1、2.2.2 等差数列的前 n 项和(二)明目标、知重点 1.掌握等差数列与其前 n 项和 Sn 有关的一些性质，能熟练运用这些性质解题.2.掌握可以转化为等差数列的数列求和问题.3.会用等差数列的相关知识解决简单的实际问题等差数列前 n 项和的性质(1)等差数列an的公差为 d，前 n 项和为 Sn，那么数列 Sk，S2kSk，S3kS2k，(kN)是等差数列，其公差等于 k2d.(2)若在等差数列an中，a10，d0，则 Sn 存在最大值；若在等差数列an中，a10，则 Sn 存在最小值(3)若等差数列的项数为 2n(nN)时，则 S2nn(anan1)，且 S 偶S 奇nd，S奇S偶 an
2、an1.(4)若等差数列的项数为 2n1(nN)时，则 S2n1(2n1)an，且 S 奇S 偶an，S 奇nan，S 偶(n1)an,S奇S偶 nn1.情境导学在学等差数列时，我们探究了等差数列的一些性质，现在我们学习了等差数列的前 n 项和，它又有哪些性质？这就是本节我们探究的主要问题探究点一 等差数列前 n 项和的性质思考 1 设an是等差数列，公差为 d，Sn 是前 n 项和，那么 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列吗？如果是，它们的公差是多少？答 由 Sma1a2am，S2mSmam1am2a2ma1mda2mdammdSmm2d.同理 S3mS2ma2m1a2m2a3mS
3、2mSmm2d.所以 Sm，S2mSm，S3mS2m 也成等差数列，并且公差为 m2d.思考 2 设 Sn、Tn 分别为两个等差数列an和bn的前 n 项和，那么anbn与S2n1T2n1有怎样的关系？请证明之答 anbnS2n1T2n1.证明：S2n112(2n1)(a1a2n1)2n122an(2n1)an；同理 T2n1(2n1)bn；S2n1T2n12n1an2n1bnanbn.即anbnS2n1T2n1.例 1(1)等差数列an的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求数列an的前 3m 项的和 S3m；(2)两个等差数列an，bn的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，已知
4、SnTn7n2n3，求a5b5的值解(1)方法一 在等差数列中，Sm，S2mSm，S3mS2m 成等差数列30,70，S3m100 成等差数列27030(S3m100)，S3m210.方法二 在等差数列中，Smm，S2m2m，S3m3m成等差数列，2S2m2m SmmS3m3m.即 S3m3(S2mSm)3(10030)210.(2)a5b59a1a99b1b9S9T96512.反思与感悟 等差数列前 n 项和 Sn 的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果跟踪训练 1 设an为等差数列，Sn 为数列an的前 n 项和，已知 S77，S1575，Tn 为数
5、列Snn 的前 n 项和，求 Tn.解 设等差数列an的公差为 d，则 Snna112n(n1)d，S77，S1575，7a121d715a1105d75，即a13d1a17d5，解得a12d1，Snn a112(n1)d212(n1)，Sn1n1Snn 12，数列Snn 是等差数列，其首项为2，公差为12，Tnn(2)nn121214n294n.探究点二 求数列|an|的前 n 项和例 2 若等差数列an的首项 a113，d4，记 Tn|a1|a2|an|，求 Tn.解 a113，d4，an174n.当 n4 时，Tn|a1|a2|an|a1a2anna1nn12d13nnn12(4)15n
6、2n2；当 n5 时，Tn|a1|a2|an|(a1a2a3a4)(a5a6an)S4(SnS4)2S4Sn213142(15n2n2)562n215n.Tn15n2n2，n4，2n215n56，n5.反思与感悟 等差数列an前 n 项的绝对值之和，根据绝对值的意义，应首先分清这个数列的哪些项是负的，哪些项是非负的，然后再分段求出前 n 项的绝对值之和跟踪训练 2 已知数列an中，Snn210n，数列bn的每一项都有 bn|an|，求数列 bn 的前 n 项之和 Tn 的表达式解 由 Snn210n 得anSnSn1112n(n2，nN)验证 a19 也符合上式an112n，nN.当 n5 时
7、，an0，此时 TnSnn210n；当 n5 时，an5.探究点三 等差数列的前 n 项和公式在实际中的应用例 3 李先生为今年上高中的儿子办理了“教育储蓄”，从 8 月 1 号开始，每个月的 1 号都存入 100 元，存期三年：(1)已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 2.7，问到期时，李先生一次可支取本息共多少元？(“教育储蓄”不需缴利息税)(2)已知当年同档次的“零存整取”储蓄的月利率是 1.725，问李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益多少元？(“零存整取”需缴 20%的利息税)解(1)100 元“教育储蓄”存款的月利息是1002.70.27(元)第 1 个 100 元存 36
