以(x1+2,y1-2)(x2+2,y2-2)=0,即x1x2+2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+8=0.由得,k=2.4.(2014杭州高二检测)如图,已知抛物线的方程为x2=2py(p0),过点A(0,-1)作直线l与抛物线相交于P,Q两点,点B的坐标为(0,1),连接BP,BQ,设QB,BP与x轴分别相交于M,N两点.如果QB的斜率与PB的斜率的乘积为-3,则MBN的大小等于()A.B.C.D.【解析】选D.设P点坐标为,Q点坐标为,因为A,P,Q三点共线,所以kPA=kQA,即=,所以-
13、=-=0,因为xPxQ,所以xPxQ-2p=0.又kPB+kQB=+=0,又kBPkBQ=-3,得kBP=,kBQ=-,所以BNM=BMN=,故MBN=.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2013浙江高考)设F为抛物线C:y2=4x的焦点,过点P(-1,0)的直线l交抛物线C于A,B两点,点Q为线段AB的中点,若|FQ|=2,则直线l的斜率等于.【解题指南】由抛物线方程可知F的坐标,再利用待定系数法表示A,B两点的坐标,根据|FQ|=2求解.【解析】设直线l:y=k(x+1),由消去y得,k2x2+(2k2-4)x+k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x
14、2=1,设AB的中点Q(x0,y0),则x0=-,y0=k(x0+1)=,因为|FQ|=2,F(1,0),所以+=4,所以k2=1,k=1.答案:16.(2014北京高二检测)过抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F作倾斜角为60的直线与抛物线分别交于A,B两点(点A在x轴上方),则=.【解析】记|AF|=a,|BF|=b,准线为l,分别过A,B作AA1l,BB1l,则|AA1|=|AF|=a,|BB1|=|BF|=b,再过B作BMAA1于M.在RtBMA中,ABM=30,AM=a-b,AB=a+b,于是a+b=2(a-b),a=3b,故所求为3.答案:3【一题多解】A,B,F.|AF|=2p
15、,|BF|=,故所求为3.答案:3三、解答题(每小题12分,共24分)7.(2014重庆高二检测)在平面直角坐标系xOy中,F是抛物线C:y2=2px(p0)的焦点,圆Q过O点与F点,且圆心Q到抛物线C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程.(2)过F作倾斜角为60的直线l,交曲线C于A,B两点,求OAB的面积.【解析】(1)由F,所以圆心Q在线段OF的垂直平分线x=上,又因为准线方程为x=-,所以-=,得p=2,所以抛物线C:y2=4x.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-y-4=0.所以y1+y2=,y1y2=-4,所以SOAB=|OF|y2-y1|=1=.【变式训练】(
16、2014大同高二检测)已知抛物线C:y2=2px,点P(-1,0)是其准线与x轴的交点,过P的直线l与抛物线C交于A,B两点.(1)当线段AB的中点在直线x=7上时,求直线l的方程.(2)设F为抛物线C的焦点,当A为线段PB中点时,求FAB的面积.【解析】(1)因为抛物线的准线为x=-1,所以p=2,抛物线方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l的方程为y=k(x+1),(依题意k存在,且k0)与抛物线方程联立,消去y得k2x2+(2k2-4)x+k2=0(*)x1+x2=,x1x2=1.所以AB中点的横坐标为,即=7,所以k2=(此时(*)式判别式大于零),所以直线l的
17、方程为y=(x+1).(2)因为A为线段PB中点,所以=x1,=y1,由A,B为抛物线上的点,得=4,=4x2,解得x2=2,y2=2,当y2=2时,y1=;当y2=-2时,y1=-,所以FAB的面积SFAB=SPFB-SPFA=|PF|y2-y1|=.8.(2014天水高二检测)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,经过点F的直线与抛物线交于A,B两点.(1)若p=2,求线段AF中点M的轨迹方程.(2)若直线AB的方向向量为n=(1,2),当焦点为F时,求OAB的面积.(3)若M是抛物线C准线上的点,求证:直线MA,MF,MB的斜率成等差数列.【解析】(1)设A(x0,y0),M(x,
18、y),焦点F(1,0),则由题意即所求的轨迹方程为4y2=4(2x-1),即y2=2x-1.(2)y2=2x,F,直线y=2=2x-1,由得y2-y-1=0,|AB|=|y1-y2|=,d=,SOAB=d|AB|=.(3)显然直线MA,MB,MF的斜率都存在,分别设为k1,k2,k3,点A,B,M的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2),M,设直线AB:x=my+,代入抛物线得y2-2mpy-p2=0,所以y1y2=-p2,又=2px1,=2px2,因而x1+=+=(+p2),x2+=+=+=(+p2),因而k1+k2=+=+=-,而k3=-,故k1+k2=2k3.关闭Word文档返回原板块