1、第8节函数与方程【选题明细表】知识点、方法题号函数零点的判断及所在区间1,2,4,6,7函数零点的个数问题3,5,8,11,13函数零点的应用9,10,12,14,15基础对点练(时间:30分钟)1.(2016山东甘肃一模)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是(D)(A)y=x2+1 (B)y=2|x|(C)y=ln x(D)y=cos x解析:y=x2+1是偶函数,但是没有零点;y=2|x|是偶函数,没有零点;y=ln x是奇函数,不满足题意;y=cos x是偶函数,有零点.故选D.2.(2016湖南衡阳模拟)函数f(x)=2x-3零点所在的一个区间是(C)(A)(-1,0)(B)(0,1)
2、(C)(1,2) (D)(2,3)解析:因为f(-1)=-30,f(0)=1-3=-20,f(1)=2-3=-10,所以f(1)f(2)0,故二次函数f(x)=2x2+bx-3的零点个数为2,故选C.4.(2016天津市和平区高三第四次模拟)设函数y=log2x-1与y=22-x的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(C)(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)解析:令f(x)=log2x-22-x-1,则f(x)在(0,+)上是增函数且连续.因为f(1)=-30,f(2)=1-1-10.故函数f(x)的零点在区间(2,3)内,两函数图象的交点横坐标x0(2,
3、3).选C.5.(2016河北衡水模拟)函数f(x)=的零点个数是(C)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:作函数f(x)=的图象如图,由图象可知,函数f(x)=的零点个数是2,故选C.6.导学号 49612063已知实数a,b满足2a=3,3b=2,则函数f(x)=ax+x-b的零点所在的区间是(B)(A)(-2,-1)(B)(-1,0)(C)(0,1) (D)(1,2)解析:由实数a,b满足2a=3,3b=2,得a=log231,0b=log320,f(-1)=log32-1-log32=-10恒成立,即对于任意bR,b2-4ab+4a0恒成立,所以有(-4a)2-4(4a)0a2-a0
4、,解得0a1,因此实数a的取值范围是(0,1).11.判断函数f(x)=1+4x+x2-x3在区间(-1,1)内零点的个数,并说明理由.解:因为f(-1)=1-4+1+=-0,所以f(x)在区间(-1,1)内有零点.又f(x)=4+2x-2x2=-2(x+1)(x-2),当-1x0,所以f(x)在(-1,1)内单调递增,因此,f(x)在(-1,1)内有且仅有一个零点.能力提升练(时间:15分钟)12.(2016天津三模)函数f(x)=logax-x+2(a0,且a1)有且仅有两个零点的充要条件是(B)(A)0a1(C)1a2解析:令f(x)=0得logax=x-2,分别作出y=logax和y=
5、x-2(x0)的函数图象,(1)当a1时,函数图象如图所示,由图象可知y=logax和y=x-2的函数图象有两个交点.所以f(x)=logax-x+2有两个零点,符合题意.(2)当0a1.故选B.13.导学号 49612065已知a0,且a1,则函数f(x)=ax+(x-1)2-2a的零点个数为(B)(A)1(B)2(C)3(D)与a有关解析:令f(x)=0,得ax-2a=-(x-1)2,令g(x)=ax-2a,h(x)=-(x-1)2,x=1时,ax-2a=-a1时,画出函数g(x)和h(x)的草图,如图所示,两个函数有2个交点;0a0时,由f(x)=kx-k得x2-x=kx-k,即x2-(
6、1+k)x+k=0,若此时f(x)=kx-k有两个不相等的实数根,则即k1,综上k1或k=-.答案:(1,+)-15.(2016山东卷)已知函数f(x)=其中m0,若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根,则m的取值范围是.解析:x2-2mx+4m=(x-m)2+4m-m2,要使存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同实根只需函数y=f(x)的图象与直线y=b有三个不同的交点,所以满足要求的f(x)的大致图象如图所示,即只需m4m-m2,即m2-3m0.又m0,所以m3.答案:(3,+)好题天天练1.导学号 49612067函数f(x)=则函数y=f(x)-x+的零点个数为(D
7、)(A)1(B)2(C)3(D)4解题关键:比较出ln 12-是迅速解决本题的关键.解析:由y=f(x)-x+=0,可得f(x)=x-,作出函数y=f(x)的图象和直线y=x-,可得当x=1时,ln 1=0;-0,ln 22-,由图象可得y=f(x)的图象与直线有4个交点.即函数y=f(x)-x+的零点个数为4.故选D.2.导学号 49612068已知函数f(x)=若关于x的方程f2(x)-bf(x)+1=0有8个不同根,则实数b的取值范围是.解题关键:解决本题的关键是要作出图象理解题意,转化为方程x2-bx+1=0在(0,4上有两个不同的正解.解析:作函数f(x)的图象如图,因为关于x的函数y=f2(x)-bf(x)+1有8个不同的零点,所以方程x2-bx+1=0在(0,4上有2个不同的正解;所以解得2b.答案:（2,