8、个月，得利息 0.2736(元)；第 2 个 100 元存 35 个月，得利息 0.2735(元)；第 36 个 100 元存 1 个月，得利息 0.271(元)因此，到期时李先生获得利息027(36351)179.82(元)本息和为 3 600179.823 779.82(元)(2)100 元“零存整取”的月利息是1001.7250.172 5(元)，存三年的利息是0172 5(36351)114.885(元)，因此，李先生多收益17982114.885(120%)87.912(元)答(1)李先生一次可支取本息共 3 779.82 元(2)李先生办理“教育储蓄”比“零存整取”多收益 87.9
9、12 元反思与感悟 解决有关等差数列的实际应用题时，首先要搞清楚哪些量能成等差数列，建立等差数列的模型，然后根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数，最后转化为等差数列问题来解决跟踪训练 3 甲、乙两物体分别从相距 70 m 的两处同时相向运动，甲第 1 分钟走 2 m，以后每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙每分钟走 5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前 1 分钟多走 1 m，乙继续每分钟走 5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？解(1)设 n 分钟后第 1 次相遇，依题意，有 2nnn125n70，整理得 n213n1
10、400.解之得 n7，n20(舍去)第 1 次相遇是在开始运动后 7 分钟(2)设 n 分钟后第 2 次相遇，依题意，有 2nnn125n370，整理得 n213n4200.解之得 n15，n28(舍去)第 2 次相遇是在开始运动后 15 分钟1设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S39，S636，则 a7a8a9 等于()A63B45C36D27答案 B解析 数列an为等差数列，则 S3，S6S3，S9S6 为等差数列，即 2(S6S3)S3(S9S6)，S39，S6S327，则 S9S645.a7a8a9S9S645.2等差数列an中，S104S5，则a1d 等于()A.12B2C.
11、14D4答案 A解析 由题意得：10a112109d4(5a11254d)，10a145d20a140d，10a15d，a1d 12.3在一个等差数列中，已知 a1010，则 S19_.答案 190解析 S1919a1a19219a10a10219a101910190.4某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为 1 150 元，购买当天先付 150 元，以后每月的这一天都交付 50 元，并加付欠款利息，月利率为 1%.若交付 150 元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第 10 个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为 a1，a2，a2
12、0，则 a1501 0001%60(元)，a250(1 00050)1%59.5(元)，a1050(1 000950)1%55.5(元)，即第 10 个月应付款 55.5 元由于an是以 60 为首项，以0.5 为公差的等差数列，所以有 S206060190.52201 105(元)，即全部付清后实际付款 1 1051501 255(元)呈重点、现规律1等差数列前 n 项和的性质(1)对于前 n 项和形如 SnAn2Bn 的数列一定为等差数列，且公差为 2A，记住这个结论，如果已知数列的前 n 项和可以直接写出公差(2)关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，
13、S奇与 S 偶的关系是不相同的(3)数列Snn 是等差数列，首项为 a1，公差为d2.2等差数列an与数列|an|的前 n 项和等差数列各项取绝对值后组成的数列|an|的前 n 项和，可分为以下情形：(1)等差数列|an|的各项都为非负数，这种情形中数列|an|就等于数列an，可以直接求解(2)等差数列an中，a10，d0，这种数列只有前面有限项为非负数，从某项开始其余所有项都为负数，可把数列an分成两段来处理(3)等差数列an中，a10，这种数列只有前面有限项为负数，其余都为非负数，同样可以分成两段处理一、基础过关1在等差数列an和bn中，a125，b175，a100b100100，则数列a
