1、第3节等比数列【选题明细表】知识点、方法题号等比数列的判定与证明1,10,12,14等比数列的基本运算2,3,7等比、等差数列的综合11,13,15等比数列的性质4,8等比数列与其他知识的综合5,6,9基础对点练(时间:30分钟)1.已知数列an,则“an,an+1,an+2(nN+)成等比数列”是“=anan+2”的(A)(A)充分不必要条件 (B)充要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:显然,nN+,an,an+1,an+2成等比数列,则=anan+2,反之,则不一定成立,举反例,如数列为1,0,0,0,.故选A.2.(2016河南商丘一模)在递增的等比数列an中,已
2、知a1+an=34,a3an-2=64,且前n项和Sn=42,则n等于(A)(A)3(B)4(C)5(D)6解析:因为an为等比数列,所以a3an-2=a1an=64.又a1+an=34,所以a1,an是方程x2-34x+64=0的两根,解得或又因为an是递增数列,所以由Sn=42,解得q=4.由an=a1qn-1=24n-1=32,解得n=3.故选A.3.导学号 49612158设an是等比数列,Sn是an的前n项和,对任意正整数n,有an+2an+1+an+2=0.又a1=2,则S101的值为(A)(A)2 (B)200(C)-2 (D)0解析:设等比数列的公比为q.由an+2an+1+a
3、n+2=0,得an(1+2q+q2)=0.因为an0,所以1+2q+q2=0,解得q=-1,所以S101=a1=2.故选A.4.(2016福建福州质检)已知等比数列an的前n项积记为n,若a3a4a8=8,则9等于(A)(A)512(B)256(C)81 (D)16解析:由题意可知a3a4a8=a3a4a7q=a3a7a5=8,9=a1a2a3a9=(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5=,所以9=83=512.故选A.5.(2016河北石家庄调研)已知各项均为正数的等比数列an中,a4与a14的等比中项为2,则2a7+a11的最小值为(B)(A)16 (B)8(C)2 (D)4
4、解析:因为a4与a14的等比中项为2,所以a4a14=a7a11=(2)2=8,所以2a7+a112=2=8,当且仅当2a7=a11时等号成立,所以2a7+a11的最小值为8.故选B.6.(2016四川卷)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据:lg 1.120.05,lg 1.30.11,lg 20.30)(B)(A)2018年(B)2019年(C)2020年(D)2021年解析:设经过n年资金开始超过200万元,则130(1+)
5、n200,得n3.8(nN*),即到2019年,故选B.7.导学号 49612159已知数列an满足a1=2且对任意的m,nN+,都有=an,则a3=,an的前n项和为Sn=.解析:因为=an,令m=1,则=an,即=a1=2,所以an是首项a1=2,公比q=2的等比数列,所以a3=a1q2=222=8,Sn=2n+1-2.答案:82n+1-28.(2016甘肃兰州模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn,且Sn=m2n-1-3,则m=.解析:a1=S1=m-3,当n2时,an=Sn-Sn-1=m2n-2,所以a2=m,a3=2m.又=a1a3,所以m2=(m-3)2m,整理得m2-6m=0,所
6、以m=6或m=0(舍).答案:69.(2016全国卷)设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为.解析:设数列an的公比为q,则解得q=,a1=8,a1a2an=q1q2qn-1=8n()=.当n=3或4时,a1a2an有最大值64.答案:6410.(2016全国卷)已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明an是等比数列,并求其通项公式;(2)若S5=,求.解:(1)由题意得a1=S1=1+a1,故1,a1=,a10,由Sn=1+an,Sn+1=1+an+1,得an+1=an+1-an,即an+1(-1)=an,由a10,0得an0,所以=.因
7、此an是首项为,公比为的等比数列,于是an=()n-1.(2)由(1)得Sn=1-()n,由S5=得1-()5=,即()5=.解得=-1.11.(2015福建卷)等差数列an中,a2=4,a4+a7=15.(1)求数列an的通项公式;(2)设bn=+n,求b1+b2+b3+b10的值.解:(1)设等差数列an的公差为d.由已知得解得所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)可得bn=2n+n,所以b1+b2+b3+b10=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(210+10)=(2+22+23+210)+(1+2+3+10)=+=211+53=2 101.能力提升练(时间:15分钟
8、)12.(2016河南开封一模)已知数列an的前n项和为Sn,且Sn+an=2n(nN+),则下列数列中一定为等比数列的是(C)(A)an (B)an-1(C)an-2 (D)Sn解析:由Sn+an=2n(nN+), 可得Sn-1+an-1=2(n-1)(n2,nN+), -得an=an-1+1(n2,nN+).所以an-2=(an-1-2).又a1=1,a1-2=-10,所以an-2一定是等比数列.故选C.13.(2015福建卷)若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于.解析
9、:由题可知a,b是x2-px+q=0的两根,所以a+b=p0,ab=q0,故a,b均为正数.因为a,b,-2适当排序后成等比数列,所以-2是a,b的等比中项,得ab=4,所以q=4.又a,b,-2适当排序后成等差数列,所以-2是第一项或第三项,不妨设a0,所以a=1,此时b=4,所以p=a+b=5,所以p+q=9.答案:914.(2014江西卷)已知数列an的前n项和Sn=,nN*.(1)求数列an的通项公式;(2)证明:对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.(1)解:由Sn=,得a1=S1=1,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-2,当n=1时也适合.所以数列an的通
10、项公式为an=3n-2.(2)证明:要使得a1,an,am成等比数列,只需要=a1am,即(3n-2)2=1(3m-2),即m=3n2-4n+2,而此时mN*,且mn.所以对任意的n1,都存在mN*,使得a1,an,am成等比数列.15.(2016江西南昌模拟)已知公比不为1的等比数列an的首项a1=,前n项和为Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列.(1)求等比数列an的通项公式;(2)对nN+,在an与an+1之间插入3n个数使这3n+2个数成等差数列.记插入的这3n个数的和为bn,求数列bn的前n项和Tn.解:(1)因为a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差数列,所以(a
11、5+S5)-(a4+S4)=(a6+S6)-(a5+S5),即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0.因为q1,所以q=,所以an=.(2)bn=3n=()n,所以Tn=()n-1.好题天天练1.导学号 49612160设等比数列an中,公比q=2,前n项和为Sn,则的值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:根据等比数列的公式,得=.故选A.2.(2016沈阳质量检测)数列an是等比数列,若a2=2,a5=,则a1a2+a2a3+anan+1=.解析:设等比数列an的公比为q,由等比数列的性质知a5=a2q3,所以q=,所以a1=4,所以an=4()n-1.令bn=anan+1,则=q2=,所以bn是以8为首项,以为公比的等比数列,所以a1a2+a2a3+anan+1=1-()n=(1-).答案:(1-)