14、nbn的前 100 项的和为()A10 000B8 000C9 000D11 000答案 A解析 由已知得anbn为等差数列，故其前 100 项的和为 S100100a1b1a100b100250(2575100)10 000.2已知两个等差数列an和bn的前 n 项和分别为 An 和 Bn，且AnBn7n45n3，则使得anbn为整数的正整数 n 的个数是()A2B3C4D5答案 D解析 anbnA2n1B2n114n382n2 7n19n1 7 12n1.n1,2,3,5,11.3一个等差数列的项数为 2n，若 a1a3a2n190，a2a4a2n72，且 a1a2n33，则该数列的公差是
15、()A3B3C2D1答案 B解析 由a1a3a2n1na1nn122d90，a2a4a2nna2nn122d72，得 nd18.又 a1a2n(2n1)d33，所以 d3.4在小于 100 的自然数中，所有被 7 除余 2 的数之和为()A765B665C763D663答案 B解析 a12，d7,2(n1)7100，n200.n19 时，剩余钢管根数最少，为 10 根9设等差数列an的前 n 项和为 Sn，Sm12，Sm0，Sm13，则 m 等于()A3B4C5D6答案 C解析 am2，am13，故 d1，因为 Sm0，故 ma1mm12d0，故 a1m12，因为 amam15，故 amam1
16、2a1(2m1)d(m1)2m15，即 m5.10有两个等差数列an，bn，其前 n 项和分别为 Sn 和 Tn，若SnTn3n1n7，则a7b7_.答案 1910解析 方法一 a7b72a72b7a1a13b1b1313a1a13213b1b132S13T133131137 1910.方法二 因为SnTn3n1n7，所以设 Sn(3n1)kn，Tn(n7)kn(k0)所以 a7S7S638k，b7T7T620k.所以a7b738k20k1910.11一个等差数列的前 10 项之和为 100，前 100 项之和为 10，求前 110 项之和解 方法一 设等差数列an的公差为 d，前 n 项和为
17、 Sn，则 Snna1nn12d.由已知得10a11092d100，100a1100992d10.10整理得 d1150，代入，得 a11 099100，S110110a11101092d1101 099100 110109211501101 09910911100110.故此数列的前 110 项之和为110.方法二 设 Snan2bn.S10100，S10010，102a10b100，1002a100b10，解得a 11100，b11110.Sn 11100n211110 n.S110 11100110211110 110110.12数列an中，a18，a42，且满足 an22an1an0(
18、nN)(1)求数列an的通项公式；(2)设 Sn|a1|a2|an|，求 Sn.解(1)an22an1an0.an2an1an1ana2a1.an是等差数列且 a18，a42，d2，ana1(n1)d102n.(2)an102n，令 an0，得 n5.当 n5 时，an0；当 n5 时，an0；当 n0.当 n5 时，Sn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Sn2(9525)9nn2n29n40，当 n5 时，Sn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.Sn9nn2 n5n29n40n5.三、探究与拓展13有两个加工资的方案：一是每年年末加 1 000 元；
19、二是每半年结束时加 300 元如果在该公司干 10 年，问：(1)选择哪一种方案好？选准了较好的方案，与另一方案相比，10 年中多加薪多少元？(2)如果第二方案中的每半年加 300 元改成每半年加 a 元，问 a 取何值时，总是选择第二方案比第一方案加薪多？解 按第一种方案，每年加薪数形成等差数列an且 a11 000，d1 000，n10，按第二种方案，每半年加薪数形成等差数列bn且 b1300，d300，n20.(1)第 10 年的年末，依第一方案可得共加薪Sn(1 0002 0003 00010 000)55 000(元)依第二方案可得共加薪Tn(30030023003300430020)63 000(元)，因此在公司干 10 年，选择第二方案好，多加薪 63 00055 0008 000(元)(2)到第 n 年年末，依第一方案可得共加薪1 000(12n)500n(n1)(元)依第二方案可得共加薪a(12342n)an(2n1)(元)由题意 an(2n1)500n(n1)对一切 nN都成立，即 a500n12n1250 2502n1，又因为 250 2502n12502503，所以 a2502503 1 0003.所以当 a1 0003元时，总是选择第二方案比第一方案加薪多
